易错点10 万有引力与航天-备战2022年高考物理典型易错题辨析与精练学案

易错点10 万有引力与航天

易错总结

1.任意两物体间都存在万有引力,但不是任意两物体间的万有引力都能用万有引力定律计算出来。(万有引力定律只适用于两个质点之间的计算,若不能看成质点,则定律不成立,该式用于均匀球体,视球心为质点)

2.开普勒第三定律只对绕同一中心天体运转的星体适用,中心天体不同的星体不能使用该定律,如太阳系各行星间可用该定律,火星和月球间不能用该定律。

3.在地球表面的物体,由于受地球自转的影响,重为只是万有引力的一个分力(万有引力与支持力合力为向心力、而支持力的大小等于重力),离开了地球表面,不受地球自转的影响时,重力等于万有引力。(在极点处的物体重力大小等于万有引力)

4.万有引力定律适用于两质点之间引力的计算,如果是均匀的球体,也近似用两球心之间的距离来计算。

5.掌握日常知识中地球的公转周期(1年)、月球的公转周期(27-32天)及地球同步卫星的周期(24 h)等,在估算天体质量时,应把它们作为隐含的已知条件加以挖掘应用。

6.月球中心与地球中心之间的距离约是地球半径的60倍。

7.进入绕地球运行轨道的字宙飞船,在运行时可以不开发动机,因为宇宙飞船在轨道上运行时,用来做圆周运动的向心力全部由万有引力提供。只有从低轨道变到高轨道时需要点火加速。

8.在讨论有关卫星的题目时,关键要明确向心力、轨道半径、线速度、角速度和周期彼此影响,互相联系,只要其中一个量确定,其他的量就不变;只要其中一个量发生了变化,其他的量也会随之变化

9.通常情况下,物体随地球自转做圆周运动所需向心力很小,故可在近似计算中取G=F(F为万有引力),但若要求考虑地球自转的影响,则不能近似处理。

10.地球同步卫星的轨道在赤道平面内,故只能相对静止于赤道某处之上的高空。(同步卫星周期并非24小时）

11.推动火箭前进的动力不是来自于大气,而是来自于火箭向后喷出的气体。(具体计算由动量定理可知)

12.卫星运动,其轨道越高,角速度、线速度越低、周期越大。

13.第一宇宙速度为7.9 km/s.

14.贴地飞行的卫星周期约为85分钟。

15.地球同步卫星离地面高度h=3.6×104km,约为地球半径的6倍。

     解题方法

1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：

除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.

(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G.

(2)当物体在赤道上时：

F′＝mω2R最大，此时重力最小

Gmin＝G－mω2R

(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.

因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg<G.

2.重力与高度的关系

若距离地面的高度为h，则mg′＝G((R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.

3.特别说明

(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.

(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.

【易错跟踪训练】

  易错类型1：不明白规律内涵、外延

1．（2020·湖南高三月考）据2020年2月15日北斗网消息，北斗卫星导航系统第41颗卫星（地球静止轨道卫星）、第49颗卫星（倾斜地球同步轨道卫星）、第50颗卫星（中圆轨道卫星）和第51颗卫星（中圆轨道卫星）已正式入网工作。这四颗卫星均在西昌卫星发射中心（北纬28.2度）发射，若将卫星的运动都认为是匀速圆周运动，地球静止轨道卫星和中圆轨道卫星的周期分别为24h和12h。若第41颗卫星的设计寿命为12年，定点于东经110.5度。关于以上信息的理解正确的是（　　）

A．第41颗卫星最后定点于北纬28.2度、东经110.5度上空

B．第49颗卫星经多次变轨最后定点于东经110.5度的赤道上空.

C．第50颗卫星的运行速度大于第41颗卫星的运行速度

D．第41颗卫星达到寿命12年后将逐渐远离地球成为太空垃圾

【答案】C

【详解】

A．地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道上空，不可能定点于北纬28.2度、东经110.5度上空，选项A错误；

B．第49颗卫星是倾斜地球同步轨道卫星，不是定点于东经110.5度的赤道上空，选项B错误；

C．因第50颗卫星的周期小于第41颗卫星的周期，根据

可知第50颗卫星的轨道半径小于第41颗卫星的轨道半径，根据

可得

故第50颗卫星的运行速度大于第41颗卫星的运行速度，选项C正确；

D．第41颗卫星达到寿命12年后将逐渐靠近地球，选项D错误。

故选C。

2．（2019·全国高三专题练习）关于开普勒行星运动的公式,以下理解正确的是(  )

A．是一个与行星有关的常量

B．表示行星运动的公转周期

C．表示行星运动的自转周期

D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为,周期为;月球绕地球运转轨道的半长轴为,周期为,则有

【答案】B

【详解】

A．结合万有引力定律可知，k是一个与行星无关的常量，与恒星的质量有关，故A错误；

BC．T代表行星运动的公转周期，故B正确，C错误；

D．公式中的k是与中心天体质量有关的，中心天体不一样，k值不一样．地球公转的中心天体是太阳，月球公转的中心天体是地球，k值是不一样的．故D错误．

故选B．

3．（2019·贵州黔东南苗族侗族自治州·凯里一中高三）据央视新闻报道，我国将组建由156颗小卫星组成的天基互联网系统，命名为“虹云工程”，这些小卫星将在距离地面1 000 km的轨道上运行，组网完成后将使人们能够在世界上任何角落自由接入宽度互联网．某同学查得地球同步卫星的轨道距离地面为36 000 km，然后利用自己所学的知识判断，对“虹云工程”有如下理解，其中正确的是

A．发射“虹云工程”的小卫星时，发射速度必须大于11.2 km/s

B．这些小卫星的线速度一定相等

C．这些小卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度大

D．要求出这些小卫星的周期，只需再查出万有引力常量和地球的质量即可

【答案】C

【解析】

卫星的发射速度一旦大于11.2km/s，则卫星会脱离地球的引力，不再绕地球飞行，故A错误．这些小卫星在相同的轨道上运行，故线速度的大小相等，但方向不同，故B错误；根据万有引力提供向心力有：，得，因小卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，故小卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度大，故C正确；根据万有引力提供向心力有：，得，由此可知要求出这些小卫星的周期，需要查出万有引力常量、地球的质量和地球的半径，故D错误；故选C.

4．（2021·全国高三专题练习）关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　）

A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上

B．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等

C．表达式=k，k是一个与行星无关的常量

D．表达式=k，T代表行星运动的自转周期

【答案】D

【详解】

A．根据开普勒第一定律，所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，A正确；

B．根据开普勒第二定律，对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，B正确；

C．根据开普勒第三定律，，k是与中心天体质量有关的量，与行星无关，C正确；

D．根据开普勒第三定律可知，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，T为行星运动的公转周期，D错误。

故选D。

5．（2021·四川巴中·高三）2004年中国正式开展月球探测工程并命名为“嫦娥工程”，截止到2020年11月24日，中国成功发射探月工程嫦娥五号探测器，并在12月1日成功着陆月球并采样，实现了最浪漫的“大空之吻”和“深情拥抱”，环月圆轨道I与椭圆轨道Ⅱ相切于P点，有关嫦娥五号探测器从发射到达月球表面的过程中理解正确的是（　　）

A．从地球表面附近发射探测器的发射速度必须要达到11.2km/s

B．探测器从地球飞向月球的过程中它受到的引力一直对它做负功

C．探测器分别在环月轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ运行至P点时，线速度大小相等

D．探测器从Q点下降至月球的表面，其机械能减少

【答案】D

【详解】

A．月球属于地球的卫星，所以还在地球的引力场内，所以发射速度需要大于，小于，故A错；

B．探测器与地球的引力与探测器的运动方向相反，故做负功，但是月球对它的引力与运动方向相同，做正功，远离地球时故引力的合力做负功，靠近月球时，故引力的合力做正功，所示先做负功，后做正功，故B错误；

C．由于飞行器变轨道必须改变速度，所以探测器分别在环月轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ运行至P点时，线速度大小不等，故C错误；

D．从Q降到月球表面速度减小，即动能减小，高度降低，重力做正功，重力势能减小，所以机械能减小，D答案正确。

故选D。

6．（2020·张家口市第一中学高三专题练习）理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．对开普勒第三定律公式的理解，下列说法正确的是（　　）

A．公式只适用于轨道是椭圆的运动

B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等

C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关

D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离

【答案】C

【详解】

A．开普勒第三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动，所以也适用于轨道是圆的运动，故A错误；

BC．式中的k是与中心星体的质量有关，与绕中心天体旋转的行星（或卫星）无关，故B错误，C正确；

D．式中的k是与中心星体的质量有关，已知月球与地球之间的距离，无法求出地球与太阳之间的距离，故D错误。

故选C。

7．（2020·全国）2020年7月23日12时41分，我国在海南岛东北海岸中国文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭将“天问一号”探测器发射升空，飞行2000多秒后，成功将探测器送入预定轨道，开启火星探测之旅，迈出了我国自主开展行星探测的第一步，预计经过10个月的飞行到达火星。其后，计划在2028年左右进行第二次火星探测任务，采集火星土壤返回地球。已知火星与地球相距最近时发射火星探测器为最佳发射窗口，火星绕太阳的公转周期约为23个月，火星的直径相当于地球的半径，质量是地球的，地球表面重力加速度为g，下列说法不正确的是（　　）

A．火星探测器的发射速度应大于11.2km/s B．火星探测器的发射窗口是大约每25个月一次

C．地球和火星公转加速度之比为 D．火星表面的重力加速度为

【答案】D

【详解】

A．火星探测器要脱离地球，则探测器的发射速度应大于11.2km/h，A正确；

B．设地球的公转周期为T1，火星的公转周期为T2，根据

解得

月

B正确；

C．根据

解得

得

C正确；

D．根据

地球表面

火星表面

得

D错误。

故选D。

8．（2021·全国） 2006年2月10日，中国航天局确定中国月球探测工程形象标志，它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双脚印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，地球的总质量仍大于月球的总质量，月球仍按原轨道运行，以下说法不正确的是（　　）

A．月地之间的万有引力将变小

B．月球绕地球运动的周期将变大

C．月球绕地球运动的向心加速度将变小

D．月球表面的重力加速度将变大

【答案】A

【详解】

A．设月球质量为m，地球质量为M，月球与地球之间的距离为r，根据万有引力定律得，地球与月球间的万有引力，假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，所以m增大，M减小。由数学知识可知，当m与M相接近时，它们之间的万有引力较大，当它们的质量之差逐渐减小时，m与M的乘积将增大，它们之间的万有引力值将增大，故A错误，符合题意；

BC．假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，月球和地球仍可视为均匀球体，根据万有引力提供向心力得

解得

，

假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，所以m增大，M减小。所以月球绕地球运动的周期将变大，月球绕地球运动的向心加速度将变小，故B、C正确，不符合题意；

D．在月球表面根据万有引力等于重力得

解得

假想人类不断向月球“移民”，经过较长时间后，所以m增大，所以月球表面的重力加速度将变大，故D正确，不符合题意。

故选A。

  易错类型2：挖掘隐含条件、临界条件不够

1．（2021·全国高三专题练习）理论计算表明，天体表面的第二宇宙速度是其表面第一宇宙速度的倍。若一个天体的密度足够大，以至于其表面第二宇宙速度超过光速，则任何物质包括光都无法从其表面逃逸出来，这样的天体就是黑洞。已知地球表面的重力加速度为10 m/s2，地球的半径为6400 km，光速为3.0×108 m/s，若要使地球变成黑洞，须将地球的半径至少压缩为（　　）

A．9×10-5 m B．9×10-3 m C．9 m D．900 m

【答案】B

【详解】

设地球的半径至少压缩为r，由题意有

v2=v1=≥c

其中

GM=gR2

联立解得

r≤9×10-3 m

故选B。

2．（2019·河南郑州市·）英国《自然》杂志日前发表一篇天文学研究成果，美国科学家最新观察证据显示。银河系中心存在大量黑洞。黑洞是一种密度极高的天体，其第二宇宙速度（为其第一宇宙速度的倍）超过光速．若某黑洞的半径R约300km，则该黑洞表面最小重力加速度的数量级为（    ）

A．108 m/s2 B．1011m/s2 C．1013 m/s2 D．1015 m/s2

【答案】B

【详解】

黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有

G=mg

又有

则

联立可得

故B正确，ACD错误。

故选B。

3．（2021·江苏高三专题练习）如图所示，我国“天问一号”火星探测器在地火转移轨道1上飞行七个月后，于今年2月进入近火点为280千米、远火点为5.9万千米的火星停泊轨道2，进行相关探测后将进入较低的轨道3开展科学探测。则探测器（　　）

A．在轨道1上的运行速度不超过第二宇宙速度

B．在轨道2上近火点的速率比远火点小

C．在轨道2上近火点的机械能比远火点大

D．在轨道2上近火点减速可进入轨道3

【答案】D

【详解】

A．第二宇宙速度为脱离地球的引力，则在轨道1上的运行速度超过第二宇宙速度，故A错误；

B．在轨道2上近火点的速率比远火点大，故B错误；

C．在轨道2上从近火点到远火点只有引力做功，则机械能守恒，故C错误；

D．在轨道2上近火点减速时，则探测器做向心运动可进入轨道3，故D正确。

故选D。

4．（2021·浙江高三）2020年诺贝尔物理学奖授予对黑洞的研究和观测作出贡献的三位科学家。科学家团队经过数十年对银河系中心人马座的观测，发现数十颗恒星以极不寻常的轨道围绕银河系中心运行，以此推测银河系中心存在一个超大质量黑洞。恒星运行轨道为椭圆，黑洞位于椭圆轨道的一个焦点上，恒星绕黑洞运行一周需要16年，离黑洞中心的最近距离为120天文单位，椭圆轨道半长轴长为970天文单位（设地球绕太阳做圆周运动的轨道半径为1天文单位），恒星最大运行速度约为。假设黑洞对其周围的恒星的引力作用也遵循万有引力定律，不考虑恒星之间的相互作用。下列推测合理的是（　　）

A．恒星最小运行速度约为

B．黑洞质量约为太阳质量的200万到300万倍

C．可以推测出恒星的质量

D．恒星运行的最大加速度小于地球绕太阳运行的加速度

【答案】A

【分析】

本题以绕黑洞运行的恒星为情境，考查考生的信息加工能力、建立模型能力及逻辑推理能力。考查的知识有开普勒第二、三定律，万有引力定律及牛顿第二定律。

【详解】

A．根据开普勒第二定律有

其中天文单位，可得

A正确；

B．由开普勒第三定律可知，恒星的运行周期与轨道半径等于其半长轴的恒星绕黑洞做圆周运动运行的周期相同，有

对绕太阳做圆周运动的地球有

可得

B错误；

C．由以上分析可知，不能推测出恒星的质量，C错误；

D．当恒星距黑洞最近时，加速度最大，有

地球绕太阳运行的加速度

可得

恒星运行的最大加速度大于地球绕太阳运行的加速度，D错误。

故选A。

5．（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）如图，已知现在地球的一颗同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为．假设地球的自转周期变大，周期变大后的一颗地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为，则前后两次同步卫星的运行周期之比为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

试题分析：根据几何关系得出卫星的轨道半径之比，结合万有引力提供向心力得出前后两次同步卫星的运行周期之比．

设地球的半径为R，根据几何关系知，当同步通讯卫星信号最多覆盖地球赤道上的经度范围为时，卫星的轨道半径，同理得，当地球同步通讯卫星信号最多覆盖的赤道经度范围为时，卫星的轨道半径，根据得，，由于轨道半径之比为，则周期之比为，A正确．

6．（2019·全国）英国《自然·天文学》杂志发表的一篇论文称，见科学家作银河系中心附近的一团分 子气体云中发现了一个黑洞．科学研究表明，当天体的逃逸速度（即第二宇宙速度，为第一宇宙速度的倍）超过光速时.该天体就是黑洞.已知某天体与地球的质量之比为，地球的半径为地球，地球卫星的最大环绕速度（即第一宇宙速度）为，光速为，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

对于地球有；设该天体成为黑洞时其半径为，第一宇宙速度为，有；，联立解得，故D正确，ABC错误．

7．（2019·北京市八一中学高三月考）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响。

(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T。

(3)在距地球表面高度恰好等于地球半径时，探测卫星上的观测仪器某一时刻能观测到的地球表面赤道的最大弧长。（此探测器观测不受日照影响，不考虑空气对光的折射）

【答案】(1)(2) (3)

【详解】

(1)设卫星质量为m，卫星绕地球做近地运动的轨道半径为R，根据万有引力定律和牛顿运动定律得

在地球表面：

解得

(2)若卫星运行轨道距离地面高度为h，则

又：

解得 

(3)设宇宙飞船在地球赤道上方A点处，距离地球中心为2R，飞船上的观测仪器能观测到地球赤道上的B点和C点，能观测到赤道上的弧长是LBC，如图所示，

，

则：

α=60°

能观测到地球表面赤道的最大长度

8．（2020·全国）2013年12月2日1时30分我国发射的“嫦娥三号”探月卫星于12月14日晚9时11分顺利实现了“月面软着陆”，该过程的最后阶段是:着陆器离月面h高时速度减小为零,为防止发动机将月面上的尘埃吹起,此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆．已知地球质量是月球质量的81倍,地球半径是月球半径的4倍，地球半径R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g0=10m/s2，不计月球自转的影响(结果保留两位有效数字).

(1)若题中h=3.2m，求着陆器落到月面时的速度大小；

(2)由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能．理论证明，若取离月心无穷远处为引力势能的零势点，距离月心为r的物体的引力势能，式中G为万有引力常数，M为月球的质量，m为物体的质量．求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度．

【答案】（1）υ=3.6m/s（2）υ0=2.5×103m/s

【详解】

试题分析：(1)设月球质量为M、半径为R，月面附近重力加速为g，着陆器落到月面时的速度为υ

忽略月球自转，在月球表面附近质量为m的物体满足： ① （2分）

设地球的质量为M0，同理有： ② （2分）

着陆器自由下落过程中有：υ2=2gh ③ （2分）

由①②③式并带入数据可得：υ=3.6m/s       （3分）

(2)设着陆器以速度υ0从月面离开月球，要能离开月球引力范围，则至少要运动到月球的零引力处，即离月球无穷远处．在着陆器从月面到无穷远处过程中，由能量关系得： ④ （2分）

由①②④式并带入数据可得：υ0=2.5×103m/s （2分）