安徽省淮南市2020届高三第一次模拟考试数学文科试题

淮南市2020届高三第一次模拟考试

数学试题（文科）

注意事项

1．答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的信息。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答業杯号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整，笔迹清渐，作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的若题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿卷上答题无效。

第Ⅰ卷

一、选择题

1．若集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

2．已知，为虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（    ）

A．   B．0   C．1   D．2

3．已知a，b都是实数，那么“”是“”的（    ）

A．充要条件    B．充分不必要条件

C．必要不充分条件   D．既不充分也不必要条件

4．函数零点的个数是（    ）

A．0  B．1   C．2   D．3

5．根据右表的数据，用最小二乘法计算出变量x，y的线性回归方程为（    ）

A．   B．

C．   D．

6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知的顶点，，且，则的欧拉线方程为（    ）

A． B． C． D．

7．函数的大致图象为（    ）

A．    B．

C．   D．

8．在中，，，点为的外心，则的值为（    ）

A．26  B．13   C．   D．10

9．已知数列满足，且是函数的极值点，设，记表示不超过的最大整数，则（    ）

A．2019 B．2018  C．1009  D．1008

10．如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（    ）

A．    B．

C．    D．

11．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于、两点，若是等腰三角形，且．则的周长为（    ）

A．  B．  C．  D．

12．若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二．填空题

13．若实数x，y满足则的最大值为______．

14．已知，，则的值为______．

15．已知函数，满足（a，b均为正实数），则ab的最大值为______．

16．设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长______．

三．解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）已知点P在边BC上，，，，求的面积．

18．高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；

（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：

完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？

附：

19．（12分）如图在梯形中，，，为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）设，分别为，的中点，求三棱锥的体积．

20．（12分）已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．

（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

21．（12分）设函数，且（其中e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）若，求的单调区间；

（Ⅱ）若，求证：．

四．选考题

22．在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求、的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，，求的面积．

23．已知函数．

（Ⅰ）当时，求不等式的解集：

（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．

2020届淮南一模文科参考答案

一．选择题

二．填空题

13．3

14．

15．4

16．

三．解答题

17．解：（Ⅰ）∵，由正弦定理可得，

又A是内角，∴，∴

∵，∴．

（Ⅱ）根据题意，为等边三角形，又．

在中，由于余弦定理得，，

解得，，∴，．

∴的面积．

18．解（Ⅰ）由题意解得

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，前三组的频率比为2:3:3，所以由分层抽样可知前三组抽取的单车辆数分别为2，3，3，分别记为，，，，，，，，从中抽取2辆的结果有：

，，，，，，；

，，，，，；

，，，，；

，，，；

，，；

，，；

共28个，恰有1辆的使用时间不低于50分钟的结果有12个，

∴所求的概率为

（Ⅲ）2×2列联表如下：

由上表及公式可知．

因为2.02＜2.072

所以没有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关

19．解：（Ⅰ）由题意可知为正方形，

∴，且，即

又，且，∴平面

∵，，

又，∴平面

（Ⅱ）∵为的中点，∴

∴

又为的中点，∴

∴

∴

又

∴

20．【解析】（1）由题意可得，

所以，，

所以椭圆的方程为

（2）直线的解析式为，设，，的中点为．假设存在点，使得为以为底边的等腰三角形，则．由得，

故，所以，

因为，所以，即，所以

当时，，所以；

当时，，所以

综上：m取值范围是或

21．解：（Ⅰ）由条件可得，，∴

，

令，

当时，，在单调增函数，又

∴当时，，

当时，；

∴的单调增区间为，减区间为

（Ⅱ）当时，，符合题意

方法（一）当时，

令，又，

∴在唯一的零点，设为，有

且，，单调递减；，，单调递增

∴∵，∴，两边取对数，

∴

（当且仅当时到等号）

设，∴

当时，，当时，；

又，且，，趋向0时，；

∴当，，当且仅当时取等号

由（1）可知，当时，，故当时，

，∴

综上，当时，

方法（二）

当时，

（i）当时

，，显然成立；

（ii）当时，构造函数

，在为减函数

∴，∴

∴

∴

∴

又由，可得，进而

综上：当时，

22．【解析】

（Ⅰ）因为，

∴的极坐标方程为，

的极坐标方程为．

（Ⅱ）将代入，

得，解得，，

，

因为的半径为1，则的面积．

23．【解析】（Ⅰ）当时，，

当时，由得，解得；

当时，，无解；

当时，由得，解得，

∴的解集为；

（Ⅱ），

当时，，

∴，有条件得且，即，

故满足条件的的取值范围为