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    初中数学九年级上册24.3 正多边形和圆导学案
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    初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆导学案

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    这是一份初中数学人教版九年级上册24.3 正多边形和圆导学案,共7页。学案主要包含了知识链接,要点探究,课堂小结等内容,欢迎下载使用。

    第二十四章 

    24.3  正多边形和圆

     

    学习目标1.了解正多边形和圆的有关概念.

    2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.

    3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.

    重点:理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.

    难点:会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.

     

    一、知识链接

    观察下列各图形,并度量各图形的边长和角度,你有什么发现?

     

     

    二、要点探究

    探究点1正多边形的对称性

    问题1  什么叫做正多边形?

     

     

    问题2  矩形是正多边形吗?为什么?菱形是正多边形吗?为什么?

     

     

    问题3  正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗?都是中心对称图形吗?

     

     

    要点归纳:n边形都是轴对称图形,都有n条对称轴,只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.

     

    探究点2:正多边形的有关概念及性质

    问题1  怎样把一个圆进行四等分?

     

     

    问题2 依次连接各等分点,得到一个什么图形?

     

     

    探究归纳

    O 进行5等分,依次连接各等分点得到五边形ABCDE .

    (1)填空:

    _______=______;

    _______=______;

    ③ ∠A_____∠E.

    (2)这个五边形ABCDE是正五边形吗?简单说说理由.

     

    要点归纳:像上面这样,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的正多边形,这个圆就是这个正多形的外接圆,这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.

    问题3  以正四边形为例,根据对称轴的性质,你能得出什么结论?

     

    想一想  所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆?

     

    要点归纳:正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心,叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,内切圆的半径叫做正多边形的边心距,正多边形每一条边所对的圆心角,叫做正多边形的中心角,正多边形的每个中心角都等于.

    练一练  完成下面表格:

    正多边形边数

    内角

    中心角

    外角

    3

     

     

     

    4

     

     

     

    6

     

     

     

    n

     

     

     

     

    探究点3:正多边形的有关计算

    探究归纳  如图,已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF

    它的中心角等于    

    OC     BC  (填>、<或=);

    ③△OBC     三角形;

    圆内接正六边形的面积是OBC面积的     .

    圆内接正n边形面积公式:                 .

    典例精析

    1  如图,正五边形ABCDE内接于O,则ADE的度数是    (    )

    A  60°      

    B  45°      

    C  36°    

    D 30°

     

    变式题 

    如图,圆内接正五边形ABCDE中,对角线ADCE相交于点P,则APE的度数是(  )

    A36°           

    B60°         

    C72°        

    D108°

     

    2  (教材P106例题)有一个亭子,它的地基是半径为4 m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).

     

    方法总结:圆内接正多边形的辅助线的作法:

    1.连半径,得中心角;       2.作边心距,构造直角三角形.

     

    练一练

    正多边形边数

    半径

    边长

    边心距

    周长

    面积

    3

     

    2

     

     

     

    4

     

    2

     

     

     

    6

     

    2

     

     

     

     

    三、课堂小结

    正多边形的性质

     

    正多边形和圆的关系

     

    圆内接正n边形;圆外切正n边形;任何正多边形都有一个外接圆和内切圆,且这两个圆是同心圆.

    正多边形的对称性

    正多边形都是轴对称图形;偶数边的正多边形同时也是中心对称图形,中心就是对称中心.

    正多边形的有关计算

    添加辅助线的方法:连半径,作边心距

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    1.一个正多边形绕它的中心旋转45°后,就与原正多边形第一次重合,那么这个正多边形(  )

    A.是轴对称图形,但不是中心对称图形

    B.是中心对称图形,但不是轴对称图形

    C.既是轴对称图形,又是中心对称图形

    D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形

    2.如图,已知O的内接正方形边长为4,则O的半径是(  )

    A2            B4           C         D

         

    2题图        3题图             5题图

    3.已知O是正六边形ABCDEF的外接圆,PO上除CD外任意一点,则CPD的度数为(  )

    A30°    B30°150°   C60°   D60°120°

    4.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2,则这个多边形的边数是        .

    5.如图是一枚奥运会纪念币的图案,其形状近似看作为正七边形,则一个内角为      .(不取近似值)

    6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片,则选用的圆形铁片的直径最小要       cm.

     

    7.如图,已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心,GH分别是AFBC上的点,且AG=BH

    (1) FAB的度数;

    (2) 求证:OG=OH

     

     

     

     

     

     

     

    拓广探索

    如图,MN分别是O内接正多边形ABBC上的点,且BM=CN.

    (1)MON=_______;图MON=_______;图MON=_______

    (2)试探究MON的度数与正n边形的边数n的关系.

      

     

     

     

    参考答案

    自主学习

    一、知识链接

    每个图形中,各边相等,每个角也相等

    课堂探究

    二、要点探究

    探究点1正多边形的对称性

    问题1各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.

    问题2矩形不是正多边形,因为矩形不符合各边相等;菱形不是正多边形,因为菱形不符合各角相等;

    问题3正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形;正四边形、正六边形是中心对称图形,正三角形、正五边形不是中心对称图形.

    探究点2:正多边形的有关概念及性质

    问题1:如图,过圆心作两条互相垂直的直径,分别与圆交于点点ABCD,则点AB CD将圆四等分.

    问题2四边形ABCD是一个正方形.

    探究归纳  1    3    2    3     3=

    2五边形ABCDE是正五边形.理由如下:同(1)可得A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.

    问题3  解:如图,EF是边ABCD的垂直平分线,OA=OBOD=OC.GH是边ADBC的垂直平分线,OA=ODOB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.ACCA分别是DABDCB的平分线,BDDB分别是ABCADC的平分线OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.

    想一想  任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.

    练一练

    正多边形边数

    内角

    中心角

    外角

    3

    60°

    120°

    120°

    4

    90°

    90°

    90°

    6

    120°

    60°

    60°

    n

    探究点3:正多边形的有关计算

    探究归纳  ①60    ②=   等边   ④6   S正多边形=×周长×边心距

    典例精析

    1  C   变式题 C

    2  解:过点OOPBCM.RtOPB,OB4m,  PB利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积

    练一练

    正多边形边数

    半径

    边长

    边心距

    周长

    面积

    3

    2

    6

    4

    2

    1

    8

    4

    6

    2

    2

    2

    当堂检测

    1.C   2.C   3.B  4.3  5.  6.

    7.(1)解:六边形ABCDEF是正六边形,FAB=

    (2)证明:连接OAOBOA=OB∴∠OAB=∠OBA∵∠FAB=∠CBA∴∠OAG=∠OBH,在AOGBOH中,∴△AOG≌△BOHSAS.∴OG=OH

    拓广探索

    1120°  90°  72°  2

     

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