2022年高中物理（新教材）新粤教版选择性必修第二册同步学案专题强化9 电磁感应中的动力学问题

　　　　       电磁感应中的动力学问题

[学习目标]　1.会分析导体棒、线框在磁场中的受力.2.能根据电流的变化分析导体棒、线框受力的变化情况和运动情况.3.能利用牛顿运动定律和平衡条件分析有关问题．

由于导体在磁场中受到安培力作用，而安培力又要改变导体的运动状况，所以电磁感应常与力学知识联系在一起．

1．电磁感应问题中电学对象与力学对象的相互制约关系

2．处理此类问题的基本方法

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律求感应电动势的大小和方向．

(2)求回路中的感应电流的大小和方向．

(3)分析研究导体受力情况(包括安培力)．

(4)列动力学方程或根据平衡条件列方程求解．

3．两种状态

(1)导体处于平衡状态——静止或匀速直线运动状态．

处理方法：根据平衡条件(合外力等于零)列式分析．

(2)导体处于非平衡状态——加速度不为零．

处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析．

4．电磁感应中的动力学临界问题

基本思路：导体受外力运动感应电动势感应电流导体受安培力→合外力变化加速度变化→临界状态．

一、电磁感应中的平衡问题

如图1，水平面(纸面)内间距为l的平行金属导轨间接一电阻，质量为m、长度为l的金属杆置于导轨上．t＝0时，金属杆在水平向右、大小为F的恒定拉力作用下由静止开始运动．t0时刻，金属杆进入磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场区域，且在磁场中恰好能保持匀速运动．杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g.求：

图1

(1)金属杆在磁场中运动时产生的电动势的大小；

(2)电阻的阻值．

答案　(1)Blt0　(2)

解析　(1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a，由牛顿第二定律得F－μmg＝ma①

设金属杆到达磁场左边界时的速度为v，由运动学公式有v＝at0②

当金属杆以速度v在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律知产生的电动势为E＝Blv③

联立①②③式可得

E＝Blt0④

(2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I，根据欧姆定律

I＝⑤

式中R为电阻的阻值．金属杆所受的安培力为

F安＝BlI⑥

因金属杆做匀速运动，有F－μmg－F安＝0⑦

联立④⑤⑥⑦式得R＝.

二、电磁感应中的动力学问题

如图2所示，空间存在B＝0.5 T、方向竖直向下的匀强磁场，MN、PQ是水平放置的平行长直导轨，其间距L＝0.2 m，R＝0.3 Ω的电阻接在导轨一端，ab是跨接在导轨上质量m＝0.1 kg、接入电路的电阻r＝0.1 Ω的导体棒，已知导体棒和导轨间的动摩擦因数为0.2.从零时刻开始，对ab棒施加一个大小为F＝0.45 N、方向水平向左的恒定拉力，使其从静止开始沿导轨滑动，ab棒始终保持与导轨垂直且接触良好．(g＝10 m/s2)

图2

(1)分析导体棒的运动性质；

(2)求导体棒所能达到的最大速度的大小；

(3)试定性画出导体棒运动的速度－时间图像．

答案　(1)做加速度减小的加速运动，最终做匀速直线运动　(2)10 m/s　(3)见解析图

解析　(1)导体棒做切割磁感线运动，产生的感应电动势E＝BLv①

回路中的感应电流I＝②

导体棒受到的安培力F安＝BIL③

导体棒运动过程中受到拉力F、安培力F安和摩擦力f的作用，根据牛顿第二定律有：

F－μmg－F安＝ma④

由①②③④得：F－μmg－＝ma⑤

由⑤可知，随着速度的增大，安培力增大，加速度a减小，当加速度a减小到0时，速度达到最大，此后导体棒做匀速直线运动．

(2)当导体棒达到最大速度时，有F－μmg－＝0

可得：vm＝＝10 m/s

(3)由(1)(2)中的分析与数据可知，导体棒运动的速度－时间图像如图所示．

如图3甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的定值电阻，一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(重力加速度为g)

图3

(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中的受力示意图；

(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流大小及其加速度的大小；

(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

答案　(1)见解析图

(2)　gsin θ－　(3)

解析　(1)如图所示，ab杆受重力mg，方向竖直向下；支持力FN，方向垂直于导轨平面向上；安培力F安，方向沿导轨向上．

(2)当ab杆的速度大小为v时，感应电动势E＝BLv，则此时电路中的电流I＝＝

ab杆受到的安培力F安＝BIL＝

根据牛顿第二定律，有

mgsin θ－F安＝ma

联立各式得a＝gsin θ－.

(3)当a＝0时，ab杆达到最大速度vm，

即mgsin θ＝，解得vm＝.

针对训练　(多选)如图4所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．ab是一根与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是(　　)

图4

答案　ACD

解析　设ab杆的有效长度为l，S闭合时，若>mg，则杆先减速再匀速，D项有可能；若＝mg，则杆做匀速运动，A项有可能；若<mg，则杆先加速再匀速，C项有可能；由于v变化，－mg＝ma中a不恒定，故B项不可能．

1.(电磁感应中的平衡问题)如图5所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之间接有电阻R.接入电路的阻值为r的金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下．现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是(　　)

图5

A．ab中的感应电流方向由b到a

B．ab中的感应电流逐渐减小

C．ab所受的安培力保持不变

D．ab所受的静摩擦力逐渐减小

答案　D

解析　金属棒ab、电阻R、导轨构成闭合回路，磁感应强度均匀减小(＝k为一定值)，则闭合回路中的磁通量减小，根据楞次定律，可知回路中产生顺时针方向的感应电流(从上向下看)，ab中的电流方向由a到b，故选项A错误；根据法拉第电磁感应定律，感应电动势E＝＝＝kS，回路面积S不变，即感应电动势为定值，根据闭合电路欧姆定律I＝可知，ab中的电流大小不变，故选项B错误；安培力F＝BIL，电流大小不变，磁感应强度减小，则安培力减小，故选项C错误；金属棒处于静止状态，所受合力为零，对其受力分析，水平方向静摩擦力与安培力F等大反向，安培力减小，则静摩擦力减小，故选项D正确．

2．(电磁感应中的动力学问题)(多选)如图6所示，有两根和水平方向成α(α<90°)角的光滑平行的金属轨道，上端接有滑动变阻器R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下且始终与导轨接触良好．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)

图6

A．如果B增大，vm将变大

B．如果α变大(仍小于90°)，vm将变大

C．如果R变大，vm将变大

D．如果m变小，vm将变大

答案　BC

解析　金属杆由静止开始下滑的过程中，其受力情况如图所示，根据牛顿第二定律得：

mgsin α－＝ma

所以金属杆由静止开始做加速度逐渐减小的加速运动，当a＝0时达到最大速度vm，

即mgsin α＝，可得：vm＝，由此式知，选项B、C正确．

3.(电磁感应中的动力学问题)如图7所示，匀强磁场存在于虚线框内，矩形线圈竖直下落，如果线圈受到的磁场力总小于其重力，则它在1、2、3、4位置时的加速度关系为(　　)

图7

A．a1>a2>a3>a4

B．a1＝a3>a2>a4

C．a1＝a3>a4>a2

D．a4＝a2>a3>a1

答案　B

解析　线圈进入磁场前和全部进入磁场后，都仅受重力，所以加速度a1＝a3＝g.线圈在题图中2位置时，受到重力和向上的安培力，且已知F安2<mg，所以a2＝<g.而由于线圈完全在磁场中时做加速度为g的加速运动，故4位置时的速度大于2位置时的速度，根据F安＝及a＝可得a4<a2，故线圈在1、2、3、4位置时的加速度关系为：a1＝a3>a2>a4，故B正确．

1．如图1所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动，且与导线框接触良好．杆ef及线框的电阻都忽略不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)

图1

A．ef将向右做非匀减速运动，最后停止

B．ef将向右做匀减速运动，最后停止

C．ef将向右做匀速运动

D．ef将做往返运动

答案　A

解析　ef向右运动，切割磁感线，产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到速度减小为0停止运动，由F＝BIL＝＝ma知，ef做的是加速度逐渐减小的减速运动，故A正确．

2．(多选)如图2，空间中存在一匀强磁场区域，磁场方向与竖直面(纸面)垂直，磁场的上、下边界(虚线)均为水平面；纸面内磁场上方有一个正方形导线框abcd，其上、下两边均与磁场边界平行，边长小于磁场上、下边界的间距．若导线框自由下落，从ab边进入磁场时开始，直至ab边到达磁场下边界为止，导线框下落的速度大小可能(　　)

图2

A．始终减小   B．始终不变

C．始终增大   D．先减小后增大

答案　CD

解析　导线框开始做自由落体运动，ab边以一定的速度进入磁场，ab边切割磁感线产生感应电流，根据左手定则可知ab边受到向上的安培力，当安培力大于重力时，导线框做减速运动，当导线框完全进入磁场后，导线框不产生感应电流，此时只受重力，做加速运动，故先做减速运动后做加速运动；当ab边进入磁场后安培力等于重力时，导线框做匀速运动，当导线框完全进入磁场后，导线框不产生感应电流，此时只受重力，做加速运动，故先做匀速运动后做加速运动；当ab边进入磁场后安培力小于重力时，导线框做加速运动，当导线框完全进入磁场后，导线框不产生感应电流，此时只受重力，做加速运动．综上，只有C、D正确．

3．如图3所示，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一宽度为d(d>L)的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动，t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图像中，能正确描述上述过程的是(　　)

图3

答案　D

解析　导线框进入磁场的过程中，受到向左的安培力作用，根据E＝BLv、I＝、F安＝BIL得F安＝，随着v的减小，安培力F安减小，根据F安＝ma知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动．整个导线框在磁场中运动时，无感应电流，导线框做匀速运动，导线框离开磁场的过程中，受到向左的安培力，根据F安＝＝ma可知，导线框做加速度逐渐减小的减速运动，故选项D正确．

4.如图4所示，竖直平面内有足够长的平行金属导轨，间距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S，则：(g取10 m/s2)

图4

(1)试说出开关S闭合后，导体ab的运动情况(导体ab始终与导轨垂直且接触良好)；

(2)导体ab匀速下落的速度是多少？

答案　见解析

解析　(1)闭合开关S之前，导体ab自由下落的末速度为：v0＝gt＝4 m/s.

开关S闭合瞬间，导体ab产生感应电动势，回路中产生感应电流，导体ab立即受到一个竖直向上的安培力，

F安＝BIL＝＝0.016 N>mg＝0.002 N.

此时导体ab受到的合力方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为

a＝＝－g，所以导体ab竖直向下做加速度逐渐减小的减速运动．当F安＝mg时，导体ab竖直向下做匀速运动．

(2)设导体ab匀速下落的速度为vm，

此时F安＝mg，即＝mg，vm＝＝0.5 m/s.

5．(多选)如图5所示，质量为m＝0.04 kg、边长l＝0.4 m的正方形导体线框abcd放置在一光滑绝缘斜面上，线框用一平行于斜面的细线系于O点，斜面倾角为θ＝30°.线框的一半处于磁场中，磁场的磁感应强度随时间变化的关系为B＝2＋0.5t(T)，方向垂直于斜面向上，已知线框电阻为R＝0.5 Ω，重力加速度为g＝10 m/s2.下列说法正确的是(　　)

图5

A．线框中的感应电流方向为abcda

B．t＝0时，细线拉力大小F＝0.2 N

C．线框中感应电流大小为I＝80 mA

D．经过一段时间t，线框可能沿斜面向上运动

答案　CD

解析　由于磁场的磁感应强度随时间变化的关系为B＝2＋0.5t(T)，即磁感应强度增大，根据楞次定律结合安培定则可得感应电流方向为adcba，选项A错误．根据法拉第电磁感应定律可得E＝＝S＝0.5×0.4×0.2 V＝0.04 V，则感应电流大小为I＝＝ A＝0.08 A＝

80 mA，选项C正确．t＝0时刻，磁感应强度为B＝2 T，安培力大小为F安＝IlB，方向沿斜面向上，则根据共点力的平衡条件可得F＋IlB＝mgsin θ，解得F＝mgsin θ－IlB＝(0.04×10×0.5－0.08×0.4×2) N＝0.136 N，选项B错误．由于磁感应强度随时间逐渐增大，当安培力大于重力沿斜面向下的分力时，线框沿斜面向上运动，选项D正确．

6．(多选)如图6所示，边长为L的正方形线框，从图示位置开始沿光滑绝缘斜面向下滑动，中途穿越垂直纸面向里、有理想边界的匀强磁场区域，磁场的宽度大于L，以i表示导线框中的感应电流，从线框刚进入磁场开始计时，取逆时针方向为电流正方向，以下i－t关系图像，可能正确的是(　　)

图6

答案　BC

7．如图7所示，半径为l的金属圆环水平固定，处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中，金属棒OA可绕圆心O在圆环上转动．金属棒CD放在宽度也为l的足够长光滑平行金属导轨上，导轨倾角为θ，处于垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．用导线将金属圆环、金属棒OA的O端分别与两导轨连接，已知金属棒OA和CD的长度均为l、质量均为m、电阻均为r，其他电阻不计．重力加速度大小为g.

图7

(1)将金属棒OA固定，使金属棒CD从静止开始下滑，求金属棒CD的最大速度大小；

(2)让金属棒OA匀速转动，使金属棒CD保持静止，求金属棒OA的转动方向及角速度．

答案　(1)

(2)从上向下看沿逆时针方向　

解析　(1)金属棒OA固定时，金属棒CD切割磁感线相当于电源，金属棒CD达到最大速度后做匀速运动，根据平衡条件有：mgsin θ＝Fm

根据法拉第电磁感应定律有：E1＝Blvm

由闭合电路欧姆定律有：I1＝

电流方向从C到D，金属棒CD受到的安培力沿斜面向上，Fm＝BI1l

联立解得：vm＝；

(2)要使金属棒CD静止，必须使金属棒CD受到的安培力沿斜面向上，由右手定则可知，金属棒OA应该沿逆时针方向转动(自上向下看)．

当金属棒OA以角速度ω转动时，产生的感应电动势E2＝Bl2ω

由平衡条件有mgsin θ＝F安′　I2＝，F安′＝BI2l

联立可得ω＝.

8.如图8所示，间距为L的平行金属导轨与水平面间的夹角为α，导轨间接有一阻值为R的电阻，一长为L的金属杆置于导轨上，杆与导轨的电阻均忽略不计，两者始终保持垂直且接触良好，两者之间的动摩擦因数为μ，导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨所在斜面向上．当金属杆受到平行于导轨向上、大小为F的恒定拉力作用时，可以匀速向上运动；当金属杆受到平行于导轨向下、大小为的恒定拉力作用时，可以保持与向上运动时大小相同的速度向下匀速运动．重力加速度大小为g.求：

图8

(1)金属杆的质量；

(2)金属杆在磁场中匀速向上运动时速度的大小．

答案　(1)　(2)－

解析　(1)设金属杆的质量为m，匀速运动的速度为v，金属杆速度为v时回路中电流为I.当金属杆受到平行于斜面向上、大小为F的恒定拉力作用匀速向上运动时，根据共点力的平衡条件可得F＝mgsin α＋μmgcos α＋BIL

当金属杆受到平行于斜面向下、大小为的恒定拉力作用匀速向下运动时，根据共点力的平衡条件可得＋mgsin α＝μmgcos α＋BIL

联立解得m＝.

(2)根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律可得I＝，再根据第(1)问可得金属杆在匀强磁场中运动的速度大小为v＝－.