陕西省榆林市2020届高三第一次模拟测试数学(文)试卷
展开2020届陕西省榆林市高三模拟第一次测试数学(文)试题
一、单选题
1.设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
2.设集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
3.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为.若低于分的人数是人,则该班的学生人数是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
4.若,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
5.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有下列三个正确的判断:①若甲未被录取,则乙、丙都被录取;②乙与丙中必有一个未被录取;③或者甲未被录取,或者乙被录取.则三人中被录取的是( )
A.甲 B.丙 C.甲与丙 D.甲与乙
【答案】D
6.已知向量,,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
7.已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
8.对于函数,给出下列四个命题:
①该函数的值域为;
②当且仅当时,该函数取得最大值;
③该函数是以为最小正周期的周期函数;
④当且仅当时,.
上述命题中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
9.过双曲线的一个焦点作实轴的垂线,交双曲线于两点,若线段的长度恰等于焦距,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
10.已知偶函数,当时,. 设,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
11.已知,,若直线与圆相切,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
12.已知函数满足,且时,,则当时,与的图象的交点个数为( )
A.13 B.12 C.11 D.10
【答案】C
二、填空题
13.曲线:在点处的切线方程为_______________.
【答案】y=2x﹣e
14.抛物线上一点到直线的距离最短,则该点的坐标是__________.
【答案】
15.已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若,,,则此球的表面积等于__________.
【答案】
16.在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为________.
【答案】9
三、解答题
17.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,于点,连接.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【详解】
(1)平面,平面,.
四边形为矩形,,
,平面,平面,平面.
平面,.
,,平面,平面,
平面,又平面,;
(2)底面是矩形,.
,,为的中点,
平面,三棱锥的高为,
因此,三棱锥的体积为.
18.已知的内角,,的对边,,分别满足,,又点满足.
(1)求及角的大小;
(2)求的值.
【答案】(1) (2)
试题解析:(1)由及正弦定理得,
即,
在中,,所以.
又,所以.
在中,由余弦定理得,
所以.
(2)由,得 ,
所以.
19.在数列中,任意相邻两项为坐标的点均在直线上,数列满足条件:,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
【答案】(1);(2).
【详解】
(1)数列中,任意相邻两项为坐标的点均在直线上,
,.
,,
,数列是以为首项,以为公比的等比数列.
数列的通项公式为;
(2)由于,
,①
,②
①②得.
20.函数.
(1)当时,求在处的切线方程(为自然对数的底数);
(2)当时,直线是的一条切线,求.
【答案】(1);(2).
【详解】
(1)当时,,
,且,则.
在处的切线方程为,
即;
(2)设切点为,则,
,则,
由题意得,则或,解得或.
①若,则,解得,满足;
②若,由可得,
则,
令,,则,
所以,函数在区间上单调递增,
又,所以方程的唯一解为,即,解得.
综上,.
21.如图,设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q,且0,若过 A,Q,F2三点的圆恰好与直线相切,过定点 M(0,2)的直线与椭圆C交于G,H两点(点G在点M,H之间).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线的斜率,在x轴上是否存在点P(,0),使得以PG,PH为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出的取值范围;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)若实数满足,求的取值范围.
【答案】(1);(2);(3).
试题解析:(1)因为0,所以F1为F2Q中点
设Q的坐标为(-3c,0),因为AQ⊥AF2,所以b2=3c×c=3c2,a2=4c×c=4c2,
且过A,Q,F2三点的圆的圆心为F1(-c,0),半径为2c.
因为该圆与直线L相切,所以 解得c=1,所以a=2,故所求椭圆方程为.(2)设L1的方程为y=kx+2(k>0)由得(3+4k2)x2+16kx+4=0,
由△>0,得 所以k>1/2,设G(x1,y1),H(x2,y2),则所以(x1-m,y1)+(x2-m,y2) =(x1+x2-2m,y1+y2) =(x1+x2-2m,k(x1+x2)+4)(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,k(x2-x1)),由于菱形对角线互相垂直,因此所以(x2-x1)[(x1+x2)-2m]+k(x2-x1)[k(x1+x2)+4]=0,故(x2-x1)[(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k]=0因为k>0,所以x2-x1≠0所以(x1+x2)-2m+k2(x1+x2)+4k=0,即(1+k2)(x1+x2)+4k-2m=0,所以
,解得, 因为k>0,所以故存在满足题意的点P且m的取值范围是.(3)①当直线L1斜率存在时,设直线L1方程为y=kx+2,代入椭圆方程,得(3+4k2)x2+16kx+4=0 , 由△>0,得,设G(x1,y1),H(x2,y2), 则,又,所以(x1,y1-2)=λ(x2,y2-2), 所以x1=λx2, 所以,∴ ∴,整理得 ,因为, 所以 ,解得又0<λ<1,所以 .②当直线L1斜率不存在时,直线L1的方程为x=0,
,,,所以 .综上所述, .
点睛:本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系,是高考的必考点,属于难题.求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程,求出即可,注意的应用;涉及直线与圆锥曲线相交时,未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程,要特别注意直线斜率是否存在的问题,避免不分类讨论造成遗漏,然后要联立方程组,得一元二次方程,利用根与系数关系写出,再根据具体问题应用上式,其中要注意判别式条件的约束作用.
22.以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的非负半轴为极轴,以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为 (为参数),曲线的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线相交于两点,求.
【答案】(1)(2)
解:
(1)由,既 曲线的直角坐标方程为.
(2) 的参数方程为代入,整理的,所以,
所以.
23.不等式选讲,已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若关于的不等式 的解集是空集,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
解:
(1)
,或,或,
解得,或,或 即不等式的解集为.
(2)
又 的解集是空集 故实数的取值范围是
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