2020-2021学年4 二次函数的应用第2课时综合训练题

初中数学·北师大版·九年级下册——第二章　二次函数

4　二次函数的应用

第2课时

测试时间:25分钟

一、选择题

1.若一种服装的销售盈利y(万元)与销售数量x(万件)满足函数关系式y=-2x2+4x+5,则 (　　)

A.盈利的最大值为5万元　　　　　B.盈利的最大值为7万元

C.盈利的最小值为5万元　　　　　D.盈利的最小值为7万元

2.(2021河北石家庄高邑期末)服装店将进价为每件100元的服装按每件x(x>100)元出售,每天可销售(200-x)件,若想获得最大利润,则x应定为              (　　)

A.150　　　　B.160　　　　C.170　　　　D.180

3.(2021山东东营垦利期末)一人一盔安全守规,一人一带平安常在!某商店销售一批头盔,售价为每顶80元,每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间,计划将头盔降价销售,经调查发现:每降价1元,每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元,则该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为              (　　)

A.60元　　　　B.65元　　　　C.70元　　　　D.75元

二、填空题

4.(2020河南洛阳东方外国语学校月考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使总利润最大,则每件商品的售价应为　　　　元. 

5.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子的总个数为y,则果园里增种

　　　　棵橘子树时,橘子的总个数最多. 

三、解答题

6.(2020湖北襄阳期末)进入冬季后,我市空气质量下降,多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要,代理销售一种防尘口罩,进货价为20元/包,经市场销售发现:售价为30元/包时,每周可售出200包,每包每涨价1元,每周就少售出5包.若供货厂家规定市场价不得低于30元/包,且商场每周需要完成不少于150包的销售任务.

(1)试确定周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式;

(2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式,并直接写出售价x(元/包)的取值范围;

(3)当售价x(元/包)定为多少时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?

7.(2021四川成都新都二诊)为应对全球变暖,落实国家节能减排政策,某公司积极进行技术创新,将原本直接排放进大气中的二氧化碳转化为固态形式的化工产品,从而实现“变废为宝、低碳排放”.经过生产实践和数据分析,在这种技术下,该公司二氧化碳月处理成本y(万元)与二氧化碳月处理量x(2≤x≤6,单位:百吨)之间满足二次函数关系,其图象如图所示,已知点A(2,2),顶点B(3,1.5),假设每处理一百吨二氧化碳得到的化工产品的收入为2万元.

(1)求该公司二氧化碳月处理成本y(万元)与二氧化碳月处理量x(2≤x≤6,单位:百吨)之间满足的二次函数关系式;

(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少万元?(月收益=月收入-月处理成本)

8.(2021河南驻马店汝南期末)某水果店将标价为10元/斤的某种水果进行降价处理,经过两次降价后,价格为8.1元/斤,并且两次降价的百分率相同.

(1)求该水果店该种水果每次降价的百分率;

(2)从第二次降价的第1天算起,第x天(x为整数)的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示:

已知该种水果的进价为4.1元/斤,设销售该种水果第x(天)的利润为y(元),求y与x(1≤x<10)之间的函数解析式,并求出第几天时销售利润最大,最大利润是多少.

9.(2020江苏南京玄武一模)商家销售某种商品,每件成本50元.经市场调研,当售价为60元/件时,可销售300件,单价每增加1元,销售量将减少10件.为了提高销售量,当售价为80元/件时,聘请网络主播直播带货,此时单价每增加1元,需支付给主播300元.物价局对该商家的此商品规定:售价最高不超过110元/件.图中的折线ABC表示该商品的销售量y(单位:件)与售价x(单位:元/件)之间的函数关系.

(1)求线段BC对应的函数表达式;

(2)当售价为多少元/件时,该商家获得的利润最大?最大利润是多少?

(3)直播带货后,售价至少为　　　　元/件时,该商家获得的利润才不低于直播带货前的最大利润. 

答案全解全析

一、选择题

1.答案　B　y=-2x2+4x+5=-2(x2-2x)+5=-2[(x-1)2-1]+5=-2(x-1)2+7,∵a=-2<0,∴盈利有最大值,盈利的最大值为7万元.故选B.

2.答案　A　设获得的利润为y元,由题意得y=(x-100)(200-x)=-x2+300x-20 000

=-(x-150)2+2 500,∵a=-1<0,∴当x=150时,y取得最大值,为2 500.故选A.

3. 答案　C　设每顶头盔降价x元,利润为w元,由题意可得w=(80-x-50)(200+20x)

=-20(x-10)2+8 000,∴当x=10时,w取得最大值,此时80-x=70,即该商店每月获得最大利润时,每顶头盔的售价为70元.故选C.

二、填空题

4.答案　25

解析　设总利润为y元,则y=(x-20)(30-x)=-x2+50x-600=-(x-25)2+25,故当x=25时,y有最大值,为25.故要使总利润最大,每件商品的售价应为25元.

5.答案　10

解析　根据题意得y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60 000,∵a=-5,∴抛物线开口向下,y有最大值,

∴当x=-=-=10时,y取得最大值,∴当果园里增种10棵橘子树时,橘子的总个数最多.

三、解答题

6.解析　(1)由题意可得y=200-(x-30)×5=-5x+350,

即周销售量y(包)与售价x(元/包)之间的函数关系式是y=-5x+350.

(2)由题意可得w=(x-20)(-5x+350)=-5x2+450x-7 000,因为商场每周需要完成不少于150包的销售任务,所以最多涨价=10(元/包),故30≤x≤30+10,即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)与售价x(元/包)之间的函数关系式是w=-5x2+450x-7 000(30≤x≤40).

(3)∵w=-5x2+450x-7 000的二次项系数-5<0,其图象的对称轴为x=- =45,

∴当x<45时,w随x的增大而增大,

∵30≤x≤40,

∴x=40时,w取得最大值,w最大值=-5×402+450×40-7 000=3 000,

即当售价x(元/包)定为40元/包时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w(元)最大,最大利润是3 000元.

7.解析　(1)∵顶点B(3,1.5),∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+1.5.

将点A(2,2)代入,得a(2-3)2+1.5=2,解得a=.

∴二次函数的关系式为y=(x-3)2+1.5,即y=0.5x2-3x+6(2≤x≤6).

(2)设月收益为W万元,则W=2x-(0.5x2-3x+6)=-0.5x2+5x-6=-0.5(x-5)2+6.5.

∵-0.5<0,且2≤x≤6,

∴当x=5时,W取得最大值,最大值为6.5.

答:该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是6.5万元.

8.解析　(1)设该水果店该种水果每次降价的百分率为a,

∴10(1-a)2=8.1,解得a1=0.1=10%,a2=1.9(舍去).

答:该水果店该种水果每次降价的百分率是10%.

(2)由题意可得y=(8.1-4.1)×(120-x)-(3x2-64x+400)=-3x2+60x+80=-3(x-10)2+380,

∵-3<0,1≤x<10,且x为整数,∴当x=9时,y取得最大值,此时y=377.

答:y与x(1≤x<10)之间的函数解析式是y=-3x2+60x+80,第9天时销售利润最大,最大利润是377元.

9.解析　(1)当x=80时,y=300-10×(80-60)=100,即点B(80,100),

设线段BC对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),

将点(80,100)、(110,250)代入上式得解得

故线段BC对应的函数表达式为y=5x-300(80≤x≤110).

(2)易得线段AB对应的函数表达式为y=-10x+900(60≤x≤80),

设获得的利润为w元,

当60≤x<80时,w=(x-50)(-10x+900)=-10(x-70)2+4 000,当x=70时,w取得最大值,最大值为4 000.

当80≤x≤110时,w=(x-50)(5x-300)-300(x-80)=5(x-85)2+2 875,

∵a=5>0,抛物线的对称轴为直线x=85,∴当x=110时,w的值最大,最大值为6 000.

综上,当售价为110元/件时,该商家获得的利润最大,最大利润为6 000元.

(3)由题意得5(x-85)2+2 875≥4 000(80≤x≤110),解得x≥100或x≤70(舍去x≤70),

故直播带货后,售价至少为100元/件时,该商家获得的利润才不低于直播带货前的最大利润.