模块九坐标系与参数方程练习题

模块九 坐标系与参数方程

一、解答题

1．在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

2．选修4—4：极坐标与参数方程

已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为

，（为常数）.

（I）求直线和圆的普通方程；

（II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.

3．在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.

（1）求C的参数方程；

（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.

4．在直角坐标系中，直线，圆,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求，的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积．

5．在平面直角坐标系xoy中，已知直线的参数方程为，直线与抛物线相交于A,B两点，求线段AB的长．

6．在直角坐标中，圆，圆．

 (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标(用极坐标表示)；

 (Ⅱ)求圆的公共弦的参数方程．

7．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

8．

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

9．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：（θ为参数），C2：（t为参数）.

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

10．在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

11．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

12．在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为.

（1）求A，B两点间的距离；

（2）求点B到直线l的距离.

13．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为

．

（1）若，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．

14．

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

15．已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）．设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值

参考答案

1．圆的极坐标方程为．

【解析】

根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径．从而得到圆的极坐标方程

解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得．

 ∴圆的圆心坐标为（1，0）．

 ∵圆经过点，∴圆的半径为．

∴圆经过极点．∴圆的极坐标方程为．

2．（I）,;（II）

【详解】

试题分析：（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程 为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.

（II）由直线与圆有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.

试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.

（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.

考点：1.参数方程.2.直线与圆的位置关系.

3．（1）为参数；（2）

【分析】

（1）先求出半圆的直角坐标方程，由此能求出半圆的参数方程；

（2）设点对应的参数为，则点的坐标为，且 ，半圆的圆心是因半圆在处的切线与直线垂直，故直线的斜率与直线的斜率相等，由此能求出点的坐标.

【详解】

（1）由，得 ，

所以C的参数方程为为参数

（2）

【点睛】

本题主要考查参数方程与极坐标方程，熟记直角坐标方程与参数方程的互化以及普通方程与参数方程的互化即可，属于常考题型.

4．(1),；(2)．

【详解】

试题分析：（1）将代入的直角坐标方程，化简得，；（2）将代入，得得， 所以，进而求得面积为.

试题解析：

（1）因为 ，所以的极坐标方程为，

的极坐标方程为

（2）将代入

得得 ， 所以

因为的半径为1，则的面积为

考点：坐标系与参数方程.

5．

【详解】

直线的普通方程为，即，

与抛物线方程联立方程组解得，

∴.

6．（1）圆C1、 C2的极坐标方程分别为：，，（2）,.

【详解】

试题分析：（1）利用进行互化即可；（2）由两圆的公共点求出公共弦的普通方程，再利用直线的点与倾斜角得到参数方程．

解题思路:曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程的互化，往往要利用或合理选参进行求解．

试题解析：（1）根据公式：

圆C1、 C2的极坐标方程分别为：，

联立：解得：

∴圆C1与圆C2的交点极坐标分别为：

（2）把（1）中两圆交点极坐标化为直角坐标，

得：

∴此两圆公共弦的普通方程为：

∴此弦所在直线过（1，0）点，倾斜角为90°

∴所求两圆的公共弦的参数方程为：

考点：1．曲线的参数方程、极坐标方程、普通方程的互化；2．两圆的公共弦．

7．（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.

【分析】

（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；

（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.

【详解】

（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线C与没有公共点.

【点睛】

关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.

8．

【详解】

试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.

试题解析：解：椭圆的普通方程为，将直线的参数方程，代入，得，即，解得，.

所以.

【考点】直线与椭圆的参数方程

【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．

2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．

9．（1）；；（2）.

【分析】

（1）分别消去参数和即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.

【详解】

（1）由得的普通方程为：；

由得：，两式作差可得的普通方程为：.

（2）由得：，即；

设所求圆圆心的直角坐标为，其中，

则，解得：，所求圆的半径，

所求圆的直角坐标方程为：，即，

所求圆的极坐标方程为.

【点睛】

本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.

10．（1）（2）

【分析】

(1)将A,B点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.

【详解】

（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，

，

因为点为直线上，故其直角坐标方程为，

又对应的圆的直角坐标方程为：，

由解得或，

对应的点为，故对应的极径为或.

（2），

，

当时；

当时，舍；即所求交点坐标为当

【点睛】

本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．（1）曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）.

【分析】

（1）利用消去参数，求出曲线的普通方程，即可得出结论；

（2）当时，，曲线的参数方程化为 为参数），两式相加消去参数，得普通方程，由，将曲线 化为直角坐标方程，联立方程，即可求解.

【详解】

（1）当时，曲线的参数方程为为参数），

两式平方相加得，

所以曲线表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（2）当时，曲线的参数方程为为参数），

所以，曲线的参数方程化为为参数），

两式相加得曲线方程为，

得，平方得，

曲线的极坐标方程为，

曲线直角坐标方程为，

联立方程，

整理得，解得或 （舍去），

，公共点的直角坐标为 .

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

12．（1）；

（2）2.

【分析】

(1)由题意，在中，利用余弦定理求解的长度即可；

(2)首先确定直线的倾斜角和直线所过的点的极坐标，然后结合点B的坐标结合几何性质可得点B到直线的距离.

【详解】

（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，），

由余弦定理，得AB=.

（2）因为直线l的方程为，

则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为.

【点睛】

本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．

13．（1），；（2）或．

【详解】

试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．

试题解析：（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．

14．（1）（2）

【详解】

（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程.

设,由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为.

（2）C的极坐标方程为.

联立得.

故，

从而.

代入得，

所以交点M的极径为.

【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

15．.

【详解】

直线的普通方程为.

因为点在曲线上，设，

从而点到直线的的距离，

当时，.

因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.