考点47 空间几何体的体积和表面积练习题

考点47空间几何体的体积和表面积

一、单选题

1．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为（ ）

A． B． C． D．

2．已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x+y+1=0与圆相切．

其中真命题的序号是（　　）

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③

3．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

A． B． C． D．

4．若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（    ）

A． B． C． D．

5．正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（    ）

A． B． C． D．

6．若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

7．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为

A．  B．  C．8π D．

8．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

A． B． C． D．

9．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为

A． B． C． D．

10．正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为

A．3 B．6 C．9 D．18

11．表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

A． B． C． D．

12．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，

，则该球体积V的最大值是

A． B． C． D．

二、填空题

13．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为_____．

14．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________.

15．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是______

16．一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为___________.

参考答案

1．C

【详解】

试题分析：将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱，其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为.故选C.

2．C

【详解】

①由球的体积公式V=可知，若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；故①正确；

②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错；

③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．

故选C．

3．B

【详解】

，

，

．

选B.

点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

4．C

【分析】

根据题意作图，由轴截面得出母线与底面圆半径的等量关系，再套公式求解.

【详解】

根据题意作图，

设圆锥的底面圆半径为，高为 ，母线长为 .

若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，

则有，.

该圆锥的底面积与侧面积比值为.

故选：C.

5．D

【分析】

由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.

【详解】

作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，

因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，

所以该棱台的高，

下底面面积，上底面面积，

所以该棱台的体积.

故选：D.

6．C

【分析】

求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.

【详解】

这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，

即，

所以，这个球的表面积为.

故选：C.

【点睛】

本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.

7．B

【解析】

S圆=πr2=π⇒r=1,而截面圆圆心与球心的距离d=1,所以球的半径为R==.

所以V=πR3=,故选B.

8．B

【详解】

试题分析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，，故选B．

考点：圆锥的体积公式．

9．D

【详解】

试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.

考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.

10．B

【详解】

高，又因底面正方形的对角线等于，∴底面积为

，∴体积．

11．A

【详解】

解：此正八面体是每个面的边长均为的正三角形，所以由知，，则此球的直径为，故选A．

12．B

【详解】

试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.

考点：球及其性质.

13．

【解析】

试题分析：球的直径为长方体的对角线，即,因此球的表面积为

考点：球的表面积

14．

【详解】

长方体的体对角线长为球的直径，则 ， ，则球的表面积为.

15．9

【详解】

依题可以构造一个正方体，其体对角线就是外接球的直径．

，．

16．

【解析】

试题分析：底面周长为3，所以正六边形的边长为.则六边形的面积为.又因为六棱柱的体积为.即.由于六棱柱的顶点都在同一个球面上，所以球的半径为.所以球的体积.故填.

考点：1.球的内接几何体计算.2.解三角形的知识.3.空间想象能力.4.棱柱的体积公式.