湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

2021年湖北省新高考联考协作体高二上学期期中考试

高二数学试卷参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（答案不唯一）    14．         15．        16．    

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．解：根据题意，圆C的方程为：，变形可得，其圆心为，半径为，当直线l的斜率不存在时，其方程为，     
易求直线l与圆C的交点为，，，符合题意；    ……………………2分
当直线l的斜率存在时，设其方程为，即，
则圆心C到直线l的距离，

解可得，所以直线l的方程为，         ……………………………………4分

综上，直线l的方程为或；            ……………………………………5分
如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则，
所以为直角三角形，即
设，由知，，因为，

所以化简得点P的轨迹方程为   ………………8分

求的最小值，即求的最小值，也即求原点O到直线的距离，

由距离公式可求得的最小值为．    ……………………………………………………10分

18．解：若选①，因为，又由正弦定理可知：，

所以，

又，则，所以，又，所以；   ………………3分

若选②，，

由余弦定理得，所以，

又且，所以，又，所以；    …………………3分

若选③，由展开得，

又由正弦定理可知，

在中，，

所以，又，则，所以，所以，可得.

又，所以，所以，所以；  ……………………3分

（1）解法一：若，由正弦定理得，

又，所以，

可得，所以，……………………5分

又，所以，所以，

又，所以，所以；       ……………………………7分

解法二：若，又，由余弦定理可知，

即，整理得，

解得或，                                 ………………………………………5分

若，，则，与矛盾；    ………………………………………6分

若，则，由余弦定理可得； …………………………7分

（2）由，及正弦定理知．

由，所以，      …………………………………9分

又由余弦定理得，即，整理可得，

，可得，所以．       ………………………………12分

19．解：（1）证明：平面ABCD，平面ABCD，，，为正三角形，四边形ABCD是菱形，，         ………………………2分
又，PD，平面PBD，平面PBD，        ………………………4分    
而平面EAC，平面平面．                     ………………………5分

（2）解：如图，连接OE，由可知平面PBD，平面PBD，
，又，
即为二面角的平面角。      ……………………7分
过E作，交BD于点H，则，
，，          ……………………8分  
正中，，，， …………………………10分
在中，，，
即二面角的大小为．（注：用其它方法应按相应步骤给分）     ………………12分

20．解：组距为，由，

得                       …………………………………………………2分

各组的组中值和相应的频率依次为：

所以，        ………………4分
    ………………7分
由已知，抽取的40个果实中，重量在和内的分别有4个和3个，
分别记为，，，和，，，         ……………………………………………9分
从中任取2个的取法有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种取法，其中都是优质果实的取法有，，，共3种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率          ……………………………………………12分                  

21．解：由题知，且，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则点        …………………2分

（1），设平面的法向量为，则，得，

得，当时，得                ……………………………………4分

同理可得平面的一个法向量为            ……………………………………5分

那么，所以二面角的余弦值为  …………7分

（2）假设在线段上存在一点，使平面，设，

则由，得，

得       …………………………………9分

那么，当平面时，，

即存在实数，使，解得，     …………………………11分

那么，即点是线段的中点时，平面．  ……………………12分

22．解：（1）因为，所以，又，所以，

所以，所以椭圆C的标准方程为．      ………………………………3分

（2）①当AB的斜率为0时，显然．       ………………………………4分

当AB的斜率不为0时，设，

由得，

设，故有，   ………………………………5分

所以．

因为，所以．

综上所述，恒有为定值．                           ………………………………7分

②，        ………………………………9分

即==，

当且仅当，即时取等号（此时适合），

所以面积的最大值为．                       ……………………………………12分