第9章 第3讲 带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题—2022届高中物理一轮复习讲义（机构专用）学案

第九章  磁场

第3讲  带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题

【教学目标】1．进一步巩固复习带电粒子在磁场中做圆周运动的处理方法和思路

2．掌握找临界点的方法，并能求解极值问题

【重、难点】1、寻找临界点；2、求极值问题

【知识梳理】

考点一　带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题

解决此类问题的关键是：找准临界点．

找临界点的方法是：

以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v（或磁场B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：

（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．

（2）当速度v一定时，弧长（或弦长）越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．

（3）当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长．

题型一   磁感应强度或者速度的极值问题

例1、如图所示，一带正电的质子以速度v0从O点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d，板长为d，O点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件（已知质子的带电荷量为e，质量为m）．

变式1、两极板M、N相距为d，板长为5d，两板未带电，板间有垂直于纸面的匀强磁场，如图所示，一大群电子沿平行于板的方向从各个位置以速度v射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感应强度B的范围怎样？（设电子电荷量为e，质量为m）

题型二  运动时间的极值问题

例2、如图所示，在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内有匀强磁场，方向垂直纸面向外，磁感应强度B＝0.2 T，一个带正电的粒子以初速度v0＝1.2×106 m/s从磁场边界上直径ab的一端a射入磁场（图中未画出初速度方向），已知该粒子的比荷＝1×108 C/kg，不计粒子重力．

（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径；

（2）若要使粒子在磁场中运动的时间最长，求入射时v0与ab的夹角θ及粒子在磁场中的运动的时间。

变式2、如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m（不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：

（1）两板间电压的最大值Um．

（2）CD板上可能被粒子打中的区域的长度x．

（3）粒子在磁场中运动的最长时间tm．

极值问题的分析思路

所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助于几何图形进行直观分析．

考点二　带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解，多解形成原因一般包含下述几个方面．

1．带电粒子电性不确定

受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，当粒子具有相同速度时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，导致多解．

如图甲所示，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b．

2．磁场方向不确定形成多解

磁感应强度是矢量，如果题述条件只给出磁感应强度大小，而未说明磁感应强度方向，则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解．

如图乙所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b．

3．临界状态不惟一形成多解

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射面边界反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解．

4．运动的往复性形成多解

带电粒子在部分是电场，部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解．如图丁所示．

题型一                  形成多解

例4、如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，求粒子入射速率v的最大值可能是多少．

题型二                   形成多解

例5、（多选）某电子以固定的正点电荷为圆心在匀强磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，磁场方向垂直于它的运动平面，电子所受正点电荷的电场力是洛伦兹力的3倍．若电子电荷量为e、质量为m，磁感应强度为B，不计重力，则电子运动的角速度可能是  （　　）

A．                    B．                   C．                     D．

变式3、（多选）在M、N两条导线所在平面内，一带电粒子的运动轨迹如图所示，已知两条导线M、N中只有一条导线中通有恒定电流，另一条导线中无电流，关于电流方向和粒子带电情况及运动的方向，可能是（　　）

A．N中通有自下而上的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动

B．M中通有自上而下的恒定电流，带正电的粒子从b点向a点运动

C．M中通有自上而下的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动

D．N中通有自下而上的恒定电流，带负电的粒子从a点向b点运动

题型三                 形成多解

例6、（多选）长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示．磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电．现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　）

A．使粒子的速度v<                              B．使粒子的速度v>

C．使粒子的速度v>                              D．使粒子的速度<v<

题型四                形成多解

例7、如图所示，在NOQ范围内有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅰ，在MOQ范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅱ，M、O、N在一条直线上，∠MOQ＝60°，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为B。离子源中的离子带电荷量为＋q，质量为m，通过小孔O1进入两板间电压为U的加速电场区域（可认为初速度为零），离子经电场加速后由小孔O2射出，再从O点进入磁场区域Ⅰ，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力。

（1）若加速电场两板间电压U＝U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径R0；

（2）在OQ上有一点P，P点到O点距离为L，若离子能通过P点，求加速电压U和从O点到P点的运动时间。

变式4、某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．

（1）求磁场区域的宽度h；

（2）欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv；

（3）欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值．

一、思维突破　多解问题的审题

正确解答多解问题的前提和关键是审题，只有细致、周密、准确的审题，才能体会出题目中条件的不确定因素，从而把题目定性为多解问题而进行讨论分析．审题时应克服习惯性思维或先入为主的思维模式，想当然地认为带电粒子就是带正电，粒子运动就是向一个方向运动，这样多解题就变成了单解题，答案不全面或解答错误．本题型的四个例题，就是从形成多解的四个不确定条件出发，讨论了形成多解的不同结果．

二、求解带电粒子在磁场中运动的多解问题的技巧

1．分析题目特点，确定题目多解性形成原因．

2．作出粒子运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性）．

3．若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件．

【能力展示】

【小试牛刀】

1．（多选）如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子沿AB方向自A点射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则 （　　）

A．从P射出的粒子速度大                             B．从Q射出的粒子速度大

C．从P射出的粒子，在磁场中运动的时间长             D．两粒子在磁场中运动的时间一样长

2．一电子以垂直于匀强磁场的速度vA，从A处进入长为d、宽为h的磁场区域如图所示，发生偏移而从B处离开磁场，若电荷量为e，磁感应强度为B，圆弧AB的长为L，则（　　）

A．电子在磁场中运动的时间为t＝                 B．电子在磁场中运动的时间为t＝

C．洛伦兹力对电子做功是BevA·h                    D．电子在A、B两处的速度相同

3．（多选）如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正、负粒子（不计重力），从A点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正、负粒子在磁场中（　　）

A．运动时间相同                                   B．运动轨迹的半径相同

C．重新回到边界时速度大小相同，方向也相同         D．重新回到边界时与A点的距离相等

4．如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 （　　）

A．若该带电粒子从ab边射出，它经历的时间可能为t0

B．若该带电粒子从bc边射出，它经历的时间可能为t0

C．若该带电粒子从cd边射出，它经历的时间为t0

D．若该带电粒子从ad边射出，它经历的时间可能为

5．（多选）如图所示，边界OA与OC之间分布有垂直纸面向里的匀强磁场，边界OA上有一粒子源S。某一时刻，从S平行于纸面向各个方向发射出大量带正电的同种粒子（不计粒子的重力及粒子间的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，经过一段时间有大量粒子从边界OC射出磁场。已知∠AOC＝60°，从边界OC射出的粒子在磁场中运动的最长时间等于T/2（T为粒子在磁场中运动的周期），则从边界OC射出的粒子在磁场中运动的时间可能为 （　　）

A．                      B．                       C．                     D．

6．如图所示，在矩形区域abcd内充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．在ad边中点O的粒子源，在t＝0时刻垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od的夹角分布在0～180°范围内．已知沿Od方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界cd上的P点离开磁场，ab＝1.5L，bc＝L，粒子在磁场中做圆周运动的半径R＝L，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，求：

（1）粒子在磁场中的运动周期T；（2）粒子的比荷；（3）粒子在磁场中运动的最长时间．

7．不计重力的带正电粒子，质量为m，电荷量为q，以与y轴成30°角的速度v0从y轴上的a点射入图中第一象限所在区域．为了使该带电粒子能从x轴上的b点以与x轴成60°角的速度射出，可在适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感强度为B的匀强磁场，若此磁场分布在一个圆形区域内，试求这个圆形磁场区域的最小面积。

答案

例1、≤B≤           变式1、答案：≤B≤

例2、（1）6×10－2 m　（2）30°，60°；    变式2、（1）　（2）（2－）L　（3）

       例4、（2＋）（q为正电荷）或（2－）（q为负电荷）

例7、（1） 　（2）见解析

解析：（2）离子进入磁场时的运动轨迹如图所示，设圆周运动的半径为R，由几何关系可知OP′＝P′P″＝R

要保证离子通过P点，则L＝nR，

解得U＝，其中n＝1，2，3，……

离子在磁场中运动的周期T＝，  t＝n··＝，其中n＝1，2，3，……

变式4、答案：（1）（L－d）（1－）

（2）（－d）

（3）（－d）（1≤n<－1，n取整数）

解析：（1）设粒子在磁场中的轨迹半径为r，粒子的运动轨迹如图所示．

根据题意知L＝3rsin 30°＋，且磁场区域的宽度h＝r（1－cos 30°）

解得：h＝（L－d）（1－）

（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨迹半径为r′，洛伦兹力提供向心力，则有

m＝qvB，m＝qv′B，    由题意知3rsin 30°＝4r′sin 30°，

解得粒子速度的最小变化量Δv＝v－v′＝（－d）

（3）设粒子经过上方磁场n次，由题意知L＝（2n＋2）＋（2n＋2）rnsin 30°

且m＝qvnB，解得vn＝（－d）（1≤n<－1，n取整数）

【能力展示】

6、答案：（1）6t0　（2）　（3）2t0

解析：（1）初速度沿Od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，其圆心角为θ，

由几何关系有：sin θ＝，所以：θ＝60°，＝，解得：T＝6t0

（2）粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，根据牛顿第二定律得：qvB＝m，v＝

所以：T＝解得＝

（3）如图所示，在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹的弦Ob＝L，圆轨迹的直径为2L，所以Ob弦对应的圆心角为120°，粒子在磁场中运动的最长时间tmax＝＝2t0

7．π（）2