上海市徐汇中学2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题

徐汇中学2021学年高三年级第一学期

期中考试 数学试卷 2021．11

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分．

1. 若,则________.

2. 已知集合则集合A有_______种可能.

3. 已知复数　　．

4. 设函数若,则实数构成的集合为________.

5. 已知x=为函数的一条对称轴，则ax+by+c=0的倾斜角为_____.

6. 二项式的展开式中的常数项为_________.

7. 在无穷等比数列中,,则____________.

8. 设分别为双曲线的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P满足,则该双曲线的渐近线方程是_______________._.

9.已知为坐标原点，点，点为平面区域内的一个动点，则

的取值范围是        .

10.用一个半径为10厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则它的最高点到桌面的距离为         ；

11.三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______． (结果用分数表示)

12.若数列{an}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{an}为“差非增数列”．给出下列数列{an}，n∈N*：①an=2n++1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln，⑤an=2n+．

其中是“差非增数列”的有　       　（写出所有满足条件的数列的序号）．

二．选择题（本大题满分20分）

13. 函数的最小正周期为（     ）

A.                B.              C.              D.

14.已知方程有两个虚根，若，则的值是（     ）

15.如果对于任意实数，表示不小于的最小整数. 例如  ，，.那么“”是“”的（   ）

A. 充分非必要条件                 B. 必要非充分条件

C. 充要条件                       D. 既非充分也非必要条件

16.定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（    ）

A.         B.         C.          D.

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，.

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）求四棱锥的侧面积.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在△中，角，，的对边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求和的值.

19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆的左右焦点为，是

椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点C，D所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）。

（1）当面积最大时，求椭圆的方程；

（2）当时，若是线段的中点，求直线的方程；

（3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由。

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于函数，若函数是增函数，则称函数具有

性质A.

（1）若，求的解析式，并判断是否具有性质A；

（2）判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；

（3）若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数.

2021学年第一学期徐汇中学期中答案

高三年级数学学科 2021．11

一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分．

1. 若,则________.1

2. 已知集合则集合A有_______种可能.4

3. 已知复数　　．

4. 设函数若,则实数构成的集合为________.

5. 已知x=为函数的一条对称轴，则ax+by+c=0的倾斜角为_____.

6. 二项式的展开式中的常数项为_________.112

7. 在无穷等比数列中,,则____________.

8. 设分别双曲线的左右焦点,若在双曲线右支上存在点P满足,则该双曲线的渐近线方程是_______________.

9.已知为坐标原点，点，点为平面区域内的一个动点，则

的取值范围是        .

10.用一个半径为10厘米的半圆纸片做成一个忽略接缝的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，则它的最高点到桌面的距离为         ；

11.三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_______． (结果用分数表示)

12.若数列{an}满足“对任意正整数n，恒成立”，则称数列{an}为“差非增数列”．给出下列数列{an}，n∈N*：

①an=2n++1，②an=n2+1，③an=2n+1，④an=ln，⑤an=2n+．

其中是“差非增数列”的有　   3，4    　（写出所有满足条件的数列的序号）．

二．选择题（本大题满分20分）

13. 函数的最小正周期为（ B ）

  A.               B.                C.             D.

14. 已知方程有两个虚根，若，则的值是（ C ）

15.如果对于任意实数，表示不小于的最小整数. 例如  ，，.那么“”是“”的（ A ）

A. 充分非必要条件                 B. 必要非充分条件

C. 充要条件                       D. 既非充分也非必要条件

16.定义域是上的连续函数图像的两个端点为、，是图像上任意一点，过点作垂直于轴的直线交线段于点（点与点可以重合），我们称的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域是上的函数中，曲径最小的是（ D   ）

A.         B.         C.          D.

三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，.

（1）求直线与平面所成的角的大小；

（2）求四棱锥的侧面积.

18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

在△中，角，，的对边分别是，，，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求和的值.

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张，为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0．5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）          记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列，每年发放电动型汽车牌照数为构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？2029年

20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆的左右焦点为，是

椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线

交正半轴于，两点（点在的上方或重合）。

（1）当面积最大时，求椭圆的方程；

（2）当时，若是线段的中点，求直线的方程；

（3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由。

解：（1）由题意，，所以，

,……………………2分

当且仅当，即时面积最大，    …………………………………3分

此时椭圆方程为。                …………………………………4分

（2）由题意椭圆方程为，设，椭圆的左顶点为，因而，直线MA的方程为，所以，…………6分

同理，         ………………………………………………………7分

由，解得，，…………………………9分

所以直线的方程为，即。……………………………10分

（3）设，由（2）知，

，………………………11分

将代入上式得

，（*）  ……………12分

若为定值，则必有，             ……………………………14分

把代入（*）得。

所以存在点使得为定值。    ……………………………16分

21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于函数，若函数是增函数，则称函数具有

性质A.

（1）              若，求的解析式，并判断是否具有性质A；

具有

（2）              判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题，并说明理由；

假，反例

（3）若函数具有性质，求实数的取值范围，并讨论此时函数在区间上零点的个数.