专题09 含两种曲线模型(原卷版)

这是一份专题09 含两种曲线模型(原卷版)，共7页。

[例4] (23)(2019·浙江)已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
答案 eq \r(15) 解析 法一：依题意，设点P(m，n)(n>0)，由题意知F(－2，0)，所以线段FP的中点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2＋m,2)，\f(n,2)))在圆x2＋y2＝4上，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2＋m,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,2)))2＝4，①．又点P(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1上，所以eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,5)＝1，②．联立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，所以m＝－eq \f(3,2)或m＝eq \f(21,2)(舍去)，n＝eq \f(\r(15),2)，所以kPF＝eq \f(\f(\r(15),2)－0,－\f(3,2)－－2)＝eq \r(15)．
法二：如图，取PF的中点M，连接OM，由题意知|OM|＝|OF|＝2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|＝4，由椭圆的定义知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2．因为M为PF的中点，所以|MF|＝1．在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2)＝eq \f(\r(15),2)，所以kPF＝tan∠HFO＝eq \f(\f(\r(15),2),\f(1,2))＝eq \r(15)．
(24)如图，已知F1，F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与双曲线的左、右两支分别交于A，B，若|F2B|＝|AB|，则b的值是________．
答案 1＋eq \r(3) 解析 法一：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cs∠F2F1A＝eq \f(b,c)，sin∠F2F1A＝eq \f(1,c)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c＋2×\f(b,c)，2×\f(1,c)))，将点A的坐标代入双曲线得eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c2＋2b))2,c2)－eq \f(4,c2b2)＝1，化简得b6－4b5＋5b4－4b3－4＝0，得(b2－2b－2)(b4－2b3＋3b2－2b＋2)＝0，而b4－2b3＋3b2－2b＋2＝b2(b－1)2＋b2＋1＋(b－1)2＞0，故b2－2b－2＝0，解得b＝1±eq \r(3)(负值舍去)，即b＝1＋eq \r(3)．
法二：因为|F2B|＝|AB|，所以结合双曲线的定义，得|AF1|＝|BF1|－|AB|＝|BF1|－|BF2|＝2，连接AF2，则|AF2|＝2＋|AF1|＝4．连接OT，在Rt△OTF1中，|OT|＝1，|OF1|＝c，|TF1|＝b，所以cs∠F2F1A＝eq \f(b,c)．在△AF1F2中，由余弦定理得，cs∠F2F1A＝eq \f(|F1F2|2＋|AF1|2－|AF2|2,2|F1F2|·|AF1|)＝eq \f(c2－3,2c)，所以c2－3＝2b，又在双曲线中，c2＝1＋b2，所以b2－2b－2＝0，解得b＝1±eq \r(3)(负值舍去)，即b＝1＋eq \r(3)．
(25)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)a，0))且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝eq \f(4\r(2),3)c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±2x D．y＝±4x
答案 B 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，则直线l的斜率kl＝－eq \f(a,b)，直线l的方程为y＝－eq \f(a,b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)a))，整理可得ax＋by－eq \f(2,3)a2＝0．焦点(c，0)到直线l的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ac－\f(2,3)a2)),\r(a2＋b2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ac－\f(2,3)a2)),c)，则弦长为2eq \r(c2－d2)＝2eq \r(c2－\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ac－\f(2,3)a2))2,c2))＝eq \f(4\r(2),3)c，整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，即e4－9e2＋12e－4＝0，分解因式得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－1))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e－2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e2＋3e－2))＝0．又双曲线的离心率e>1，则e＝eq \f(c,a)＝2，所以eq \f(b,a)＝ eq \r(\f(c2－a2,a2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2－1)＝eq \r(3)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±eq \r(3)x．
方法二 圆心到直线l的距离为eq \r(c2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(2),3)c))2)＝eq \f(c,3)，∴eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(ac－\f(2,3)a2)),c)＝eq \f(c,3)，∴c2－3ac＋2a2＝0，∴c＝2a，b＝eq \r(3)a，∴渐近线方程为y＝±eq \r(3)x．
(26)已知F为抛物线y2＝4eq \r(3)x的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点(点A在第一象限)，若eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则以AB为直径的圆的标准方程为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5\r(3),3)))2＋(y－2)2＝eq \f(64,3) B．(x－2)2＋(y－2eq \r(3))2＝eq \f(64,3)
C．(x－5eq \r(3))2＋(y－2)2＝64 D．(x－2eq \r(3))2＋(y－2)2＝64
答案 A 解析 如图，作出抛物线的准线l：x＝－eq \r(3)，设A、B在l上的射影分别是C、D，

连接AC、BD，过B作BE⊥AC于E．∵eq \(AF,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，∴设|AF|＝3m，|BF|＝m，∵点A、B在抛物线上，∴|AC|＝3m，|BD|＝m．因此，在Rt△ABE中，|AB|＝4m，|AE|＝2m，∴cs∠BAE＝eq \f(1,2)，∴∠BAE＝60°，∴直线AB的倾斜角为60°，即直线AB的斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，∴直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－eq \r(3))，代入抛物线方程得3x2－10eq \r(3)x＋9＝0．∴xA＋xB＝eq \f(10\r(3),3)，xA·xB＝3．∴yA＋yB＝eq \r(3)(xA－eq \r(3))＋eq \r(3)(xB－eq \r(3))＝4，|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(16,\r(3))，∴AB中点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(xA＋xB,2)，\f(yA＋yB,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(3),3)，2))．则以AB为直径的圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5\r(3),3)))2＋(y－2)2＝eq \f(64,3)．故选A．
(27)已知曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线，A是曲线C1与C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝eq \f(7,2)，|AF2|＝eq \f(5,2)，则△AF1F2的面积是( )
A．eq \r(3) B．2 C．eq \r(6) D．4
答案 C 解析 画出图形如图所示，AD⊥F1D，根据抛物线的定义可知|AF2|＝|AD|＝eq \f(5,2)，故cs∠F1AD＝eq \f(5,7)，也即cs∠AF1F2＝eq \f(5,7)，在△AF1F2中，由余弦定理得eq \f(5,7)＝eq \f(\f(49,4)＋|F1F2|2－\f(25,4),2×\f(7,2)×|F1F2|)，解得|F1F2|＝2或|F1F2|＝3，由于∠AF2F1为钝角，故|AD|>|F1F2|，所以|F1F2|＝3舍去，故|F1F2|＝2．而sin∠AF1F2＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,7)))2)＝eq \f(2\r(6),7)，所以S△AF1F2＝eq \f(1,2)×eq \f(7,2)×2×eq \f(2\r(6),7)＝eq \r(6)．故选C．
(28)(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±eq \f(\r(2),2)x 解析 法一 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋eq \f(p,2)＋yB＋eq \f(p,2)＝4×eq \f(p,2)⇒yA＋yB＝p，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝eq \f(2pb2,a2)＝p，解得a＝eq \r(2)b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x．
法二 (点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋eq \f(p,2)，|BF|＝y2＋eq \f(p,2)，|OF|＝eq \f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y1＋eq \f(p,2)＋y2＋eq \f(p,2)＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p．易知直线AB的斜率kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(\f(xeq \\al(2,2),2p)－\f(xeq \\al(2,1),2p),x2－x1)＝eq \f(x2＋x1,2p)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(xeq \\al(2,1),a2)－\f(yeq \\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq \\al(2,2),a2)－\f(yeq \\al(2,2),b2)＝1，))得kAB＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝eq \f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）)＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,p)，则eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,p)＝eq \f(x2＋x1,2p)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)⇒eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x．
【对点训练】
56．如图，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a>2)，圆O：x2＋y2＝a2＋4，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆
上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF1|·|PF2|＝6，则|PM|·|PN|的值为________．
57．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线
右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)x B．y＝±eq \r(3)x C．y＝±x D．y＝±2x
58．已知双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，
若过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，则|MN|＝________.
59．已知双曲线eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1，过双曲线的上焦点F1作圆O：x2＋y2＝25的一条切线，切点为M，交双曲线
的下支于点N，T为NF1的中点，则△MOT的外接圆的周长为________．
60．以抛物线C：y2＝2px(p>0)的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|
＝2eq \r(6)，|DE|＝2eq \r(10)，则p等于________．
61．已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A，
B，C，D，则|AB|·|CD|的值是________．
62．已知曲线G：y＝eq \r(－x2＋16x－15)及点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1
＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.
63．已知F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，曲线C1是以F为圆心，eq \f(p,4)为半径的圆，直线2eq \r(3)x－6y＋3p
＝0与曲线C，C1从左至右依次相交于P，Q，R，S，则eq \f(|RS|,|PQ|)＝________．
64．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆
x2－px＋y2－eq \f(3,4)p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
65．(2016·全国Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|
＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
66．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M(x0，2eq \r(2))是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于
点A，且被直线x＝eq \f(p,2)截得的弦长为eq \r(3)|MA|，若eq \f(|MA|,|AF|)＝2，则|AF|＝( )
A．eq \f(3,2) B．1 C．2 D．3
67．已知椭圆C1与双曲线C2有相同的左右焦点F1，F2，P为椭圆C1与双曲线C2在第一象限内的一个公
共点，设椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，且eq \f(e1,e2)＝eq \f(1,3)，若∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则双曲线C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±eq \f(\r(3),3)y＝0 C．x±eq \f(\r(2),2)y＝0 D．x±2y＝0
68．已知双曲线eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，直线y＝kx＋m与抛物线相交于A，B两
个不同的点，点M(2，2)是AB的中点，则△AOB(O为坐标原点)的面积是( )
A．4eq \r(3) B．3eq \r(13) C．eq \r(14) D．2eq \r(3)
69．设椭圆C2：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为e＝eq \f(1,2)，抛物线C1：y2＝－4mx(m＞
0)的准线经过椭圆的右焦点，抛物线C1与椭圆C2交于x轴上方一点P，若△PF1F2的三边长恰好是三个连续的自然数，则a的值为________．
70．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线eq \r(7)x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M
上，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|eq \(PF1,\s\up6(→))|·|eq \(PF2,\s\up6(→))|＝( )
A．21 B．14 C．7 D．0
71．已知抛物线C1：y2＝8ax(a＞0)，直线l的倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得
的线段长是16，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是( )
A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1
72．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，
O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△ABO的面积为2eq \r(3)，则抛物线的焦点为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，0)) C．(1，0) D．(eq \r(2)，0)
73．若双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，且被圆x2＋(y－a)2＝1截得的弦长
为eq \r(2)，则a＝( )
A．eq \f(\r(5),2) B．eq \f(\r(10),2) C．eq \r(5) D．eq \r(10)
74．抛物线C1：y＝eq \f(1,2p)x2(p>0)的焦点与双曲线C2：eq \f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若
C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p等于( )
A．eq \f(\r(3),16) B．eq \f(\r(3),8) C．eq \f(2\r(3),3) D．eq \f(4\r(3),3)