专题5.4 三角函数（基础巩固卷）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题5.4  三角函数（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为，则该扇形的面积为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据已知条件，结合弧长公式和扇形面积公式，即可求解．

【解答】解：∵，

∴，

∴该扇形的面积S．

故选：D．

2．（2021秋•端州区校级月考）﹣361°角的终边在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【分析】由终边相同的角的集合即可得解．

【解答】解：已知角α＝﹣361°＝﹣360°﹣1°，则﹣1°是与角α终边相同的角，

则角α的终边落于第四象限．

故选：D．

3．（2021秋•富平县月考）对于α∈R，下列等式恒成立的是（　　）

A．sin（2π﹣α）＝sinα B．cos（﹣α）＝﹣cosα 

C． D．tan（π﹣α）＝﹣tanα

【分析】根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．

【解答】解：对于A：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，故A错，

对于B，cos（﹣α）＝cosα，故B错，

对于C，cos（α）＝﹣sinα，故C错，

对于D，tan（π﹣α）＝﹣tanα，故D正确，

故选：D．

4．（2021春•静宁县校级月考）已知角α是第二象限角，且满足sin（α）+3cos （α﹣π）＝1，则tan（π+α）＝（　　）

A． B． C． D．﹣1

【分析】由题意利用诱导公式求得cosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，可得要求式子的值．

【解答】解：角α是第二象限角，且满足sin（α）+3cos （α﹣π）＝cosα﹣3cosα＝﹣2cosα＝1，

∴cosα，∴sinα，则tan（π+α）＝tanα，

故选：B．

5．（2021秋•贵阳月考）设函数，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的图象关于直线对称 

B．f（x）的图象关于点对称 

C．把f（x）的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 

D．f（x）在区间上为增函数

【分析】由题意利用三角函数的图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：对于函数，令x，求得f（x）＝0，不是最值，

故f（x）的图象不关于直线对称，故A错误；

令x，求得f（x）＝1，为最大值，故f（x）的图象关于直线x对称，故B错误；

把f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin（2x）＝cos2x的图象，

故得到一个偶函数的图象，故C正确；

在区间上，2x∈[，]，f（x）没有单调性，故D错误，

故选：C．

6．（2021秋•10月份月考）已知k∈Z，则“θ2kπ”是“函数f（x）＝sin（2x+θ）为偶函数”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．

【解答】解：k∈Z，则“θ2kπ”时，函数f（x）＝sin（2x+θ）为偶函数”，

当函数f（x）＝sin（2x+θ）为偶函数”则θ＝kπ（k∈Z），

故“θ2kπ”是“函数f（x）＝sin（2x+θ）为偶函数”的充分不必要条件，

故选：A．

7．（2021秋•广东期中）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（　　）

A．f（x）关于点（，0）对称 B．f（x）关于直线x对称 

C．f（x）为偶函数 D．f（x）为奇函数

【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．

【解答】解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），

∵它的经过点A（，），

∴sin（φ）＝cosφ，

∴φ，

故f（x）＝sin（2x）．

令x，求得f（x），不是最值，故A、B都错误；

由于f（x）＝sin（2x）＝cos2x，故f（x）是偶函数，故C正确，

由于f（x）＝sin（2x），故f（x）不是奇函数，故D错误．

故选：C．

8．（2021秋•西城区校级期中）设函数f（x）＝cos2xsinxcosx，则下列结论错误的是（　　）

A．f（x）的一个周期为π 

B．y＝f（x）的图象关于直线x对称 

C．将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位可以得到函数f（x）的图象 

D．f（x）在（，π）上单调递减

【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．

【解答】解：函数f（x）＝cos2xsinxcosx，

所以函数的最小正周期为π，故A正确；

当x时，f（）＝cos3π＝﹣1，故B正确；

函数y＝cos2x向左平移个单位，得到f（x）＝cos（2x）的图象，故C正确；

当x∈（，π）时，，所以函数f（x）在该区间上有增有减．

故选：D．

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021秋•沙坪坝区校级月考）下列各式中，值为的是（　　）

A． 

B． 

C．cos15°sin45°﹣sin15°cos45° 

D．

【分析】利用二倍角公式和正弦的差角公式进行运算即可．

【解答】解：对于A，原式，故A正确；

对于B，原式＝cos，故B正确；

对于C，原式＝sin（45°﹣15°）＝sin30°，故C错误；

对于D，原式，故D错误；

故选：AB．

10．（2021秋•沙坪坝区校级月考）已知函数，以下对该函数的说法正确的是（　　）

A．最小正周期为π 

B．在上单调递增 

C．x为一条对称轴 

D．点为一个对称中心

【分析】利用周期计算公式即可判断选项A，由正弦函数的单调性即可判断选项B，由对称轴取得最值即可判断选项C，由对称中心为函数的零点即可判断选项D．

【解答】解：函数，

所以函数f（x）的最小正周期为，故选项A正确；

令，

解得，

当k＝0时，f（x）的单调递增区间为，

所以f（x）在上单调递增，在上单调递减，故选项B错误；

因为，所以x不是f（x）的对称轴，故选项C错误；

由选项C可知，，所以点为f（x）的一个对称中心，故选项D正确．

故选：AD．

11．（2021秋•肇庆月考）函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 

B．f（x）的图象的一条对称轴可能为直线x 

C．f（x）在区间[，]上单调递增 

D．f（x）的图象关于点（，0）对称

【分析】先根据函数图象求得其解析式，然后对选项逐一进行判断即可．

【解答】解：由图象可知，T＝[]，

所以T＝2π，

所以ω＝1，

因为图象过点（，1），

所以cos（）＝1，

解得2kπ（k∈Z），

由﹣π＜φ＜0，可知φ，

所以f（x）＝cos（x），

对于A，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可得y＝cos（x）＝cos（x）＝sinx，

由正弦函数为奇函数可知，A正确；

对于B，因为f（x）＝cos（x）的对称轴方程为xkπ，即xkπ（k∈Z），

当k＝﹣1时，x，故B正确；

对于C，当x∈[，]时，x∈[2π，3π]，

而余弦函数在该区间不是单调递增的，故C错误；

对于D，令xkπ（k∈Z），

解得：xkπ，

所以其对称中心为（，0）（k∈Z），

当k＝0时可知，D正确．

故选：ABD．

12．（2021秋•龙岗区期中）函数，则下列说法正确的是（　　）

A．若，则f（x）的值域为 

B．函数f（x）在上为增函数 

C．函数f（x）的图象关于点对称 

D．函数f（x）的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到

【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）sin（2x），

对于A，由已知可求范围2x∈[，]，利用正弦函数的性质即可判断得解；

对于B，令2kπ2x2kπ，k∈Z，由正弦函数的单调性即可求解；

对于C，由f（）＝0，即可判断C；

对于D，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可求解．

【解答】解：sinx（sinxcosx）sin2xsinxcosxsin2xcos2xsin（2x），

对于A，若，则2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，可得f（x）sin（2x）∈[，]，可得f（x）的值域为，故A正确；

对于B，令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，可得当k＝0时，x，即函数f（x）在上为增函数，故B正确；

对于C，f（）sin（2）＝0，故C错误；

对于D，的图象向右平移个单位长度得到ycos2（x）cos（2x）sin（2x）＝f（x），故D正确．

故选：ABD．

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2021秋•黄浦区校级期中）若圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则其侧面展开图的扇形的圆心角弧度数是 　　．

【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，利用圆心角的公式求解即可．

【解答】解：由题意圆锥的母线为：l，底面半径为：r，

可得lr，

圆锥的底面周长为2πr，

它的侧面展开图的弧长为：2πr，

所以它的侧面展开图的圆心角θπ．

故答案为：π．

14．（2021秋•沙坪坝区校级月考）若，则tan（α）＝　　．

【分析】将tanα代入条件，化简求得tanα，再将所求式子用两角和的正切公式展开，代入求值即可．

【解答】解：因为tanα，

所以sinα＝tanαcosα，

所以，

解得tanα＝2，

tan（）3，

故答案为：﹣3．

15．（2021秋•宝安区校级月考）已知，则cos2α＝　　．

【分析】由已知利用诱导公式可得sinα的值，进而根据二倍角公式即可求解．

【解答】解：因为，可得sinα，

所以cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．

故答案为：．

16．（2021秋•广东期中）已知，则　　．

【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sin（θ）的值，进而利用诱导公式即可求解．

【解答】解：因为，

所以2sin（θ），可得sin（θ），

则cos[（θ）]＝﹣sin（θ）．

故答案为：．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021春•静宁县校级月考）化简下列各式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用三角函数诱导公式进行化简即可；

（2）利用三角函数诱导公式进行化简即可．

【解答】解：（1）原式tanα；

（2）原式1．

18．（2021秋•葫芦岛月考）已知锐角α满足tan（π+2α）．

（1）求tan（α）；

（2）求sin2α+3cos2α．

【分析】（1）由题意利用诱导公式，二倍角的正切公式化简可得tanα的值，进而根据两角和的正切公式即可求解．

（2）由（1）可得tanα＝2，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．

【解答】解：（1）因为tan（π+2α），

所以tan2α，

所以，解得tanα，或2，

又α是锐角，所以tanα＝2，

所以tan（α）．

（2）因为由（1）可得tanα＝2，

所以sin2α+3cos2α．

19．（2021秋•香坊区校级月考）已知f（α）．

（1）若tanα＝2，求f（α）的值；

（2）若f（α），α∈（0，π），求sinα﹣cosα的值．

【分析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简函数解析式可得f（α）＝﹣sinαcosα，根据已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．

（2）由已知及（1）可得α∈（，π），sinα＞0，cosα＜0，利用平方差公式即可求解．

【解答】解：（1）因为f（α）sinαcosα，

又tanα＝2，

所以f（α）．

（2）因为f（α）＝﹣sinαcosα0，α∈（0，π），

所以α∈（，π），sinα＞0，cosα＜0，

所以sinα﹣cosα．

20．（2021秋•丰台区校级月考）设函数．

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝sin（2x），进而根据正弦函数的性质即可求解．

（2）利用正弦函数的单调性即可求解．

【解答】解：（1）sinxcosxcos2xsin2xcos2xsin（2x），

可得f（x）的最小正周期Tπ，可得f（x）的最大值为1；

（2）令2kπ2x2kπ，k∈Z，可得kπx≤kπ，k∈Z，

可得f（x）的单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z．

21．（2021秋•丰台区校级月考）已知函数f（x）＝cos2x﹣4cosx+1．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

【分析】（Ⅰ）由题意根据函数的解析式，求得的值．

（Ⅱ）由题意利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式，再利用二次函数的性质，计算求得f（x）的最大值和最小值．

【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝cos2x﹣4cosx+1，

∴cos4cos12+1．

（Ⅱ）∵f（x）＝2cos2x﹣4cosx＝2（cosx﹣1）2﹣2，cosx∈[﹣1，1]，

 则当cosx＝1时，f（x）取得最小值为﹣2，当cosx＝﹣1时，f（x）取得最大值为6．

22．（2021秋•贵溪市校级月考）已知函数．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若任意时，f（x）≤m恒成立，求m范围．

【分析】（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简f（x），再由周期公式，可得所求；

（2）由x的范围，可得f（x）的最大值，由不等式恒成立思想可得m不小于最大值．

【解答】解：（1）函数sin2x（1﹣cos2x）

＝sin2xcos2x2sin（2x），

则f（x）的最小正周期为Tπ；

（2）由x∈[0，]，可得2x∈[，]，

sin（2x）∈[，1]，

则f（x）的最大值为f（）＝2，

由任意时，f（x）≤m恒成立，

可得m≥f（x）max＝2，

则m的取值范围是[2，+∞）．