第四节　基本不等式及其应用学案

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第四节　基本不等式及其应用
学习要求:
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.


　　1.基本不等式ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:① a>0,b>0 . 
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时,等号成立.
▶提醒　在运用基本不等式及其变形时,一定要验证等号是否成立.
2.算术平均数与几何平均数
设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为② a+b2 ,几何平均数为③ ab ,基本不等式可叙述为两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 
3.利用基本不等式求最值
已知x>0,y>0,
(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值,是④ 2p (简记为积定和最小). 
(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值,是⑤ q24 (简记为和定积最大). 
知识拓展
　　1.基本不等式的两种常用变形形式
(1)ab≤a+b22(a,b∈R,当且仅当a=b时取等号).
(2)a+b≥2ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号).
2.几个重要的结论
(1)a2+b22≥a+b22(a,b∈R).
(2)ba+ab≥2(ab>0).
(3)ab≤a+b2≤a2+b22(a>0,b>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)不等式a2+b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的. (　　)
(2)函数y=x+1x的最小值是2. (　　)
(3)函数f(x)=sin x+4sinx的最小值为4. (　　)
(4)“x>0且y>0”是“xy+yx≥2”的充要条件. (　　)
答案　(1)✕　(2)✕　(3)✕　(4)✕
2.(新教材人教B版必修第一册P73例1改编)若x<0,则x+1x (　　)
A.有最小值,且最小值为2
B.有最大值,且最大值为2
C.有最小值,且最小值为-2
D.有最大值,且最大值为-2
答案　D
3.(2020辽宁葫芦岛模拟)已知实数x满足log12x>1,则函数y=8x+12x-1的最大值为 (　　)
A.-4　　　　B.8
C.4　　　　 D.0
答案　D
4.(2018天津,13,5分)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18b的最小值为　　　　. 
答案　14

利用基本不等式求最值
角度一　利用配凑法求最值
典例1　(2020四川乐山一中月考)设0 答案　92
解析　y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+(3-2x)22=92,
当且仅当2x=3-2x,
即x=34时,等号成立.
∵34∈0,32,
∴函数y=4x(3-2x)0 角度二　利用常数代换法求最值
典例2　已知a>0,b>0,a+b=1,则1a+1b的最小值为　　　　. 
答案　4
解析　因为a+b=1,
所以1a+1b=1a+1b(a+b)=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4.当且仅当a=b=12时,取等号.
◆变式　若本例条件不变,则1+1a1+1b的最小值为　　　　. 
答案　9
解析　因为a+b=1,
所以1+1a1+1b=1+a+ba1+a+bb
=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.当且仅当a=b=12时,取等号.

角度三　消元法求最值
典例3　已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为　　　　. 
答案　6
解析　解法一:(换元消元法)由已知得x+3y=9-xy,
因为x>0,y>0,
所以x+3y≥23xy,
所以3xy≤x+3y22,当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y+13x+3y22≥9,即(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0.
令x+3y=t,则t>0且t2+12t-108≥0,
解得t≥6,即x+3y的最小值为6.
解法二:(代入消元法)由x+3y+xy=9,得x=9-3y1+y,
所以x+3y=9-3y1+y+3y=9-3y+3y(1+y)1+y
=9+3y21+y=3(1+y)2-6(1+y)+121+y
=3(1+y)+121+y−6≥23(1+y)·121+y-6=12-6=6.
当且仅当3(1+y)=121+y,即x=3,y=1时等号成立.所以x+3y的最小值为6.
名师点评
1.利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
2.常数代换法,主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求ax+by的最值”的问题,先将ax+by转化为ax+by·x+yt,再用基本不等式求最值.
3.当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.



1.(2020湖北孝感应城第一高级中学模拟)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.3　　　　B.4 C.92　　　　D.112
答案　B　由题意得x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y22,当且仅当x=2y=2时等号成立.∴(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)·(x+2y+8)≥0,∵x>0,y>0,∴x+2y>0,
∴x+2y≥4.
2.(2020四川遂宁模拟)当x>1时,x+4x-1的最小值为　　　　. 
答案　5
解析　∵x>1,∴x-1>0,由基本不等式得x+4x-1=(x-1)+4x-1+1≥2(x-1)·4x-1+1=5.
当且仅当x=3时,等号成立.因此,x+4x-1的最小值为5.
3.(2020吉林长春农安实验中学模拟)已知x>0,y>0,且2x+1y=1,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. 
答案　(-4,2)
解析　由题意可知x+2y=(x+2y)·2x+1y=4+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,当且仅当x=2y=4时等号成立,要使x+2y>m2+2m恒成立,
则m2+2m<8,解得-4 利用基本不等式解决实际问题
典例4　某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件该种产品,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x.当年产量不小于80千件
时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品的售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析　(1)因为每件商品的售价为0.05万元,所以x千件商品的销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,
当0≤x<80时,L(x)=(0.05×1 000x)-13x2+10x−250=−13x2+40x-250.
当x≥80时,L(x)=(0.05×1 000x)-51x+10 000x−1 450−250=1 200−x+10 000x.
所以L(x)=-13x2+40x-250,0≤x<80,1 200-x+10 000x,x≥80.
(2)当0≤x<80时,易知L(x)=-13(x-60)2+950.
当x=60时,L(x)取得最大值,L(60)=950.
当x≥80时,L(x)=1 200-x+10 000x≤1 200−2x·10 000x=1 200-200=1 000.
当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值1 000.
因为950<1 000,
所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为1 000万元.
名师点评
利用基本不等式解决实际问题的技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.


1.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 
答案　30
解析　由题意得,一年购买600x次,则总运费与总存储费用之和为600x×6+4x=4900x+x≥8900x·x=240(万元),当且仅当x=30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时,x的值是
30.2.某游泳馆拟建一个平面图形为矩形且面积为200平方米的游泳池,如图池的深度为1米,四周墙壁建造单价为每米400元,中间一条隔壁建造单价为每米100元,池底建造单价为每平方米60元(池壁厚度忽略不计).当游泳池的长设计为　　　　米时,总造价最低. 

答案　15
解析　设游泳池的长为x米,总造价为y元,则宽为200x米,y=400×2x+2×200x+100×200x+60×200=800×x+225x+12 000≥1 600x·225x+12 000=36 000,当且仅当x=225x(x>0),即x=15时等号成立.即游泳池的长设计为15米时,总造价最低.
基本不等式的综合应用
　　典例5　(1)(2020广东惠州调研)在△ABC中,点D是AC上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,向量AP=λAB+μAC(λ>0,μ>0),则4λ+1μ的最小值为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A.16　　　　B.8
C.4　　　　 D.2
(2)(2020北京朝阳模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1.设M是底面ABC内一点,定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积.若f(M)=12,x,y,且1x+ay≥8恒成立,则正实数a的最小值为　　　　. 

答案　(1)A　(2)1
解析　(1)由题意可知,AP=λAB+4μAD,因为B,P,D三点共线,所以λ+4μ=1,又因为λ>0,μ>0,所以4λ+1μ=4λ+1μ×(λ+4μ)=8+16μλ+λμ≥8+216μλ×λμ=16,当且仅当λ=12,μ=18时,等号成立,故4λ+1μ的最小值为16.故选A.
(2)∵PA,PB,PC两两垂直,且PA=3,PB=2,PC=1,
∴VP-ABC=13×12×3×2×1=1=12+x+y,∴x+y=12,则2x+2y=1.∵a>0,∴1x+ay=1x+ay(2x+2y)=2+2a+2yx+2axy≥2+2a+4a,当且仅当2yx=2axy,即y=ax时,取等号,因此2+2a+4a≥8,解得a≥1,∴正实数a的最小值为1.
名师点评
利用基本不等式解题的策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.
(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
(3)求参数的值或取值范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关条件,从而得参数的值或取值范围.

　(2020厦门联考)若对任意正实数m,n,都有m2-amn+2n2≥0,则实数a的最大值为 (　　)
A.2　　　　B.22
C.4　　　　 D.92
答案　B　∵对任意正实数m,n,都有m2-amn+2n2≥0,∴m2+2n2≥amn,即a≤m2+2n2mn=mn+2nm恒成立,∵mn+2nm≥2mn·2nm=22,当且仅当mn=2nm ,即m=2n时取等号,
∴a≤22,故a的最大值为22,故选B.



A组　基础达标

1.(2020湖南衡阳模拟)已知a,b为正实数,且2a+b=2,则ab+1a的最小值为 (　　)
A.32　　　　B.2+1　　　　C.52　　　　D.22
答案　B
2.(2020河北沧州盐山中学期末)已知实数x,y满足x>1,y>1,且14ln x,14,ln y成等比数列,则xy有 (　　)
A.最大值e　　　　B.最大值e
C.最小值e　　　　D.最小值e
答案　C
3.(2020吉林梅河口第五中学模拟)已知函数f(x)=lg x,0 A.p=r>q　　　　B.p=rp
答案　B
4.(2020甘肃静宁第一中学模拟)若圆(x-2)2+(y-1)2=5关于直线ax+by-1=0(a>0,b>0)对称,则2a+1b的最小值为(　　)
A.4　　　　B.42　　　　C.9　　　　D.92
答案　C
5.(多选题)下列四个函数中,最小值为2的是 (　　)
A.y=sin x+1sinx0 B.y=ln x+1lnx(x>0,x≠1)
C.y=x2+6x2+5
D.y=4x+4-x
答案　AD　对于A,因为0 6.(2020河南模拟)若对任意正数x,不等式2x2+4≤2a+1x恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[0,+∞)　　　　 B.-14,+∞
C.14,+∞　　　　D.12,+∞
答案　B　依题意得,当x>0时,2a+1≥2xx2+4=2x+4x恒成立,
因为x+4x≥2x·4x=4,当且仅当x=2时取等号,所以2x+4x的最大值为12,
所以2a+1≥12,解得a≥-14,因此,实数a的取值范围为-14,+∞.
7.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是　　　　万元. 
答案　8
解析　每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x万元,由于x>0,故yx≤18−225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大,最大为8万元.
8.(2020湖南岳阳模拟)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的最大值为　　　　,1a+2b的最小值为　　　　. 
答案　2;94
解析　∵a>0,b>0,且a+2b-4=0,∴a+2b=4,∴ab=12a·2b≤12·a+2b22=2,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时等号成立,
∴ab的最大值为2.
∵1a+2b=1a+2b·a+2b4
=145+2ba+2ab
≥14·5+22ba·2ab=94,当且仅当a=b=43时等号成立,∴1a+2b的最小值为94.
9.(1)当x<32时,求函数y=x+82x-3的最大值;
(2)设0 解析　(1)y=12(2x-3)+82x-3+32
=-3-2x2+83-2x+32.
当x<32时,3-2x>0,
∴3-2x2+83-2x≥23-2x2·83-2x=4,
当且仅当3-2x2=83-2x,即x=-12时取等号.
∴y≤-4+32=−52,
故函数的最大值为-52.
(2)∵00,
∴y=x(4-2x)=2·x(2-x)≤2·x+2-x2=2,
当且仅当x=2-x,即x=1时取等号,
∴当x=1时,函数y=x(4-2x)的最大值为2.


B组　能力拔高

10.规定:“⊗”表示一种运算,即a⊗b=ab+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为　　　　,此时函数f(x)=k⊗xx的最小值为　　　　. 
答案　1;3
解析　由题意得1⊗k=k+1+k=3,即k+k-2=0,解得k=1或k=-2(舍去),所以k=1.又f(x)=1⊗xx=x+x+1x=1+x+1x≥1+2=3,当且仅当x=1x,即x=1时取等号,故函数f(x)的最小值为3.
11.(2020山东名校联考)已知a,b∈R,且a>b>0,a+b=1,则a2+2b2的最小值为　　　　,4a-b+12b的最小值为　　　　. 
答案　23;9
解析　因为a+b=1,所以a=1-b,又因为a>b>0,所以00,所以4a-b+12b=41-2b+12b(1-2b+2b)=5+8b1-2b+1-2b2b≥5+4=9,当且仅当b=16时,等号成立.故4a-b+12b的最小值为9.
12.某厂家拟定在2020年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1(k为常数).如果不举行促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍.
(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;
(2)该厂家2020年投入多少万元促销费用时,获得的利润最大?
解析　(1)由题意知,当m=0时,x=1,所以1=3-k⇒k=2,所以x=3-2m+1(m≥0),
每件产品的销售价格为1.5×8+16xx元,
所以2020年的利润
y=1.5x×8+16xx−8−16x−m=4+8x−m=4+83-2m+1−m=−16m+1+(m+1)+29(m≥0).
(2)因为m≥0时,16m+1+(m+1)≥216=8,所以y≤-8+29=21,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,ymax=21.
故该厂家2020年投入3万元促销费用时,获得的利润最大,为21万元.

C组　思维拓展

13.(2020山东师大附中模拟)已知△ABC的面积为1,内切圆的半径也为1,若△ABC的三边长分别为a,b,c,则4a+b+a+bc的最小值为 (　　)
A.2　　　　B.2+2
C.4　　　　D.2+22
答案　D　因为△ABC的面积为1,内切圆的半径也为1,
所以12(a+b+c)×1=1,所以a+b+c=2,
所以4a+b+a+bc=2(a+b+c)a+b+a+bc=2+2ca+b+a+bc≥2+22,
当且仅当2ca+b=a+bc且a+b+c=2,即c=22-2时,等号成立,
所以4a+b+a+bc的最小值为2+22.
14.(2020安徽蚌埠模拟)在△ABC中,设角A、B、C的对边分别是a、b、c,若sin B=sinA+sinC2,则1sinA+1sinC的最小值为　　　　. 
答案　433
解析　∵sin B=sinA+sinC2,∴b=a+c2.
∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+c2-a+c222ac=34a2+34c2-12ac2ac
≥34·2ac-12ac2ac=12,
当且仅当a=c时,等号成立,
则B∈0,π3.
∴1sinA+1sinC=1sinA+1sinC·sinA+sinC2sinB
=1sinB+12sinBsinCsinA+sinAsinC
=1sinB+12sinBca+ac≥1sinB+12sinB×2ca·ac=2sinB,
当且仅当a=c时,等号成立.
∵B∈0,π3,∴sin B∈0,32,
∴2sinB∈433,+∞,
故1sinA+1sinC≥433.
∴1sinA+1sinC的最小值为433.