中考数学总复习精炼（含答案）：03统计与概率、与三角形有关的计算和证明

统计与概率

1.车间有20名工人，某一天他们生产的零件个数统计如下表．

车间20名工人某一天生产的零件个数统计表

(1)求这一天20名工人生产零件的平均个数；

(2)为了提高大多数工人的积极性，管理者准备实行“每天定额生产，超产有奖”的措施．如果你是管理者，从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你将如何确定这个“定额”？

解：(1)＝×(9×1＋10×1＋11×6＋12×4＋13×2＋15×2＋16×2＋19×1＋20×1)＝13(个)；答：这一天20名工人生产零件的平均个数为13个；

(2)中位数为＝12(个)，众数为11个．当定额为13个时，有8人达标，6人获奖，不利于提高工人的积极性；当定额为12个时，有12人达标，6人获奖，不利于提高大多数工人的积极性；当定额为11个时，有18人达标，12人获奖，有利于提高大多数工人的积极性；∴定额为11个时，有利于提高大多数工人的积极性．

2．某市气象局统计了5月1日至8日中午12时的气温(单位：℃)，整理后分别绘制成如图所示的两幅统计图．

根据图中给出的信息，解答下列问题：

(1)该市5月1日至8日中午时气温的平均数是________℃，中位数是________℃；

(2)求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；

(3)现从该市5月1日至5日的5天中，随机抽取2天，求恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率．

解：(1)5月1日至8日中午时气温的平均数：(19＋16＋22＋18＋21＋22＋25＋26)÷8＝21.125℃；中位数为21.5℃；

(2)因为低于20℃的天数有3天，则扇形统计图中扇形A的圆心角的度数360°×＝135°，答：扇形统计图中扇形A的圆心角的度数为135°；

(3)设这个月5月1日至5日的5天中午12时的气温依次即为A1，A2，A3，A4，A5，则抽到2天中午12时的气温，共有(A1A2)，(A1A3)，(A1A4)，(A1A5)，(A2A3)，(A2A4)，(A2A5)，(A3A4)，(A3A5)，(A4A5)共10种不同取法，其中抽到2天中午12时的气温均低于20℃有(A1A2)，(A1A4)，(A2A4)3种不同取法，因此恰好抽到2天中午12时的气温均低于20℃的概率为.

3．安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．

(1)宣传活动前，在抽取的市民中哪一类别的人数最多？占抽取人数的百分之几？

(2)该市约有30万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数；

(3)小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．

解：(1)宣传活动前，在抽取的市民中偶尔戴的人数最多，占抽取人数：×100%＝51%；

(2)估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数：30万×＝5.31万(人)；

(3)宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：×100%＝8.9%，活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：×100%＝17.7%，8.9%＜17.7%，因此交警部门开展的宣传活动有效果．

4．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；D.不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的三种统计图表．

对雾霾天气了解程度的统计表

请结合统计图表，回答下列问题：

(1)本次参与调查的学生共有________人，n＝________；

(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是________度；

(3)请补全条形统计图；

(4)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去，否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．

解：(1)180÷45%＝400，所以本次参与调查的学生共有400人，n＝1－5%－15%－45%＝35%；

(2)扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角＝360°×35%＝126°；

(3)D等级的人数为400×35%＝140(人)，补全条形统计图略；

(4)画树状图为：共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，∴P(小明去)＝＝，P(小刚去)＝1－＝，∵≠，∴这个游戏规则不公平．

与三角形有关的计算和证明

1.(温州二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，过点C作CE⊥BD交BD于点E，且CE＝AB.

(1)求证：△ABD≌△ECB；

(2)若AB＝AD，求∠ADC的度数．

解：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，且∠A＝∠BEC＝90°，AB＝CE，∴△ABD≌△ECB(AAS)；

(2)∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠ADB＝∠ABD＝45°，∵△ABD≌△ECB，∴∠DBC＝∠ADB＝45°，BC＝BD，∴∠BDC＝67.5°，∴∠ADC＝112.5°.

2．已知△ABC和点A′，如图．

(1)以点A′为一个顶点作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的面积等于△ABC面积的4倍；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)设D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，D′，E′，F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′，B′C′，C′A′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′.

解：(1)作线段A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，得△A′B′C′即可所求．

证明：∵A′C′＝2AC，A′B′＝2AB，B′C′＝2BC，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝()2＝4；

(2)证明：∵D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，AC的中点，∴DE＝BC，DF＝AC，EF＝AB，∴△DEF∽△ABC，同理：△D′E′F′∽△A′B′C′，由(1)可知：△ABC∽△A′B′C′，∴△DEF∽△D′E′F′.

3．如图，已知等腰△ABC顶角∠A＝36°.

(1)在AC上作一点D，使AD＝BD(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明，最后用黑色墨水笔加黑)；

(2)求证：△BCD是等腰三角形．

(1)解：如图，点D为所作；

(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝(180°－36°)＝72°，∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝36°，

∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BCD是等腰三角形．

4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°.

(1)求证：△PAB∽△PBC；

(2)求证：PA＝2PC；

(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h＝h2·h3.

解：(1)∵∠ACB＝90°，AB＝BC，∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC，又∠APB＝135°，∴∠PAB＋∠PBA＝45°，∴∠PBC＝∠PAB，又∵∠APB＝∠BPC＝135°，∴△PAB∽△PBC；

(2)∵△PAB∽△PBC，∴＝＝，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴＝，∴PB＝PC，PA＝PB，∴PA＝2PC；

(3)如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC，AC于点D，E，∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，

∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，

∴∠APC＝90°，∴∠EAP＋∠ACP＝90°，

又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，

∴∠EAP＝∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴＝＝2，即＝2，∴h3＝2h2，

∵△PAB∽△PBC，∴＝＝，∴h1＝h2，∴h＝2h＝2h2·h2＝h2h3.即：h＝h2·h3.