【专项练习】备战中考数学58种模型专练 20.辅助圆思想（含答案）

辅助圆思想

【例1】         在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．

        ⑴ 若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

        ⑵ 在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（2012年北京中考节选）

【解析】       ⑴ 图略，．

⑵ 如图，连接，

   根据对称性可知，，

   以为圆心、长为半径作，

   则，

   ∴．

【例2】         已知：中，，中，，．连接、，点、、分别为、、的中点．

⑴ 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是

___________，此时________；

⑵ 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；

（海淀一模）

【解析】       ⑴ 等边三角形，1；

⑵ 证明：连接、．

由题意，得，，．

∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．

∴．

∵为中点，∴在中，．

在中，．

∴．

∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．

∴．

又∵，∴．

∴．∴．

由题意，，又．

∴．∴．

在Rt中，．

∵， ∴．∴．

【例3】         已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

【解析】       与的数量关系是相等  ．

常规证法：过点作，，垂足分别为点．

∵，易得，∴，

而，∴．

∵是的平分线，∴，

又∵，∴．∴．

        辅助圆证法：∵，∴四点共圆，

        ∵平分，∴，

∴．

【例4】         如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．

【解析】       连接

∵四边形是正方形，∴，

∵是外角平分线，∴，∴，

∵，∴四点共圆，

∴，∴，∴．

【例5】         在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

⑴ 如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

⑵ 将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；

② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

备用图

（朝阳一模）

【解析】       ⑴ 在矩形ABCD中，，AP=1，CD=AB=2，

∴PB= ，．

∵，

∴．

∴．

∴ △ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2．

⑵ ① ∠PEF的大小不变．

理由：过点F作FG⊥AD于点G．

∴四边形ABFG是矩形．

∴．

∴GF=AB=2，．

∵，

∴．

∴．

∴ △APE∽△GFP.  

∴．

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=． 即tan∠PEF的值不变．

∴∠PEF的大小不变．

② .

         辅助圆证法：

         连接，

         ∵，∴四点共圆，

         ∴，∴不会发生变化．

【例6】         如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．

【解析】       ∵，∴是圆内接四边形，

∵平分，∴，

∴．

【例7】         已知：如图，正方形中，为对角线，，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．

【解析】       ∵是对角线，∴，

∵，∴四点共圆，

∴，

∴的大小不发生改变．

【例8】         （海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.

⑴ 连结，证明：；

⑵ 如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

⑶ 如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA. 证明：PA是半圆的切线.

【解析】       ⑴ 如图一，∵，，F分别是AB，AC，BC边的中点，

∴F∥AC且F =A，F∥AB且F =A，

∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF

∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，

∴F =A=E，F =A=D，∠BD =90°，∠CE =90°，

∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.

⑵ 如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.

∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3

∵AC为直径，∴∠AEC=90°，

∴∠ACE=∠EAC =45°，AC==，

∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，

∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°  

∴AQ=AC=AG=

同理：∠BAP=90°，AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

∴，∴PQ=BG

∵∠ACB=90°，∴BC==

∴BG==，∴PQ=. 

⑶ 证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.

∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，

由⑵已证∠CAQ=90°, AC=AQ，∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ, ∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,

同理：∠2=∠4,

∴，∴AM=CS，∴AM=BR，

同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,

∴∠ADB=∠ARB=90°, ∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，

A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，

且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8, ∠6=∠7,

∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM

∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，

∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，

∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，

∴PA是半圆的切线.

训练1.              如图，分别切于两点，满足，且，，求的度数．

【解析】 ∵都是的切线，∴

∵，

∴

∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上．

设，则，∴

∵，∴

在中，，

即

∴，∴，即．

训练2.          如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．

【解析】       连接

∵是的中点，∴，

∴，

∴，

即，∴四点共圆，

∴，，

很明显，∴，

∴．

训练3.        如图，已知在五边形中，，，

且．求证：．

【解析】 连接，

∵，，

∴，∴，

∴，∴四点共圆．

同理四点共圆，

∴五点共圆，

∵，∴．

题型一  共顶点等线段

【练习1】       如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．

⑴ 求证：是等边三角形；

⑵ 点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．

①若，直接写出的度数；

②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；

【解析】       ⑴ 证明：如图，

∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B（0，）．

∵C（3，0）．∴OA＝OC．

又y轴⊥AC，∴AB＝BC．

在Rt△AOB中， ．∴∠BAC=60°.

∴△ABC是等边三角形.

⑵ ①答：∠AEP=120°．

　　   ②解：如图，作EH⊥CP于点H，

∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，

∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．

∴∠BEH=60°．

∵ED垂直平分AP，∴ EA=EP．

∴ EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，

在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，

∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．

∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．

辅助圆的证法：

∵点在轴上，∴，

∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，

∴．

题型二  共斜边的直角三角形

【练习2】   如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，，求的长．

【解析】 连接，

∵是正方形，∴，，

∵，∴四点共圆，

∴．

在中，，

∴，

设，

则，

解得，∴，

∴．

题型三  四点共圆的简单应用

【练习3】        设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．

【解析】 连接，

由题意可知四点共圆，

⑴ 若在线段上，则，

∵，∴四点共圆，

∴，∴．

⑵ 若在的延长线上，则，

∵，∴四点共圆，

∴，∴．

⑶ 若在的延长线上，则，

∵，∴四点共圆，

∴，∴，

∴．

综上所述，命题成立．