陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期期中理科数学试题

西安中学2021—2022学年度第一学期期中考试

高三数学(理科)试题

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在低小题诒出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用一元二次不等式的解法求出集合，再利用集合的交补运算求解即可．

【详解】因为，

，

又，

所以.

故选：A.

2. 设复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】先利用复数的除法化简复数z，再利用复数的几何意义判断.

【详解】，

所以复数z在复平面内对应的点为，

所以复数z在复平面内对应的点在第四象限．

故选：D

3. 给出如下四个命题：

①若“ p且”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题若a > b ，则”的否命题为“若，则”；

③的否定是；

④“ a = 1 "是“函数的最小正周期为”的充要条件；

其中正确命题的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据复合命题真假判断的真值表判断①；由四种命题的定义判断②；由含一个量词的全称量词命题的否定判断③；由充要条件的定义判断④即可作答.

【详解】对于①，若“ p且”为假命题，则p、q中至少一个是假命题，不一定都是假命题，①错误；

对于②，命题若a > b ，则”的否命题为“若，则”，②正确；

对于③，是全称量词命题，其否定是，③正确；

对于④，因，且函数的最小正周期为，则，解得，

即“ a = 1 "是“函数的最小正周期为”的充分不必要条件，④错误，

所以命题②③是真命题，正确的命题的个数是2.

故选：C

4. 已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（    ）

A. 35 B. 40 C. 45 D. 50

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式，结合等差数列前项和公式、等差数列的下标性质进行求解即可.

【详解】∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0，+)上单调递减的函数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】逐一分析各选项中函数的奇偶性及在(0，+)上的单调性即可判断作答.

【详解】对于A，定义域是，而，即是偶函数，

当时，，且在(0，+)上单调递减，A符合；

对于B，指数函数是非奇非偶函数，在R上单调递减，B不符合；

对于C，二次函数是偶函数，在(0，+)上单调递增，C不符合；

对于D，函数定义域是，而，即是偶函数，

当时，，且在(0，+)上单调递增，D不符合.

故选：A

6. 某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两翻，为了更好的了解该开发区的经济收入变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼状图，则下列选项正确的是（    ）

①产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多

②产业结构调整后科技研发的收入增幅最大

③产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低

④产业结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入

A. ②③ B. ③④ C. ①②③ D. ①②④

【答案】D

【解析】

【分析】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，然后根据所占百分比分别计算出各种类型的收入即可进行比较.

【详解】设产业结构调整前的经济收入为，则产业结构调整后的经济收入为，

产业结构调整后节能环保的收入为，所以产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多，所以①正确；

产业结构调整前科技研发的收入为，产业结构调整后科技研发的收入为，所以选项②正确；

产业结构调整前纺织服装收入为，产业结构调整后纺织服装收入为，所以③错误；

产业结构调整后食品加工的收入为，而产业结构调整前纺织服装收入为，所以④正确.

故选：D.

7. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征，函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用奇偶性排除AB；利用特殊值排除C，从而可得答案.

【详解】因为的定义域为，关于原点对称，

又，

所以是奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB；

因为，故排除C.

故选：D.

【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

8. 已知，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式化简，再借助二倍角的余弦公式计算即可作答.

【详解】由得：，解得，

所以.

故选：A

9. 已知函数，有两个相邻的极值点分别为和，为了得到函数的图象，只需将图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

【答案】C

【解析】

【分析】由两个相邻的极值点分别为和可求得周期，再将点代入，结合可求得值，进而求得表达式，将不同名的余弦函数转化成正弦函数，结合函数图像平移变换的性质，即可求得

【详解】解：∵∴，将点代入，得，

从而或，∵∴．

因此变换到只需向左平移个单位长度．

答案选C

【点睛】本题考查三角函数解析式的求法，三角函数诱导公式的使用，三角函数图像的平移变换综合性强，但难度不大，平移变换的前提是函数同名

10. 实数中的最大值和最小值分别为（    ）

A. ， B. ， C. ， D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据单调递增，可得，构造函数利用导数判断单调性可得即，再根据幂函数的单调性比较和的大小可得最大值，比较和的大小可得最小值，即可求解.

【详解】因为单调递增，，所以，

设，则，

当时，，所以在上单调递减，

所以，即，所以，

所以，即，

所以只需比较和的大小可得最大值，

因为在上单调递增，，所以，所以最大值为，

比较和的大小可得最小值，

因为在上单调递增，，所以，所以最小值为，

综上所述：实数中的最大值和最小值分别为，，

故选：A.

11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.

【详解】中，，

由正弦定理可得，整理得，

由余弦定理，得.

D是AB的中点，且，

，即，

即，

，当且仅当时，等号成立.

的面积，

所以面积的最大值为.

故选：.

【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.

12. 如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，．若有，则在正方形的四条边上，使得成立的点有（    ）个．

A. 2 B. 4 C. 6 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】建立坐标系，逐段分析的取值范围及对应的解．

【详解】以DC为x轴，以DA为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，

（1）若P在CD上，设，

，

，

，

当时有一解，当时有两解；

（2）若P在AD上，设，

，

，

，

 当或时有一解，当时有两解；

（3）若在上，设，

，

，

，

当或时有一解，当时有两解；

（4）若在上，设，

，

，

，，

当或时有一解，当时有两解，

综上可知当时，有且只有4个不同点使得成立.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，二次函数的根的个数判断，属于中档题．

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13. 已知向量，，若与垂直，则m=______

【答案】7

【解析】

【分析】根据给定条件求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可计算得解.

【详解】因向量，，则，

而与垂直，于是得，解得，

所以.

故答案为：7

14. 设.则的值为______

【答案】

【解析】

【分析】根据给定条件利用定积分的性质及定积分的几何意义计算得解.

【详解】因，于是得，

由定积分的几何意义知：表示以原点为圆心，1为半径的半圆的面积，则，

而，于是得，

所以的值为.

故答案为：

15. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩，老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是________.

【答案】乙和丁

【解析】

【分析】乙根据甲说的以及丙的成绩可判断自己的成绩，丁可根据甲说的以及甲的成绩可判断自己的成绩.

【详解】根据题意甲、乙、丙、丁四人中有2位优秀，2位良好，且甲看了乙、丙的成绩后不能判断出自己的成绩

所以乙和丙成绩不同，一人优秀一人良好

乙知道丙的成绩后，则根据甲说的，乙可知道自己的成绩

丁知道甲的成绩后，由于乙丙是一优秀一良好，则甲与丁也是一优秀一良好，即丁由甲的成绩可判断自己的成绩.

故答案为：乙和丁

【点睛】本题主要考查了逻辑推理,考查学生的推理能力，属于中档题.

16. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】函数有三个零点，可知和的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.

【详解】令，

函数有三个零点，则和的图象有三个交点，

当时，，且；当时，；是过点的折线.

先考虑特殊情况，若折线与在上存在相切，设切点为，

由，可得切线斜率为，则切线方程为，

因为切线过点，所以，

解得，即切点为，切线斜率为1，

切线方程，此时；

若折线与在上相切，设切点为，

由图象可知，且，

令，

方程整理得，

则，解得，

因为在上最大值为，

所以，即，

计算可知，，所以；

①当时，，两个函数没有交点，不符合题意；

②当时，与的图象在上有1个交点，

在上没有交点，在上有2个交点，共有3个交点，符合题意；

③当时，与的图象在上有1个交点，

在上至多有1个交点，不符合题意；

④当，

即时，与的图象在上有1个交点，

在上有2个交点，在上没有交点，共有3个交点，符合题意.

⑤当时，与的图象在上有1个交点，

在上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.

三解答题:木大题共6小题，一共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算陟骤

17. 在直角坐标系中，圆C的参数方程(为常数)，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）消参化为普通方程后，再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得结果；

（2）解极坐标方程组可得的坐标，根据极径的几何意义可求得结果.

【详解】（1）利用，把圆C的参数方程(为参数)化为，即，

∴，即.

（2）设为点P的极坐标，由，解得.

设为点Q的极坐标，由，解得.

∵，∴.∴.

【点睛】关键点点睛：掌握极坐标与直角坐标的互化公式，并利用极径的几何意义求解是解题关键.

18. 已知函数．

求函数单调减区间；

将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域．

【详解】函数，

当时,解得：，

因此，函数的单调减区间为．

将函数的图象向左平移个单位，可得的图象，

再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，

，，

的值域为．

【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.

19. 已知函数，.

（1）解不等式；

（2）对于，使得成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【详解】试题分析：（1）第（1）问 ，利用分类讨论解双绝对值不等式.(2)第（2）问，，所以求出，再解不等式即可.

试题解析：（1）由或或，解得或，

∴的解集为.

（2）当时，；.

由题意，得，即，即，

∴，解得.

∴的取值范围是.

20. 在锐角三角形ABC中，分别为角A，B，C的对边，且.

(1)求角C；

(2)若，求的周长的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据已知及正弦定理得到，再根据余弦定理可得到结果；

（2）利用正弦定理将周长表示关于内角A的三角函数，最后根据锐角三角形中角的范围及三角函数的性质求解.

【详解】(1)由已知及正弦定理可得，即，则，

因为，所以．

 (2)因为，，所以由正弦定理得，则，

的周长，

在锐角三角形ABC中得，所以

所以，所以，

所以的周长．

【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力，关键在于三角形的周长转化为关于三角形内角的三角函数，属于中档题.

21. 2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC-801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如下表：

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件，求事件发生的概率；

（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表：

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大（参考数值：，）.

【答案】（1）0.973；（2）分布列见解析，；（3）能盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大

【解析】

分析】

（1）先由频率分布直方图求出1件产品为废品的概率，再利用二项分布的概率公式即可求解；

（2）分别求出、、的频率，再计算出对应抽出的人数，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望；

（3）先根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值对应的概率，进而求出每件产品的利润，再利用导数求出一件产品利润的最大值，即可判断能否盈利，也可得出每件利润最大时的值.

【详解】（1）设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，

1件产品为废品的概率为，

则.

（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，

的频率为；的频率为；

的频率为.

故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件.

从这件产品中任取件产品，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，

，，，

所以的分布列为

所以.

（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元）的关系如下表所示（）：

故每件产品的利润.

则，令得，

故当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减.

所以当时，取得最大值，为.

所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值元.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是读懂频率分布直方图，每个小矩形的面积代表每一组的频率，准确利用分层抽样的特点，计算出质量指标值的有件，第三问的关键是读懂题意，求出每件产品的平均利润与的关系，利用导数求最值.

22. 已知函数f(x)，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．

（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；

（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）存在两条，证明见解析.

【解析】

【分析】（1）首先设，，利用导数求出单调区间得到，即证.

（2）首先设直线与切于，与切于，，利用导数几何意义得到切线，又因为切线又与相切，整理得到，设，再利用导数判断函数的零点即可证明有两条直线与函数及的图象均相切.

【详解】（1）设，，

.

因为在为增函数，且，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

所以，，即证.

（2）设直线与切于，

与切于，.

，，，

所以切线为.

因为，即，即.

又因为，

将，代入，

得：，整理得.

设，，

因为在为增函数，且时，，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

，

又因为，

，

所以在上有两个零点，

即方程有两个根，

所以有两条直线与函数及的图象均相切.