数学人教A版 (2019)5.2 导数的运算课时训练

5.2.3　简单复合函数的导数

基础过关练

题组一　复合函数的求导法则

1.函数y=(2 020-8x)3的导数y'=(　　)

A.3(2 020-8x)2B.-24xC.-24(2 020-8x)2D.24(2 020-8x)2

2.若f(x)=exln 2x,则f'(x)=(　　)

A.exln 2x+ B.exln 2x-C.exln 2x+ D.2ex·

3.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　)

A. B. C. D.1

4.若函数f(x)=,则f'(x)=　　　　. 

5.函数f(x)=的导函数f'(x)=　　　　. 

6.求下列函数的导数.

(1)y=;

(2)y=e-xsin 2x;

(3)y=ln-1;

(4)y=cos(-2x)+32x+1.

深度解析

题组二　复合函数求导的综合运用

7.曲线f(x)=e4x-x-2在点(0,f(0))处的切线方程是(　　)

A.3x+y+1=0 B.3x+y-1=0 C.3x-y+1=0 D.3x-y-1=0

8.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y=f(t)=,则在时刻t=40 min的降雨强度为(　　)

A.20 mm/min B.400 mm/minC. mm/min D. mm/min

9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则的值为(　　)

A.10 B.-10 C.-20 D.20

10.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.-2

11.设函数f(x)在(-∞,+∞)内的导函数为f'(x),若f(ln x)=,则=(　　)

A.2 B.-2 C.1 D.e+1

12.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　. 

13.已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为　　　　. 

14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.

能力提升练

题组　复合函数的导数及其应用

1.()已知y=f(x)=ln|x|,则下列各命题中,正确的是(　　)

A.x>0时,f'(x)=,x<0时,f'(x)=-

B.x>0时,f'(x)=,x<0时,f'(x)无意义

C.x≠0时,都有f'(x)=

D.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导

2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为(　　)

A.- B.0 C. D.5

3.()已知f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,则f'(0)=(　　)

A.n B.n-1C. D.

4.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为(　　)

A.2x-y=0 B.2x+y=0C.4x-y=0 D.4x+y=0

5.()定义方程f(x)=f'(x)的实数根x0为函数f(x)的“新驻点”,若函数g(x)=x2+1,h(x)=ln(x+2),φ(x)=cos x(x∈(0,π))的“新驻点”分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.a<c<bC.b<a<c D.b<c<a

6.(多选)()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象如图所示,令g(x)=f(x)+f'(x),则下列关于函数g(x)的说法正确的是(　　)

A.函数g(x)图象的对称轴方程为x=kπ-(k∈Z)

B.函数g(x)的最大值为2

C.函数g(x)的图象上存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行

D.方程g(x)=2的两个不同的解分别为x1,x2,则|x1-x2|的最小值为

7.()已知y=,则y'=　　　　. 

8.()若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　　. 

9.()设函数f(x)=aexln x+.

(1)求导函数f'(x);

(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2,求a,b的值.

10.()已知函数f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,f'(x)是f(x)的导函数,且a=f',求过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程.

答案全解全析

基础过关练

1.C　y'=3(2 020-8x)2×(2 020-8x)'=3×(2 020-8x)2×(-8)=-24(2 020-8x)2.故选C.

2.C　f'(x)=(ex)'·ln 2x+ex·(ln 2x)'

=exln 2x+.故选C.

3.B　由f(x)=ln(ax-1)可得f'(x)=,

由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故选B.

4.答案　

解析　∵f(x)==(4x-3,

∴f'(x)=(4x-3·(4x-3)'

=.

5.答案　-

解析　由f(x)=,

得f'(x)=-.

6.解析　(1)∵y=,

∴y'=

=.

(2)y'=-e-xsin 2x+2e-xcos 2x

=e-x(2cos 2x-sin 2x).

(3)∵y=ln-1=ln(2x+1)-1,

∴y'=××(2x+1)'=.

(4)y'=-2sin 2x+(2x+1)'32x+1ln 3

=-2sin 2x+2·32x+1ln 3.

易错警示　分析函数的运算结构,以基本初等函数的导数为基础,利用导数的四则运算法则及复合函数的求导法则依次求导即可.

7.D　∵f'(x)=4e4x-1,∴k=f'(0)=3.

又f(0)=-1,∴切线方程为y+1=3x,即3x-y-1=0.故选D.

8.D　由f(t)=,

得f'(t)=·(10t)'=,

所以f'(40)==.

9.C　∵f(x)=2ln(3x)+8x,∴f'(x)=+8,∴f'(1)=10,

∴

=-2

=-2f'(1)=-20.故选C.

10.B　设切点为P(x0,y0),

则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),

∵y'==1,∴x0+a=1,

∴y0=ln(x0+a)=0,

∴x0=y0-1=-1.∴a=1-x0=2.故选B.

11.B　令ln x=t,则x=et,代入f(ln x)=得y==1+=1+e-t,

∴y'=-,∴==-2.故选B.

12.答案　2

解析　令y=f(x),则曲线y=eax在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=(eax)·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.

13.答案　y=2x-1

解析　设x>0,则-x<0,∴f(-x)=ex-2+x,

∵f(x)为偶函数,∴f(x)=ex-2+x,则f'(x)=ex-2+1,∴f'(2)=2,

又f(2)=3,∴曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.

14.解析　因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,

所以f '(x)=2a(x-5)+.

令x=1,得f(1)=16a,f '(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).

由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,

解得a=.

能力提升练

1.C　根据题意得f(x)=

分两种情况讨论:

(1)x>0时,f(x)=ln x⇒f'(x)=(ln x)'=;

(2)x<0时,f(x)=ln(-x)⇒f'(x)

=[ln(-x)]'=·(-1)=.故选C.

2.B　由题设可知f(x+5)=f(x),

∴f'(x+5)=f'(x),∴f'(5)=f'(0),

又f(-x)=f(x),∴f'(-x)(-1)=f'(x),

即f'(-x)=-f'(x),∴f'(0)=0,

∴f'(5)=f'(0)=0.故选B.

3.D　f(x)=1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n,

则f'(x)=1+2(1+x)+3(1+x)2+4(1+x)3+…+n(1+x)n-1,

则f'(0)=1+2+3+4+…+n=.故选D.

4.A　因为函数f(x)=ex+a·e-x是奇函数,

所以f(-x)=-f(x)对一切x∈R恒成立,

所以e-x+a·ex=-ex-a·e-x对一切x∈R恒成立,即(a+1)(ex+e-x)=0对一切x∈R恒成立,所以a+1=0,解得a=-1,

因此f(x)=ex-e-x,故f'(x)=ex+e-x.

由曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,得f(x)=ex-e-x=0,解得x=0.

所以曲线y=f(x)的这条切线的切点的坐标为(0,0),

切线的斜率为f'(0)=e0+e0=2.

故曲线y=f(x)的这条切线方程为y-0=2(x-0),即2x-y=0.故选A.

5.C　由g(x)=x2+1可得g'(x)=2x,

令x2+1=2x,解得x1=x2=1,即a=1.

由h(x)=ln(x+2)可得h'(x)=,

设F(x)=h(x)-h'(x)=ln(x+2)-,

当x=-1时,F(-1)=-1<0,

当x=0时,F(0)=ln 2-=ln -ln >0,故-1<b<0.

由φ(x)=cos x(x∈(0,π))可得φ'(x)=-sin x,

令cos x=-sin x,得sin x+cos x=0,

则sin=0,

又x∈(0,π),所以x+=π,得x=,即c=.

综上可知,b<a<c.故选C.

6.AD　根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知A=2,=-=,

∴T=2π,ω==1.

根据五点法画图知,

当x=时,ωx+φ=+φ=+2kπ,k∈Z,

∵|φ|<,∴φ=,

∴f(x)=2sin,

∴f'(x)=2cos,

∴g(x)=f(x)+f'(x)

=2sin+2cos

=2sin

=2sin,

令x+=+kπ,k∈Z,

解得x=-+kπ,k∈Z,

∴函数g(x)图象的对称轴方程为x=-+kπ,k∈Z,A正确;

当x+=+2kπ,k∈Z时,函数g(x)取得最大值2,B错误;

g'(x)=2cos,

∵g'(x)≤2<3,

∴不存在点P,使得在P点处的切线与直线l:y=3x-1平行,C错误;

方程g(x)=2,即2sin=2,

∴sin=,

∴x+=+2kπ,k∈Z或x+=+2kπ,k∈Z,

∴方程的两个不同的解分别为x1,x2时,|x1-x2|的最小值为,D正确.故选AD.

7.答案　-

解析　y=

=

==1+.

设y=1+,u=1-x,

则y'x=y'u·u'x=(1+)'·(1-x)'

=·(-1)=-.

8.答案　1-ln 2

解析　设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),

则f'(x)=,g'(x)=.

设f(x)上的切点为(x1,y1),g(x)上的切点为(x2,y2),

则k==,则x2+1=x1.

又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,

所以k==2,

故x1==,y1=ln+2=2-ln 2.

故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.

9.解析　(1)由f(x)=aexln x+,

得f'(x)=(aexln x)'+'

=aexln x++.

(2)由题意得,切点既在曲线y=f(x)上,又在切线y=e(x-1)+2上,

将x=1代入切线方程,得y=2,

将x=1代入函数y=f(x),得f(1)=b,

所以b=2.

将x=1代入导函数f'(x)中,

得f'(1)=ae=e,

所以a=1.

10.解析　由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,

得f'(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,

则a=f'=3-2sin +2cos =1.

由y=x3得y'=3x2.

当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=3×12=3,

又b=a3,∴b=1,∴切点P的坐标为(1,1),

∴曲线y=x3上以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.

当P点不是切点时,设切点坐标为(x0,),

此时切线的斜率k'=3,

∴切线方程为y-=3(x-x0).

∵P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,

∴b=1,将P(1,1)代入切线方程,

得1-=3(1-x0),

∴2-3+1=0,∴2-2-+1=0,

∴(x0-1)2(2x0+1)=0,

解得x0=-(x0=1舍去),

∴切点坐标为,

又切线的斜率为3×=,

∴切线方程为y+=,

即3x-4y+1=0.

综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.