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人教版2022届一轮复习打地基练习 数列与函数综合
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 数列与函数综合，共33页。试卷主要包含了已知F，已知函数f，已知定义在R上的函数f，函数y＝x2，已知f等内容，欢迎下载使用。
人教版2022届一轮复习打地基练习 数列与函数综合
一．选择题（共15小题）
1．已知F（x）＝f（x+12）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1 B．an＝n C．an＝n+1 D．an＝n2
2．已知函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an）（n∈N+），则a2019＝（ ）
A．73 B．43 C．56 D．13
3．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x
……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
……
y
……
3
7
5
9
6
1
8
2
4
……
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+⋯+x2021＝（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y＝10﹣2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ）
A．（8，14] B．（14，18] C．（18，20] D．（18，814]
5．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
6．函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝（ ）
A．18 B．21 C．24 D．30
7．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
8．设直线nx+（n+1）y=2(n∈N∗)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2017＝（ ）
A．20142015 B．20152016 C．20162017 D．20172018
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P=12（log12a5+log12a7），Q=log12a3+a92，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P≥Q B．P＜Q C．P≤Q D．P＞Q
10．已知f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，an＝f（n），则a2021＝（ ）
A．−13 B．3 C．﹣3 D．13
11．已知数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．若对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
12．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如：142+1＝197，1+9+7＝17，则f（14）＝17；记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f（f1（n）），f3（n）＝f（f2（n）），…，fk+1（n）＝f（fk（n）），k∈N*，则f2020（9）＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．11
13．已知f（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）……（x+n）（n≥2，n∈N*），其导函数是f'（x），若an=f′(−1)f(0)，则a50＝（ ）
A．150! B．150 C．50 D．50!
14．已知函数f（x）=mx−2018，x≥2020，(4m2019+1)x−2022，x＜2020，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f(32−x)=f(x)，f（﹣1）＝3，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，（Sn为{an}的前n项和，n∈N*），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
二．填空题（共17小题）
16．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，则a4•a7＝ ．
17．已知函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)，则i=12016 f（k2017）的值为 ．
18．已知数列{an}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（an+1﹣an﹣cosnπ2）x2为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值为 ．
19．已知函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 ．
20．若函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），且y＝f（x）的图象与y=2−xx−1的图象共有m个不同的交点（xi，yi），则所有交点的横、纵坐标之和i=1m (xi+yi)= ．
21．函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数x，y满足：
f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），an=f(2n)2n（n∈N*），bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数：③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上结论正确的是 ．
22．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是等差数列，则a＝ ，b＝ ．
23．已知函数f（x）=x1−x，若f1（x）＝f（x），fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），则fn（x）＝ ．
24．已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式an+1n+1＜3−a⋅2t恒成立，则实数t的取值范围为 ．
25．函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是 ，a2020的值是 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
26．如图，已知直线l：y＝x与曲线C：y=log12x，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 用t表示）．
27．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，设f（x）在[2n﹣2，2n）（n∈N*）上的最大值记作an，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为 ．
28．已知函数f（x）的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点（an，an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2018的值为 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
29．若函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），现已知f（x）=2−2x2x−1，数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），则此数列前2019项的和为 ．
30．已知x∈R，[x]表示小于等于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，＜x＞表示大于等于x的最小整数，令M＝{x|0≤x≤100，[x]{x}＜x＞＝1}，则M中元素之和为 ．
31．在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，则1p+9q的最小值为 ．
32．已知等差数列{an}（其中an≠0，公差d≠0）及关于x的方程aix2+2ai+1x+ai+2＝0（i＝1，2，3，…，n），这些方程有公共的根m，若方程的另一个根分别为x1，x2，x3，⋯，xn，则1x2018+1−1x2017+1= ．
三．解答题（共6小题）
33．已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1＝1，an+1＝f（an）（n∈N*）．
（1）证明数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．
34．已知函数ℎ(x)=12x2+tx，h（x）在原点（0，0）处切线的斜率为1，f(x)=xℎ′(x)，数列{an}满足a1＝a（a为常数，且a＞0），an+1＝f（an），n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）用数学归纳法证明你的猜想．
35．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Snn），n∈N*均在函数y＝x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．
36．已知点（1，13）是函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，问使Tn＞10002011的最小正整数n是多少？
（3）若cn=−12an•bn，求数列{cn}的前n项和．
37．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡．
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）
现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2
（1）运用概率统计的知识，若E（ξ1）＝E（ξ2），试求关于k的函数关系式p＝f（k）；
（2）若p与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，……，xn（n≥2）是不同的正实数，满足x1＝1，对任意的n∈N*（n≥2），都有e−13⋅i=1n−1 xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12
（i）证明：{xn}为等比数列；
（ii）当p=1−13x4时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
38．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝2，bn﹣an＝1，且点（an，an+1）在函数f（x）＝x（x+2）的图象上，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{lgbn}是等比数列，并求数列{an}的通项；
（Ⅱ）记Tn为数列{bn}的前n项积，Sn为数列{cn}的前n项和，cn=1bn−1+1bn+1，试比较Sn与21−3Tn大小．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知F（x）＝f（x+12）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1 B．an＝n C．an＝n+1 D．an＝n2
【分析】由F（x）＝f（x+12）﹣1在R上为奇函数，知f（12−x）+f（12+x）＝2，令t=12−x，则12+x＝1﹣t，得到f（t）+f（1﹣t）＝2．由此能够求出数列{an} 的通项公式．
【解答】解：F（x）＝f（x+12）﹣1在R上为奇函数
故F（﹣x）＝﹣F（x），
代入得：f（12−x）+f（12+x）＝2，（x∈R）
当x＝0时，f（12）＝1．
令t=12−x，则12+x＝1﹣t，
上式即为：f（t）+f（1﹣t）＝2．
当n为偶数时：
an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（1n）+f（n−1n）]+…+[f（12n−12）+f（12n+12）]+f（12）
=2×n2+1
＝n+1．
当n为奇数时：
an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（1n）+f（n−1n）]+…+[f（n−12n）+f（n+12n）]
＝2×n+12
＝n+1．
综上所述，an＝n+1．
故选：C．
2．已知函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an）（n∈N+），则a2019＝（ ）
A．73 B．43 C．56 D．13
【分析】根据题意，由函数的解析式以及数列的递推公式求出数列{an}的前7项，分析可得an+3＝an，（n≥3），即数列{an}从第三项开始，组成周期为3的数列，据此可得a2019＝a3+2016＝a3，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an），
则a2＝a1﹣1=43，
a3＝a2﹣1=13，
a4＝a3+12=56，
a5＝2a4﹣1=23，
a6＝2a5﹣1=13，
a7＝a6+12=56，
则数列{an}满足an+3＝an，（n≥3），即数列{an}从第三项开始，组成周期为3的数列，
则a2019＝a3+2016＝a3=13，
故选：D．
3．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x
……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
……
y
……
3
7
5
9
6
1
8
2
4
……
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+⋯+x2021＝（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
【分析】利用题中给出的数据，分别列举数列{xn}中的前几项，寻找到规律，得到周期性，然后利用周期性求和即可．
【解答】解：由题意可知x1＝1，
x2＝f（x1）＝f（1）＝3，
x3＝f（x2）＝f（3）＝5，
x4＝f（x3）＝f（5）＝6，
x5＝f（x4）＝f（6）＝1，
···
所以数列{xn}满足x4k﹣3＝1，x4k﹣2＝3，x4k﹣1＝5，x4k＝6，k∈N*,
则x1+x2+⋯+x2021＝505×（1+3+5+6）+1＝7576．
故选：A．
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y＝10﹣2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ）
A．（8，14] B．（14，18] C．（18，20] D．（18，814]
【分析】由已知可得数列{an}为等差数列，首项为8，公差为﹣2，由等差数列的前n项和公式可得Sn＝﹣n2+9n，由二次函数的性质可得n＝4或5时，Sn取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【解答】解：由已知可得an＝10﹣2n，由an﹣an﹣1＝﹣2，所以数列{an}为等差数列，首项为8，公差为﹣2，
所以Sn＝8n+n(n−1)2×（﹣2）＝﹣n2+9n，
当n＝4或5时，Sn取得最大值为20，
因为有且只有两个正整数n满足Sn≥k，
所以满足条件的n＝4和n＝5，
因为S3＝S6＝18，
所以实数k的取值范围是（18，20]．
故选：C．
5．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】利用函数f（x）是奇函数结合已知条件推出得出f（x）是周期函数；对于数列{an}，根据数列的通项公式与是前n项和的关系推出数列{an﹣1}是一个等比数列．根据数列{an﹣1}的通项公式可得数列{an}的通项公式，从而得到a5，a6的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．
【解答】解：由题意函数f（x）是奇函数，f（0）＝0，
f（3﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
故函数f（x）是周期函数，且周期T＝3．
对于数列{an}：
当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝﹣1；
当n≥2时，Sn＝2an+n，
Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1，
两式相减，可得an＝2an﹣2an﹣1+1，
∴an＝2an﹣1﹣1，
两边同时减1，可得：
an﹣1＝2an﹣1﹣1﹣1＝2（an﹣1﹣1），
∵a1﹣1＝﹣2，
∴数列{an﹣1}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列．
∴an﹣1＝﹣2•2n﹣1＝﹣2n，
∴an＝1﹣2n，n∈N*
∴a5＝﹣31，a6＝﹣63．f（1）＝﹣3，
∴f（a5）+f（a6）＝f（﹣31）+f（﹣63）＝f（﹣3×10﹣1）+f（﹣3×21）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝3．
故选：C．
6．函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝（ ）
A．18 B．21 C．24 D．30
【分析】利用导数的几何意义，先求出函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线方程，再求出其与x轴交点的横坐标，即可得数列{an}的递推式，求出数列的通项公式代入求解即可
【解答】解：依题意，y′＝2x，
∴函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线方程为y﹣ak2＝2ak（x﹣ak）
令y＝0，可得x=12ak，即ak+1=12ak，
∴数列{an}为等比数列an＝16×（12）n﹣1
∴a1+a3+a5＝16+4+1＝21
故选：B．
7．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】由Sn＝2an+n，可得出an＝2an﹣1﹣1，从而求出a5＝﹣31，a6＝﹣63，而由f（x+3）＝f（x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）＝f（﹣1）+f（0），而f（x）为R上的奇函数可得f（﹣1）＝3，f（0）＝0，从而可得出f（a5）+f（a6）的值．
【解答】解：数列{an}满足Sn＝2an+n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，
∴当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1，
则an＝2an﹣2an﹣1+1，即an＝2an﹣1﹣1，
∴an﹣1＝2（an﹣1﹣1）（n≥2），又∵a1﹣1＝﹣2，
∴数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列，
∴an﹣1＝﹣2×2n﹣1＝﹣2n，
∴an＝1﹣2n，此式对n＝1也成立，
∴数列{an}的通项公式为an＝1﹣2n，
∴a5＝﹣31，a6＝﹣63，
由定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，
可知，f（x）的周期为3，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝3，f（0）＝0，
∴f（a5）+f（a6）＝f（﹣31）+f（﹣63）＝f（﹣1）+f（0）＝3．
故选：C．
8．设直线nx+（n+1）y=2(n∈N∗)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2017＝（ ）
A．20142015 B．20152016 C．20162017 D．20172018
【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，得到所围成的三角形的面积，得到数列{Sn}的通项公式，列项后可求S1+S2+…+S2017的值．
【解答】解：由直线nx+(n+1)y=2(n∈N∗)，
当x＝0时，y=2n+1．当y＝0时，x=2n，
所以三角形的面积Sn=12•2n•2n+1=1n−1n+1，
所以S1+S2+…+S2017＝1−12+12−13+⋯+12017−12018
＝1−12018=20172018．
故选：D．
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P=12（log12a5+log12a7），Q=log12a3+a92，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P≥Q B．P＜Q C．P≤Q D．P＞Q
【分析】利用对数运算法则以及等比数列的性质化简P，然后利用基本不等式比较大小即可．
【解答】解：等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，
P=12（log12a5+log12a7）=12log12(a5⋅a7)=log12a6，
Q=log12a3+a92＜log12a3⋅a9=log12a6．
∴P＞Q．
故选：D．
10．已知f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，an＝f（n），则a2021＝（ ）
A．−13 B．3 C．﹣3 D．13
【分析】利用已知条件求出函数的周期，通过数列的通项公式与函数的关系，求解即可．
【解答】解：f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），所以函数的周期为：4，
n∈N*，an＝f（n），则a2021＝f（2021）＝f（1）＝f（﹣1），
当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，
所以a2021＝3﹣1=13．
故选：D．
11．已知数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．若对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
【分析】将已知等式两边同除以n（n+1），可得an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，再由裂项相消求和，可得an+1n+1=3−1n+1＜3，再由不等式恒成立思想，可得a的范围．
【解答】解：数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．
可得an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，
由a22−a11=1−12，a33−a22=12−13，
a44−a33=13−14，…，an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，
上面各式相加可得，
得an+1n+1−a11=1−1n+1，
则an+1n+1=3−1n+1＜3，
由对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，
可得a≥3，
即有a的取值范围是[3，+∞）．
故选：C．
12．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如：142+1＝197，1+9+7＝17，则f（14）＝17；记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f（f1（n）），f3（n）＝f（f2（n）），…，fk+1（n）＝f（fk（n）），k∈N*，则f2020（9）＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．11
【分析】利用已知条件求出表达式的前几项，判断数列{fn（9）}从第3项开始是以3为周期的循环数列，然后转化求解即可．
【解答】解：∵92+1＝82，∴f1（9）＝f（9）＝10，
∵102+1＝101，∴f2（9）＝f（f1（9））＝f（10）＝2，
∵22+1＝5，∴f3（9）＝f（f2（9））＝f（2）＝5，
∵52+1＝26，∴f4（9）＝f（f3（9））＝f（5）＝8，
∵82+1＝65，∴f5（9）＝f（f4（9））＝f（8）＝11，
∵112+1＝122，∴f6（9）＝f（f5（9））＝f（11）＝5，
∴数列{fn（9）}从第3项开始是以3为周期的循环数列，
∵2020＝2+672×3+2，∴f2020（9）＝f4（9）＝8，
故选：B．
13．已知f（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）……（x+n）（n≥2，n∈N*），其导函数是f'（x），若an=f′(−1)f(0)，则a50＝（ ）
A．150! B．150 C．50 D．50!
【分析】由题意首先确定导函数的解析式，然后结合数列的通项公式和导数运算即可求得a50的值．
【解答】解：由题意可得：
f'（x）＝（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）（x+3）…[x+（n﹣1）]，
则f'（﹣1）＝（n﹣1）!，f（0）＝n!，据此可得：an=(n−1)!n!=1n，a50=150．
故选：B．
14．已知函数f（x）=mx−2018，x≥2020，(4m2019+1)x−2022，x＜2020，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
【分析】根据题意，由数列的函数性质以及函数单调性分析可得m＞14m2019+1＞0m2020−2018＞(4m2019+1)×2019−2002，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，
则有m＞14m2019+1＞0m2020−2018＞(4m2019+1)×2019−2002，解可得m＞3，即m的取值范围为（3，+∞）；
故选：D．
15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f(32−x)=f(x)，f（﹣1）＝3，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，（Sn为{an}的前n项和，n∈N*），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
【分析】通过函数的奇偶性以及关系式，推出函数的周期，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，求出数列的通项公式，然后求解f（a5）+f（a6）即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f(32−x)=f(x)=−f(−x)，
∴f(3+x)=f[32−(−32−x)]=−f[−(−32−x)]=−f[32−(−x)]=−[−f(x)]=f(x)，
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，
∴a1＝1，且Sn＝2an﹣n，Sn﹣1＝2an﹣1﹣（n﹣1），
两式相减可得an＝2an﹣1+1，从而得an=2n−1，
∴a5＝31，a6＝63，
f（a5）+f（a6）＝f（31）+f（63）＝f（1）+f（0）＝﹣f（﹣1）+f（0）＝﹣3+0＝﹣3．
故选：A．
二．填空题（共17小题）
16．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，则a4•a7＝ 154 ．
【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7＝a1a10求得答案．
【解答】解：∵a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，
∴a1a10=154，
∵数列{an}为等比数列，
∴a4a7＝a1a10=154．
故答案为：154．
17．已知函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)，则i=12016 f（k2017）的值为 1008 ．
【分析】运用三角函数的诱导公式化简函数f（x）=12+12(2x−1)+sin（x−12），可得f（x）+f（1﹣x）＝0，即可得到所求和．
【解答】解：∵函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)
=x2x−1+sin（x−12）=12+12(2x−1)+sin（x−12），
∴f（x）+f（1﹣x）=12+12(2x−1)+sin（x−12）
+12+12(1−2x)+sin（12−x）＝1+0＝1，
则k=12016 f（k2017）＝f（12017）+f（22017）+…+f（20162017）=12×2016＝1008，
故答案为：1008．
18．已知数列{an}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（an+1﹣an﹣cosnπ2）x2为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值为 1010 ．
【分析】利用f（x）是奇函数，推出aa+1=an+cosnπ2，推出函数的周期，然后转化求解即可．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以an+1−(an+cosnπ2)=0，aa+1=an+cosnπ2，
a1＝1，
a2=a1+cosπ2=1，
a3=a2+cos2π2=0，
a4=a3+cos3π2=0，
如此继续，
得an+4＝an．S2020＝505（a1+a2+a3+a4）＝505×2＝1010．
故答案为：1010．
19．已知函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 {5+3338，−95} ．
【分析】令g（x）＝0，化简函数g（x）=2a−x−3x，x≤ax−3x，x＞a，从而不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，再分①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．
【解答】解：函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，设f（x）＝0，可得|x﹣a|−3x+a＝2，
设g（x）＝|x﹣a|−3x+a，h（x）＝2，则函数g（x）=2a−x−3x，x≤ax−3x，x＞a．
不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
当x＞a时，由f（x）＝0，解得x＝﹣1，或x＝3；
若 ①a≤﹣1，此时 x2＝﹣1，x3＝3，由等差数列的性质可得x1＝﹣5，
由f（﹣5）＝2a+5+35−2＝0，解得a=−95，满足f（x）＝0在（﹣∞，a]上有一解．
若②﹣1＜a≤3，则f（x）＝0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝3，
所以有x1，x2是2a﹣x−3x=2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3＝0的两个解．
得到x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝3，
又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+3，
解得：a=5+3338或5−3338（舍去）．
③a＞3，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a=5+3338或−95，
故答案为：{5+3338，−95}．
20．若函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），且y＝f（x）的图象与y=2−xx−1的图象共有m个不同的交点（xi，yi），则所有交点的横、纵坐标之和i=1m (xi+yi)= 0 ．
【分析】函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），可得函数f（x）关于点（1，﹣1）中心对称．函数y=2−xx−1=1−1x−1关于点（1，﹣1）中心对称．即可得出．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），
∴函数f（x）关于点（1，﹣1）中心对称．
函数y=2−xx−1=1−1x−1关于点（1，﹣1）中心对称．
即任意两个交点的横坐标的和为2，纵坐标的和为﹣2，
与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则和i=1m (xi+yi)=0．
故答案为：0．
21．函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数x，y满足：
f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），an=f(2n)2n（n∈N*），bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数：③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上结论正确的是 ②③ ．
【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．
【解答】解：因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）＝xf（y）+yf（x），
所以令x＝y＝1，得f（1）＝0，故①错误；
令x＝y＝﹣1，得f（﹣1）＝0，
令y＝﹣1，有f（﹣x）＝xf（﹣1）﹣f（x），
代入f（﹣1）＝0得f（﹣x）＝﹣f（x），
故f（x）是R上的奇函数，故②正确；
若an=f(2n)2n（n∈N*），
则an﹣an﹣1=f(2n)2n−f(2n−1)2n−1=f(2n)−2f(2n−1)2n=2f(2n−1)+2n−1f(2)−2f(2n−1)2n=f(2)2=1为常数，
故数列{an}为等差数列，故③正确，
④∵f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），
∴当x＝y时，f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），
则f（22）＝4f（2）＝8，
f（23）＝22f（2）+2f（22）＝23+2×23＝24，
∵bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
∴b1=f(2)2=1，
b2=f(22)3=83，
b3=f(23)4=6，
b2b1=83，b3b2=94，b2b1≠b3b2，
∴数列{bn}不是等比数列，故④错误．
故答案为：②③．
22．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是等差数列，则a＝ 2 ，b＝ 0 ．
【分析】由条件得到an=an，n＜3an+b，n≥3，根据等差数列的定义，即可得到a2﹣a＝a，3a+b﹣a2＝a，求出a，b即可．
【解答】解：∵函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，
∴an=an，n＜3an+b，n≥3，
∴a1＝a，a2＝a2，a3＝3a+b，a4＝4a+b，a5＝5a+b，…，an＝na+b，
∵{an}是等差数列，
∴a2﹣a＝a，即有a＝0（舍去）或2，
∴3a+b﹣a2＝a，即b＝0，
故答案为：2，0．
23．已知函数f（x）=x1−x，若f1（x）＝f（x），fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），则fn（x）＝ x1−nx(x≠1n) ．
【分析】求出表达式的前几项，然后归纳出通项公式即可．
【解答】解：因为f(x)=x1−x，所以f1(x)=x1−x，
因为fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），
所以f2(x)=f(f1(x))=f(x1−x)=x1−x1−(x1−x)=x1−2x1−(x1−2x)，f3(x)=f(f2(x))=f(x1−2x)=x1−2x1−(x1−2x)=x1−3x，f4(x)=f(f3(x))=x1−3x1−(x1−3x)=x1−4x，…．
依此类推可得fn(x)=x1−nx(x≠1n)．
故答案为：x1−nx(x≠1n)．
24．已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式an+1n+1＜3−a⋅2t恒成立，则实数t的取值范围为 （﹣∞，﹣1] ．
【分析】利用数列的递推关系式化简，通过累加法求出数列的通项公式，得到最大值，然后求解t的范围即可．
【解答】解：数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，
an+1n+1=ann+1n(n+1)，
an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1(n+1)，
∴a22−a11=1−12，
a33−a22=12−13，
a44−a33=13−14，
…
ann−an−1n−1=1n−1−1n，
an+1n+1−ann=1n−1(n+1)，
累加可得an+1n+1=2−1n+1，
∴3﹣a•2t≥2，即a•2t≤1，
∵a∈[﹣2，2]，∴2•2t≤1⇒t≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
25．函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是 3 ，a2020的值是 1 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
【分析】an+1＝f（an），a1＝1．可得：an+4＝an．即可得出．
【解答】解：an+1＝f（an），a1＝1．
∴a2＝f（1）＝3，
a3＝f（a2）＝f（3）＝2，
a4＝f（a3）＝f（2）＝1，…，
∴an+3＝an．
∴a20120＝a673×3+1＝a1＝1．
故答案为：3；﹣1．
26．如图，已知直线l：y＝x与曲线C：y=log12x，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 2﹣t 用t表示）．
【分析】由题意分析可得点Pn+1的纵坐标是an，由点Pn+1在曲线C：y=log12x上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)an，可得递推公式an+1=(12)an，由此可求得结论．
【解答】解：因为P1为曲线C：y=log12x上纵坐标为1的点，所以点P1的横坐标a1=12，
由题意可得点Qn+1与点Pn的横坐标相等，点Qn+1与点Pn+1的纵坐标相等，
因为点Qn+1在直线y＝x上，所以它的横纵坐标相等，都是an，
从而得到点Pn+1的纵坐标是an，
点Pn+1在曲线C：y=log12x上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)an，
即an+1=(12)an，
若a2019＝t．则a2020=(12)t=2﹣t．
故答案为：2﹣t．
27．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，设f（x）在[2n﹣2，2n）（n∈N*）上的最大值记作an，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为 64 ．
【分析】根据函数的解析式，分别求得a1，a2，a3，…，得出an＝17﹣2n，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解．
【解答】解：由题意，函数f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，
当n＝1时，x∈[0，2），此时f（x）＝15﹣|x﹣1|，
此时函数f（x）在∈[0，2）上的最大值为f（1）＝15﹣|1﹣1|＝15，所以a1＝15，
当n＝2时，x∈[2，4），此时f（x）＝f（x﹣2）﹣2，此时x﹣2∈[0，2），
所以f（x）＝f（x﹣2）﹣2＝15﹣|x﹣2﹣1|﹣2＝13﹣|x﹣3|，
此时函数f（x）在[2，4）上的最大值为f（3）＝13﹣|3﹣3|＝13，所以a2＝13，
……
当x∈[2n﹣2，2n）时，f（x）＝15﹣f[x﹣（2n﹣2）]﹣2（n﹣1）＝15﹣|x﹣（2n﹣2）﹣1|﹣2（n﹣1），
此时函数f（x）的最大值为f（n）＝17﹣2n，所以an＝17﹣2n，
当1≤n≤8，n∈N*时，an＞0，当n≥9，n∈N*时，an＜0，
所以Sn的最大值为S8=8(a1+a8)2=8×(15+1)2=64．
故答案为：64．
28．已知函数f（x）的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点（an，an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2018的值为 3 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
【分析】利用已知条件得到an+1＝f（an），a1＝1．可得数列的周期性．求解得出．
【解答】解：an+1＝f（an），a1＝1．
∴a2＝f（1）＝3，a3＝f（a2）＝f（3）＝2，a4＝f（a3）＝f（2）＝1，…，
∴an+3＝an．数列是周期数列，周期为3，
∴a2018＝a672×3+2＝a2＝3．
故答案为：3．
29．若函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），现已知f（x）=2−2x2x−1，数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），则此数列前2019项的和为 ﹣2018 ．
【分析】f（x）=2−2x2x−1，其图象的对称中心为（12，﹣1），从而f（x）+f（1﹣x）＝﹣2，由S2019＝f（12019）+f（22019）+…﹣f（20182019）+f（1），利用倒序相加求和法能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），
∴f（x）=2−2x2x−1，其图象的对称中心为（12，﹣1），即f（x）+f（1﹣x）＝﹣2，
∵数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），
∴此数列前2019项的和为：
S2019＝f（12019）+f（22019）+…+f（20182019）+f（1），
∴S2019＝f（20182019）+f（20172019）+…+f（12019）+f（1），
两式相加，得：
2S2019＝[f（12019）+f（20182019）]+[f（22019）+f（20172019）]+…+0=(−2)+(−2)+⋯+(−2)︸2018个+0＝﹣2×2018，
故答案为：﹣2018．
30．已知x∈R，[x]表示小于等于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，＜x＞表示大于等于x的最小整数，令M＝{x|0≤x≤100，[x]{x}＜x＞＝1}，则M中元素之和为 4950.99 ．
【分析】本题先分类讨论，易知当x为整数时不成立，
当x不为整数时，先表示出x的小数部分，进而将其分解为两部分，再利用数列进行求和即可．
【解答】解：
①当x为整数时，[x]＝＜x＞，{x}＝0．显然不符合题意，
②当x不为整数时，易知＜x＞﹣[x]＝1，设[x]＝t，则＜x＞＝t+1，{t|0＜t＜100，t∈N*}．
所以t×{x}×（t+1）＝1．
所以{x}=1t(t+1)．
所以x=t+1t(t+1){t|0＜t＜100，t∈N∗}．
记M中元素之和为S，
则S=1+11×2+2+12×3+3+13×4+⋯+99+199×100=(1+2+3+⋯+99)+(11×2+12×3+13×4+⋯+199×100)=99×(1+99)2+(1−1100)=4950.99
故答案为：4950.99
31．在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，则1p+9q的最小值为 2514 ．
【分析】利用等比数列的性质，求出p+q＝9，然后利用基本不等式转化求解最小值即可．
【解答】解：在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，
可得p+q＝9，
则1p+9q=19（1p+9q）（p+q）=19(10+qp+9pq)≥19(10+2qp⋅9pq)=169，当且仅当q＝3p，并且p+q＝9时取等号，
因为pq是正整数，所以当p＝2，q＝7时，1p+9q=2514，
当p＝3，q＝6时，1p+9q=116，
所以1p+9q的最小值为：2514．
故答案为：2514．
32．已知等差数列{an}（其中an≠0，公差d≠0）及关于x的方程aix2+2ai+1x+ai+2＝0（i＝1，2，3，…，n），这些方程有公共的根m，若方程的另一个根分别为x1，x2，x3，⋯，xn，则1x2018+1−1x2017+1= −12 ．
【分析】将公共根代入方程，可得aim2+2ai+1m+ai+2＝0，且ai+1m2+2ai+2m+ai+3＝0，两式相减可得dm2+2dm+d＝0，结合d≠0，可求出m，进而结合韦达定理，可得出另一个根的关系式，可得到1xi+1+1−1xi+1=−12，进而可得出答案．
【解答】解：设方程的公共根为m，则aim2+2ai+1m+ai+2＝0，①，
且ai+1m2+2ai+2m+ai+3＝0，②
②﹣①得，
（ai+1﹣ai）m2+2（ai+2﹣ai+1）m+ai+3﹣ai+2＝0，
即dm2+2dm+d＝0，
因为d≠0，所以m2+2m+1＝0，
即（m+1）2＝0，解得m＝﹣1．
方程的另一个根记为xi，则xi﹣1=−2ai+1ai=−2×ai+dai=−2−2dai，
所以xi+1=−2dai，即1xi+1=−2dai，
所以1xi+1+1−1xi+1=−12d（ai+1﹣ai）=−d2d=−12，
所以1x2018+1−1x2017+1=−12．
故答案为：−12．
三．解答题（共6小题）
33．已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1＝1，an+1＝f（an）（n∈N*）．
（1）证明数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．
【分析】（1）利用数列与函数的关系式，得到通项公式，推出数列{1an}是首项1a1=1，公差d＝3的等差数列，然后求出数列{an}的通项公式．
（2）化简通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）证明：由已知得，an+1=an3an+1．
∴1an+1=1an+3．
即1an+1−1an=3．
∴数列{1an}是首项1a1=1，公差d＝3的等差数列．
∴1an=1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．
故an=13n−2（n∈N*）
（2）∵anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13（13n−2−13n+1）
∴Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1
=13[（1−14）+（14−17）+…+（13n−2−13n+1）]
=13（1−13n+1）=n3n+1．
34．已知函数ℎ(x)=12x2+tx，h（x）在原点（0，0）处切线的斜率为1，f(x)=xℎ′(x)，数列{an}满足a1＝a（a为常数，且a＞0），an+1＝f（an），n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）用数学归纳法证明你的猜想．
【分析】（Ⅰ）利用函数的导数转化求解f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用递推关系式，计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）直接用数学归纳法证明步骤，证明猜想即可．
【解答】解：（Ⅰ）h'（x）＝x+t，h'（0）＝t＝1，…………..（1分）
∴h'（x）＝x+1，∴f(x)=xx+1⋯⋯⋯⋯..（2分）
（Ⅱ）an+1=f(an)=an1+an，
则a2=f(a1)=a1+a，
a3=f(a2)=⋯=a1+2a，
a4=f(a3)=⋯=a1+3a
由此猜想数列的通项公式应为an=a1+(n−1)a(n∈N∗)⋯⋯⋯..（6分）
（Ⅲ）①当n＝1时，猜想显然成立………..（7分）
②假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，
即ak=a1+(k−1)a⋯⋯⋯..（8分）
则当n＝k+1时，ak+1=f(ak)=ak1+ak=a1+(k−1)a1+a1+(k−1)a=a1+ka=a1+[(k+1)−1]a，
即当n＝k+1时，猜想成立． ………..（11分）
由①②知，an=a1+(n−1)a对一切正整数n都成立．………..（12分）
35．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Snn），n∈N*均在函数y＝x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由点（n，sn）均在函数y＝f（x）的图象上．可得Sn＝n2．利用递推式可得an．
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用，进一步利用恒成立问题的应用求出参数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点（n，sn）均在函数y＝f（x）的图象上．
∴Sn＝n2．
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．
当n＝1时上式也成立，
∴an＝2n﹣1 （n∈N*）．
（2）因为1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．
Tn=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜12．
对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，只需2≤a2﹣a恒成立，
解得a≤﹣1或a≥2，
故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥2．
36．已知点（1，13）是函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，问使Tn＞10002011的最小正整数n是多少？
（3）若cn=−12an•bn，求数列{cn}的前n项和．
【分析】（1）由f（1）=13可求得a，从而得f（x），求出a1，a2，a3，根据等比中项公式可求得c值，进而可得公比，求得an；由Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1，可得Sn−Sn−1=1，由等差数列的定义可判断{Sn}}构成等差数列，求出Sn，由Sn与bn的关系可求得bn；
（2）利用裂项相消法可求得Tn，进而可解Tn＞10002011，得到结果；
（3）先表示出cn，然后利用错位相减法可求得数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax，且f（1）=13，∴a=13，
∴f（x）=(13)x．
∴a1＝f（1）﹣c=13−c，a2＝[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=−29，a3＝[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=−227．
又数列{an}成等比数列，
∴(−29)2=(13−c)(−227)，解得c＝1，
又公比q=a2a1=13，∴an=−23⋅(13)n−1=−23n，
由Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1，得（Sn+Sn−1）（Sn−Sn−1）=Sn+Sn−1（n≥2），
又bn＞0，∴Sn−Sn−1=1，
∴数列{Sn}}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则Sn=n，∴Sn＝n2，
当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，又该式满足b1＝c＝1，
∴bn＝2n﹣1；
（2）Tn=1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1
=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)
=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12（1−12n+1）=n2n+1，
由Tn＞10002011，得n2n+1＞10002011，解得n＞100011，
∴使Tn＞10002011的最小正整数n是91．
（3）cn=−12anbn=−12•（−23n）•（2n﹣1）=2n−13n，
设{cn}的前n项和为Rn，则Rn=13+332+533+⋯+2n−13n①，
13Rn=132+333+534+⋯+2n−13n+1②，
①﹣②得，23Rn=13+232+233+⋯+23n−2n−13n+1=13+2×19(1−13n−1)1−13=23−2n+23n+1，
∴Rn=1−n+13n．
37．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡．
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）
现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2
（1）运用概率统计的知识，若E（ξ1）＝E（ξ2），试求关于k的函数关系式p＝f（k）；
（2）若p与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，……，xn（n≥2）是不同的正实数，满足x1＝1，对任意的n∈N*（n≥2），都有e−13⋅i=1n−1 xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12
（i）证明：{xn}为等比数列；
（ii）当p=1−13x4时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
【分析】（1）分别求解ξ1，ξ2可能的取值及其对应的概率，即可求解E（ξ1）＝E（ξ2），从而求出关系式p＝f（k）；
（2）（i）首先令n＝2，可以计算出x22x12=e13，从而猜想xn=en−13（n∈N*），使用数学归纳法，利用已知条件进行归纳证明即可；（ii）从（1）可以得到E（ξ1）﹣E（ξ2）＝k﹣[k+1﹣k（1﹣p）k]＝k（1﹣p）k﹣1＝ke−k3−1，根据题目要求，
E（ξ1）﹣E（ξ2）＞0，从而得到lnk−k3＞0，研究f（k）的单调性，进而可以求解出使得f（k）＞0的最大的k值．
【解答】解：（1）当进行逐份检验时，ξ1的值只有k，所以E（ξ1）＝k，
当进行混合检验时，ξ2的取值有1，k+1，
其中ξ2＝1对应的情况为“k份混合之后检验结果为阴性”，此时P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，
ξ2＝k+1对应的情况为“k份混合之后检验结果为阳性，随后对k份血液进行逐份检验”，
此时P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，
所以E（ξ2）＝（I﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，
令E（ξ1）＝E（ξ2），则k＝k+1﹣k（1﹣p）k，
所以（1﹣p）k=1k，
所以p＝1﹣（1k）1k，（k∈N*且k≥2）；
（2）（i）当n＝2时，有e−13⋅x22x1x2=x22−x12x22−x12=1，∴x2x1=e13，
∵x1＝1，∴x2=e13，
∴猜想xn=en−13（n∈N*），
接下来用数学归纳法证明xn=en−13（n∈N*），
①当n＝1时，x1＝1满足；
②假设当n＝k时，xk=ek−13，
则当n＝k+1时，因为e−13⋅n−1 i=1xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12，所以e−13⋅k i=1xk+12xixi+1=e−13⋅xk+12⋅（1x1x2+1x2x3+⋯+1xkxk+1），
设ym=1xmxm+1，则ymym−1=xm−1xm+1=e−23，其中1≤m≤k﹣1且m∈N*，
因为y1=1x1x2=e−13，
所以1x1x2+1x2x3+⋯+1xk−1xk+1xkxk+1
=y1+y2+⋯+yk−1+1xkxk+1
=e−13[1−e−2(k−1)3]1−e−23+1ek−13⋅xk+1
=e13[1−e−2(k−1)3]e23−1+e−k−13xk+1，
所以e−13⋅k i=1xk+12xixi+1=e−13⋅xk+12⋅（1x1x2+1x2x3+⋯+1xkxk+1）
=e−13⋅xk+12⋅[e13[1−e−2(k−1)3]e23−1+e−k−13xk+1]
=1−e−2(k−1)3e23−1xk+12+e−k3⋅xk+1
=xk+12−1e23−1，
所以[1−e−2(k−1)3]xk+12−(e−k3−e−k−23)⋅xk+1=xk+12−1，
整理可得：e−2(k−1)3xk+12+(e−k3−e−k−23)⋅xk+1−1=0，
即xk+12+(ek−23−ek3)⋅xk+1−e2(k−1)3=0，
所以(xk+1−ek3)(xk+1+ek−23)=0，
所以xk+1=ek3，或xk+1=−ek−23，
因为xk+1＞0，所以xk+1=ek3，
由①②可得，xn=en−13（n∈N*），{xn}是等比数列；
（ii）由题意可知，p＝1−13x4=1−13e，
由（1）可知，E（ξ1）＝k，E（ξ2）＝k+1﹣k（1﹣p）k，
所以E（ξ1）﹣E（ξ2）＝k﹣[k+1﹣k（1﹣p）k]＝k（1﹣p）k﹣1＝ke−k3−1，
由题意E（ξ1）﹣E（ξ2）＝ke−k3−1＞0，
所以−k3＞ln1k，即lnk−k3＞0，
令f（k）＝lnk−k3，k≥2，
所以原问题等价于求解使得f（k）＞0的最大的正整数，
所以f'（k）=1k−13=3−k3k，
所以当k∈[2，3）时，f'（x）＞0，当k∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在[2，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
因为f（5）＝ln5−53≈1.6094﹣1.6667＜0，f（4）＝ln4−43≈1.3863﹣1.3333＞0，且k∈N*，
所以kmax＝4．
38．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝2，bn﹣an＝1，且点（an，an+1）在函数f（x）＝x（x+2）的图象上，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{lgbn}是等比数列，并求数列{an}的通项；
（Ⅱ）记Tn为数列{bn}的前n项积，Sn为数列{cn}的前n项和，cn=1bn−1+1bn+1，试比较Sn与21−3Tn大小．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）使用裂项法求和Sn，在与21−3Tn比较大小即可．
【解答】（Ⅰ）证明：依题意an+1＝an（an+2）
故an+1+1＝（an+1）2，
∴bn+1＝bn2，
即lgbn+1＝2lgbn，
又lgb1＝lg（a1+1）＝lg3，
∴{lgbn}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴lgbn＝lg3•2n﹣1，
∴bn=10lg3⋅2n−1=32n−1，
∴数列{an}的通项为an=32n−1−1；
（Ⅱ）解：Tn=b1b2⋯bn=31+2+22+⋯+2n−1=32n−1，
∵an+1＝an（an+2），∴1an+1=12（1an−1an+2），1an+2=1an−2an+1，
∵cn=1bn−1+1bn+1=1an+1an+2=2（1an−1an+1），
∴Sn＝c1+c2+…+cn＝2（1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1an+1）＝2（12−132n−1）＝1+21−32n＞21−32n，
∵21−3Tn=21−32n，
∴Sn＞21−3Tn．
人教版2022届一轮复习打地基练习 数列与函数综合
一．选择题（共15小题）
1．已知F（x）＝f（x+12）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1 B．an＝n C．an＝n+1 D．an＝n2
2．已知函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an）（n∈N+），则a2019＝（ ）
A．73 B．43 C．56 D．13
3．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x
……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
……
y
……
3
7
5
9
6
1
8
2
4
……
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+⋯+x2021＝（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y＝10﹣2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ）
A．（8，14] B．（14，18] C．（18，20] D．（18，814]
5．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
6．函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝（ ）
A．18 B．21 C．24 D．30
7．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
8．设直线nx+（n+1）y=2(n∈N∗)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2017＝（ ）
A．20142015 B．20152016 C．20162017 D．20172018
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P=12（log12a5+log12a7），Q=log12a3+a92，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P≥Q B．P＜Q C．P≤Q D．P＞Q
10．已知f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，an＝f（n），则a2021＝（ ）
A．−13 B．3 C．﹣3 D．13
11．已知数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．若对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
12．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如：142+1＝197，1+9+7＝17，则f（14）＝17；记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f（f1（n）），f3（n）＝f（f2（n）），…，fk+1（n）＝f（fk（n）），k∈N*，则f2020（9）＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．11
13．已知f（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）……（x+n）（n≥2，n∈N*），其导函数是f'（x），若an=f′(−1)f(0)，则a50＝（ ）
A．150! B．150 C．50 D．50!
14．已知函数f（x）=mx−2018，x≥2020，(4m2019+1)x−2022，x＜2020，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f(32−x)=f(x)，f（﹣1）＝3，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，（Sn为{an}的前n项和，n∈N*），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
二．填空题（共17小题）
16．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，则a4•a7＝ ．
17．已知函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)，则i=12016 f（k2017）的值为 ．
18．已知数列{an}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（an+1﹣an﹣cosnπ2）x2为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值为 ．
19．已知函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 ．
20．若函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），且y＝f（x）的图象与y=2−xx−1的图象共有m个不同的交点（xi，yi），则所有交点的横、纵坐标之和i=1m (xi+yi)= ．
21．函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数x，y满足：
f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），an=f(2n)2n（n∈N*），bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数：③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上结论正确的是 ．
22．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是等差数列，则a＝ ，b＝ ．
23．已知函数f（x）=x1−x，若f1（x）＝f（x），fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），则fn（x）＝ ．
24．已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式an+1n+1＜3−a⋅2t恒成立，则实数t的取值范围为 ．
25．函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是 ，a2020的值是 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
26．如图，已知直线l：y＝x与曲线C：y=log12x，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 用t表示）．
27．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，设f（x）在[2n﹣2，2n）（n∈N*）上的最大值记作an，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为 ．
28．已知函数f（x）的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点（an，an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2018的值为 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
29．若函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），现已知f（x）=2−2x2x−1，数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），则此数列前2019项的和为 ．
30．已知x∈R，[x]表示小于等于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，＜x＞表示大于等于x的最小整数，令M＝{x|0≤x≤100，[x]{x}＜x＞＝1}，则M中元素之和为 ．
31．在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，则1p+9q的最小值为 ．
32．已知等差数列{an}（其中an≠0，公差d≠0）及关于x的方程aix2+2ai+1x+ai+2＝0（i＝1，2，3，…，n），这些方程有公共的根m，若方程的另一个根分别为x1，x2，x3，⋯，xn，则1x2018+1−1x2017+1= ．
三．解答题（共6小题）
33．已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1＝1，an+1＝f（an）（n∈N*）．
（1）证明数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．
34．已知函数ℎ(x)=12x2+tx，h（x）在原点（0，0）处切线的斜率为1，f(x)=xℎ′(x)，数列{an}满足a1＝a（a为常数，且a＞0），an+1＝f（an），n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）用数学归纳法证明你的猜想．
35．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Snn），n∈N*均在函数y＝x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．
36．已知点（1，13）是函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，问使Tn＞10002011的最小正整数n是多少？
（3）若cn=−12an•bn，求数列{cn}的前n项和．
37．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡．
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）
现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2
（1）运用概率统计的知识，若E（ξ1）＝E（ξ2），试求关于k的函数关系式p＝f（k）；
（2）若p与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，……，xn（n≥2）是不同的正实数，满足x1＝1，对任意的n∈N*（n≥2），都有e−13⋅i=1n−1 xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12
（i）证明：{xn}为等比数列；
（ii）当p=1−13x4时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
38．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝2，bn﹣an＝1，且点（an，an+1）在函数f（x）＝x（x+2）的图象上，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{lgbn}是等比数列，并求数列{an}的通项；
（Ⅱ）记Tn为数列{bn}的前n项积，Sn为数列{cn}的前n项和，cn=1bn−1+1bn+1，试比较Sn与21−3Tn大小．
人教版2022届一轮复习打地基练习 数列与函数综合
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知F（x）＝f（x+12）﹣1是R上的奇函数，an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A．an＝n﹣1 B．an＝n C．an＝n+1 D．an＝n2
【分析】由F（x）＝f（x+12）﹣1在R上为奇函数，知f（12−x）+f（12+x）＝2，令t=12−x，则12+x＝1﹣t，得到f（t）+f（1﹣t）＝2．由此能够求出数列{an} 的通项公式．
【解答】解：F（x）＝f（x+12）﹣1在R上为奇函数
故F（﹣x）＝﹣F（x），
代入得：f（12−x）+f（12+x）＝2，（x∈R）
当x＝0时，f（12）＝1．
令t=12−x，则12+x＝1﹣t，
上式即为：f（t）+f（1﹣t）＝2．
当n为偶数时：
an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（1n）+f（n−1n）]+…+[f（12n−12）+f（12n+12）]+f（12）
=2×n2+1
＝n+1．
当n为奇数时：
an＝f（0）+f（1n）+f（2n）+…+f（n−1n）+f（1）（n∈N*）
＝[f（0）+f（1）]+[f（1n）+f（n−1n）]+…+[f（n−12n）+f（n+12n）]
＝2×n+12
＝n+1．
综上所述，an＝n+1．
故选：C．
2．已知函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an）（n∈N+），则a2019＝（ ）
A．73 B．43 C．56 D．13
【分析】根据题意，由函数的解析式以及数列的递推公式求出数列{an}的前7项，分析可得an+3＝an，（n≥3），即数列{an}从第三项开始，组成周期为3的数列，据此可得a2019＝a3+2016＝a3，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=x+12，x≤122x−1，12＜x＜1x−1，x≥1，若数列{an}满足a1=73，an+1＝f（an），
则a2＝a1﹣1=43，
a3＝a2﹣1=13，
a4＝a3+12=56，
a5＝2a4﹣1=23，
a6＝2a5﹣1=13，
a7＝a6+12=56，
则数列{an}满足an+3＝an，（n≥3），即数列{an}从第三项开始，组成周期为3的数列，
则a2019＝a3+2016＝a3=13，
故选：D．
3．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表：
x
……
1
2
3
4
5
6
7
8
9
……
y
……
3
7
5
9
6
1
8
2
4
……
数列{xn}满足：x1＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1+x2+⋯+x2021＝（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
【分析】利用题中给出的数据，分别列举数列{xn}中的前几项，寻找到规律，得到周期性，然后利用周期性求和即可．
【解答】解：由题意可知x1＝1，
x2＝f（x1）＝f（1）＝3，
x3＝f（x2）＝f（3）＝5，
x4＝f（x3）＝f（5）＝6，
x5＝f（x4）＝f（6）＝1，
···
所以数列{xn}满足x4k﹣3＝1，x4k﹣2＝3，x4k﹣1＝5，x4k＝6，k∈N*,
则x1+x2+⋯+x2021＝505×（1+3+5+6）+1＝7576．
故选：A．
4．记Sn为数列{an}的前n项和，已知点（n，an）在直线y＝10﹣2x上，若有且只有两个正整数n满足Sn≥k，则实数k的取值范围是（ ）
A．（8，14] B．（14，18] C．（18，20] D．（18，814]
【分析】由已知可得数列{an}为等差数列，首项为8，公差为﹣2，由等差数列的前n项和公式可得Sn＝﹣n2+9n，由二次函数的性质可得n＝4或5时，Sn取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k的取值范围．
【解答】解：由已知可得an＝10﹣2n，由an﹣an﹣1＝﹣2，所以数列{an}为等差数列，首项为8，公差为﹣2，
所以Sn＝8n+n(n−1)2×（﹣2）＝﹣n2+9n，
当n＝4或5时，Sn取得最大值为20，
因为有且只有两个正整数n满足Sn≥k，
所以满足条件的n＝4和n＝5，
因为S3＝S6＝18，
所以实数k的取值范围是（18，20]．
故选：C．
5．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足f（3﹣x）＝﹣f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】利用函数f（x）是奇函数结合已知条件推出得出f（x）是周期函数；对于数列{an}，根据数列的通项公式与是前n项和的关系推出数列{an﹣1}是一个等比数列．根据数列{an﹣1}的通项公式可得数列{an}的通项公式，从而得到a5，a6的值，再代入函数根据奇函数的性质及周期性即可计算出结果．
【解答】解：由题意函数f（x）是奇函数，f（0）＝0，
f（3﹣x）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
故函数f（x）是周期函数，且周期T＝3．
对于数列{an}：
当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝﹣1；
当n≥2时，Sn＝2an+n，
Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1，
两式相减，可得an＝2an﹣2an﹣1+1，
∴an＝2an﹣1﹣1，
两边同时减1，可得：
an﹣1＝2an﹣1﹣1﹣1＝2（an﹣1﹣1），
∵a1﹣1＝﹣2，
∴数列{an﹣1}是以﹣2为首项，2为公比的等比数列．
∴an﹣1＝﹣2•2n﹣1＝﹣2n，
∴an＝1﹣2n，n∈N*
∴a5＝﹣31，a6＝﹣63．f（1）＝﹣3，
∴f（a5）+f（a6）＝f（﹣31）+f（﹣63）＝f（﹣3×10﹣1）+f（﹣3×21）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝3．
故选：C．
6．函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1＝16，则a1+a3+a5＝（ ）
A．18 B．21 C．24 D．30
【分析】利用导数的几何意义，先求出函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线方程，再求出其与x轴交点的横坐标，即可得数列{an}的递推式，求出数列的通项公式代入求解即可
【解答】解：依题意，y′＝2x，
∴函数y＝x2（x＞0）的图象在点（ak，ak2）处的切线方程为y﹣ak2＝2ak（x﹣ak）
令y＝0，可得x=12ak，即ak+1=12ak，
∴数列{an}为等比数列an＝16×（12）n﹣1
∴a1+a3+a5＝16+4+1＝21
故选：B．
7．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，数列{an}满足Sn＝2an+n（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【分析】由Sn＝2an+n，可得出an＝2an﹣1﹣1，从而求出a5＝﹣31，a6＝﹣63，而由f（x+3）＝f（x）可知f（x）的周期为3，从而可以得出f（a5）+f（a6）＝f（﹣1）+f（0），而f（x）为R上的奇函数可得f（﹣1）＝3，f（0）＝0，从而可得出f（a5）+f（a6）的值．
【解答】解：数列{an}满足Sn＝2an+n，当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，解得a1＝﹣1，
∴当n≥2时，Sn﹣1＝2an﹣1+n﹣1，
则an＝2an﹣2an﹣1+1，即an＝2an﹣1﹣1，
∴an﹣1＝2（an﹣1﹣1）（n≥2），又∵a1﹣1＝﹣2，
∴数列{an﹣1}是首项为﹣2，公比为2的等比数列，
∴an﹣1＝﹣2×2n﹣1＝﹣2n，
∴an＝1﹣2n，此式对n＝1也成立，
∴数列{an}的通项公式为an＝1﹣2n，
∴a5＝﹣31，a6＝﹣63，
由定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（x+3）＝f（x），f（1）＝﹣3，
可知，f（x）的周期为3，且f（﹣1）＝﹣f（1）＝3，f（0）＝0，
∴f（a5）+f（a6）＝f（﹣31）+f（﹣63）＝f（﹣1）+f（0）＝3．
故选：C．
8．设直线nx+（n+1）y=2(n∈N∗)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1+S2+…+S2017＝（ ）
A．20142015 B．20152016 C．20162017 D．20172018
【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，得到所围成的三角形的面积，得到数列{Sn}的通项公式，列项后可求S1+S2+…+S2017的值．
【解答】解：由直线nx+(n+1)y=2(n∈N∗)，
当x＝0时，y=2n+1．当y＝0时，x=2n，
所以三角形的面积Sn=12•2n•2n+1=1n−1n+1，
所以S1+S2+…+S2017＝1−12+12−13+⋯+12017−12018
＝1−12018=20172018．
故选：D．
9．已知等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，设P=12（log12a5+log12a7），Q=log12a3+a92，则P与Q的大小关系是（ ）
A．P≥Q B．P＜Q C．P≤Q D．P＞Q
【分析】利用对数运算法则以及等比数列的性质化简P，然后利用基本不等式比较大小即可．
【解答】解：等比数列{an}的各项均为正数，公比q≠1，
P=12（log12a5+log12a7）=12log12(a5⋅a7)=log12a6，
Q=log12a3+a92＜log12a3⋅a9=log12a6．
∴P＞Q．
故选：D．
10．已知f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，若n∈N*，an＝f（n），则a2021＝（ ）
A．−13 B．3 C．﹣3 D．13
【分析】利用已知条件求出函数的周期，通过数列的通项公式与函数的关系，求解即可．
【解答】解：f（x）为偶函数，f（1+x）＝f（3﹣x），所以函数的周期为：4，
n∈N*，an＝f（n），则a2021＝f（2021）＝f（1）＝f（﹣1），
当﹣2≤x≤0时，f（x）＝3x，
所以a2021＝3﹣1=13．
故选：D．
11．已知数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．若对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（3，+∞） B．（﹣∞，3） C．[3，+∞） D．（﹣∞，3]
【分析】将已知等式两边同除以n（n+1），可得an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，再由裂项相消求和，可得an+1n+1=3−1n+1＜3，再由不等式恒成立思想，可得a的范围．
【解答】解：数列{an}中，a1＝2，n•an+1﹣（n+1）•an＝1，n∈N*．
可得an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，
由a22−a11=1−12，a33−a22=12−13，
a44−a33=13−14，…，an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1n+1，
上面各式相加可得，
得an+1n+1−a11=1−1n+1，
则an+1n+1=3−1n+1＜3，
由对于任意的n∈N*，不等式an+1n+1＜a恒成立，
可得a≥3，
即有a的取值范围是[3，+∞）．
故选：C．
12．若f（n）为n2+1（n∈N*）的各位数字之和，如：142+1＝197，1+9+7＝17，则f（14）＝17；记f1（n）＝f（n），f2（n）＝f（f1（n）），f3（n）＝f（f2（n）），…，fk+1（n）＝f（fk（n）），k∈N*，则f2020（9）＝（ ）
A．2 B．8 C．5 D．11
【分析】利用已知条件求出表达式的前几项，判断数列{fn（9）}从第3项开始是以3为周期的循环数列，然后转化求解即可．
【解答】解：∵92+1＝82，∴f1（9）＝f（9）＝10，
∵102+1＝101，∴f2（9）＝f（f1（9））＝f（10）＝2，
∵22+1＝5，∴f3（9）＝f（f2（9））＝f（2）＝5，
∵52+1＝26，∴f4（9）＝f（f3（9））＝f（5）＝8，
∵82+1＝65，∴f5（9）＝f（f4（9））＝f（8）＝11，
∵112+1＝122，∴f6（9）＝f（f5（9））＝f（11）＝5，
∴数列{fn（9）}从第3项开始是以3为周期的循环数列，
∵2020＝2+672×3+2，∴f2020（9）＝f4（9）＝8，
故选：B．
13．已知f（x）＝（x+1）（x+2）（x+3）……（x+n）（n≥2，n∈N*），其导函数是f'（x），若an=f′(−1)f(0)，则a50＝（ ）
A．150! B．150 C．50 D．50!
【分析】由题意首先确定导函数的解析式，然后结合数列的通项公式和导数运算即可求得a50的值．
【解答】解：由题意可得：
f'（x）＝（x+2）（x+3）…（x+n）+（x+1）（x+3）…（x+n）+…+（x+1）（x+2）（x+3）…[x+（n﹣1）]，
则f'（﹣1）＝（n﹣1）!，f（0）＝n!，据此可得：an=(n−1)!n!=1n，a50=150．
故选：B．
14．已知函数f（x）=mx−2018，x≥2020，(4m2019+1)x−2022，x＜2020，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，则实数m的取值范围是（ ）
A．（1，3] B．（1，+∞） C．[3，+∞） D．（3，+∞）
【分析】根据题意，由数列的函数性质以及函数单调性分析可得m＞14m2019+1＞0m2020−2018＞(4m2019+1)×2019−2002，解可得m的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且{an}是单调递增函数，
则有m＞14m2019+1＞0m2020−2018＞(4m2019+1)×2019−2002，解可得m＞3，即m的取值范围为（3，+∞）；
故选：D．
15．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f(32−x)=f(x)，f（﹣1）＝3，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，（Sn为{an}的前n项和，n∈N*），则f（a5）+f（a6）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣4 C．3 D．4
【分析】通过函数的奇偶性以及关系式，推出函数的周期，数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，求出数列的通项公式，然后求解f（a5）+f（a6）即可．
【解答】解：∵函数f（x）是奇函数∴f（﹣x）＝﹣f（x）
∴f(32−x)=f(x)=−f(−x)，
∴f(3+x)=f[32−(−32−x)]=−f[−(−32−x)]=−f[32−(−x)]=−[−f(x)]=f(x)，
∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵数列{an}满足a1＝1，且Snn=2ann−1，
∴a1＝1，且Sn＝2an﹣n，Sn﹣1＝2an﹣1﹣（n﹣1），
两式相减可得an＝2an﹣1+1，从而得an=2n−1，
∴a5＝31，a6＝63，
f（a5）+f（a6）＝f（31）+f（63）＝f（1）+f（0）＝﹣f（﹣1）+f（0）＝﹣3+0＝﹣3．
故选：A．
二．填空题（共17小题）
16．在等比数列{an}中，若a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，则a4•a7＝ 154 ．
【分析】根据韦达定理可求得a1a10的值，进而根据等比中项的性质可知a4a7＝a1a10求得答案．
【解答】解：∵a1，a10是方程4x2﹣x+15＝0的两根，
∴a1a10=154，
∵数列{an}为等比数列，
∴a4a7＝a1a10=154．
故答案为：154．
17．已知函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)，则i=12016 f（k2017）的值为 1008 ．
【分析】运用三角函数的诱导公式化简函数f（x）=12+12(2x−1)+sin（x−12），可得f（x）+f（1﹣x）＝0，即可得到所求和．
【解答】解：∵函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)
=x2x−1+sin（x−12）=12+12(2x−1)+sin（x−12），
∴f（x）+f（1﹣x）=12+12(2x−1)+sin（x−12）
+12+12(1−2x)+sin（12−x）＝1+0＝1，
则k=12016 f（k2017）＝f（12017）+f（22017）+…+f（20162017）=12×2016＝1008，
故答案为：1008．
18．已知数列{an}的首项a1＝1，函数f（x）＝x3+（an+1﹣an﹣cosnπ2）x2为奇函数，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2020的值为 1010 ．
【分析】利用f（x）是奇函数，推出aa+1=an+cosnπ2，推出函数的周期，然后转化求解即可．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），
所以an+1−(an+cosnπ2)=0，aa+1=an+cosnπ2，
a1＝1，
a2=a1+cosπ2=1，
a3=a2+cos2π2=0，
a4=a3+cos3π2=0，
如此继续，
得an+4＝an．S2020＝505（a1+a2+a3+a4）＝505×2＝1010．
故答案为：1010．
19．已知函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为 {5+3338，−95} ．
【分析】令g（x）＝0，化简函数g（x）=2a−x−3x，x≤ax−3x，x＞a，从而不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，再分①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．
【解答】解：函数f（x）＝|x﹣a|−3x+a﹣2有且仅有三个零点，设f（x）＝0，可得|x﹣a|−3x+a＝2，
设g（x）＝|x﹣a|−3x+a，h（x）＝2，则函数g（x）=2a−x−3x，x≤ax−3x，x＞a．
不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，
当x＞a时，由f（x）＝0，解得x＝﹣1，或x＝3；
若 ①a≤﹣1，此时 x2＝﹣1，x3＝3，由等差数列的性质可得x1＝﹣5，
由f（﹣5）＝2a+5+35−2＝0，解得a=−95，满足f（x）＝0在（﹣∞，a]上有一解．
若②﹣1＜a≤3，则f（x）＝0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝3，
所以有x1，x2是2a﹣x−3x=2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3＝0的两个解．
得到x1+x2＝2a﹣2，x1x2＝3，
又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+3，
解得：a=5+3338或5−3338（舍去）．
③a＞3，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；
综上所述，a=5+3338或−95，
故答案为：{5+3338，−95}．
20．若函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），且y＝f（x）的图象与y=2−xx−1的图象共有m个不同的交点（xi，yi），则所有交点的横、纵坐标之和i=1m (xi+yi)= 0 ．
【分析】函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），可得函数f（x）关于点（1，﹣1）中心对称．函数y=2−xx−1=1−1x−1关于点（1，﹣1）中心对称．即可得出．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（2﹣x）＝﹣2﹣f（x），
∴函数f（x）关于点（1，﹣1）中心对称．
函数y=2−xx−1=1−1x−1关于点（1，﹣1）中心对称．
即任意两个交点的横坐标的和为2，纵坐标的和为﹣2，
与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则和i=1m (xi+yi)=0．
故答案为：0．
21．函数f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意实数x，y满足：
f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），an=f(2n)2n（n∈N*），bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
考查下列结论：①f（1）＝1；②f（x）为奇函数：③数列{an}为等差数列；④数列{bn}为等比数列．
以上结论正确的是 ②③ ．
【分析】利用抽象函数的关系和定义，利用赋值法分别进行判断即可．
【解答】解：因为对定义域内任意x，y，f（x）满足f（xy）＝xf（y）+yf（x），
所以令x＝y＝1，得f（1）＝0，故①错误；
令x＝y＝﹣1，得f（﹣1）＝0，
令y＝﹣1，有f（﹣x）＝xf（﹣1）﹣f（x），
代入f（﹣1）＝0得f（﹣x）＝﹣f（x），
故f（x）是R上的奇函数，故②正确；
若an=f(2n)2n（n∈N*），
则an﹣an﹣1=f(2n)2n−f(2n−1)2n−1=f(2n)−2f(2n−1)2n=2f(2n−1)+2n−1f(2)−2f(2n−1)2n=f(2)2=1为常数，
故数列{an}为等差数列，故③正确，
④∵f（2）＝2，f（xy）＝xf（y）+yf（x），
∴当x＝y时，f（x2）＝xf（x）+xf（x）＝2xf（x），
则f（22）＝4f（2）＝8，
f（23）＝22f（2）+2f（22）＝23+2×23＝24，
∵bn=f(2n)n+1（n∈N*）．
∴b1=f(2)2=1，
b2=f(22)3=83，
b3=f(23)4=6，
b2b1=83，b3b2=94，b2b1≠b3b2，
∴数列{bn}不是等比数列，故④错误．
故答案为：②③．
22．已知实数a＞0且a≠1，函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，若数列{an}满足an＝f（n）（n∈N*），且{an}是等差数列，则a＝ 2 ，b＝ 0 ．
【分析】由条件得到an=an，n＜3an+b，n≥3，根据等差数列的定义，即可得到a2﹣a＝a，3a+b﹣a2＝a，求出a，b即可．
【解答】解：∵函数f（x）=ax，x＜3ax+b，x≥3，
∴an=an，n＜3an+b，n≥3，
∴a1＝a，a2＝a2，a3＝3a+b，a4＝4a+b，a5＝5a+b，…，an＝na+b，
∵{an}是等差数列，
∴a2﹣a＝a，即有a＝0（舍去）或2，
∴3a+b﹣a2＝a，即b＝0，
故答案为：2，0．
23．已知函数f（x）=x1−x，若f1（x）＝f（x），fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），则fn（x）＝ x1−nx(x≠1n) ．
【分析】求出表达式的前几项，然后归纳出通项公式即可．
【解答】解：因为f(x)=x1−x，所以f1(x)=x1−x，
因为fn（x）＝f（fn﹣1（x））（n＞1，n∈N*），
所以f2(x)=f(f1(x))=f(x1−x)=x1−x1−(x1−x)=x1−2x1−(x1−2x)，f3(x)=f(f2(x))=f(x1−2x)=x1−2x1−(x1−2x)=x1−3x，f4(x)=f(f3(x))=x1−3x1−(x1−3x)=x1−4x，…．
依此类推可得fn(x)=x1−nx(x≠1n)．
故答案为：x1−nx(x≠1n)．
24．已知数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，若对于任意的a∈[﹣2，2]，n∈N*，不等式an+1n+1＜3−a⋅2t恒成立，则实数t的取值范围为 （﹣∞，﹣1] ．
【分析】利用数列的递推关系式化简，通过累加法求出数列的通项公式，得到最大值，然后求解t的范围即可．
【解答】解：数列{an}，a1＝1，nan+1＝（n+1）an+1，
an+1n+1=ann+1n(n+1)，
an+1n+1−ann=1n(n+1)=1n−1(n+1)，
∴a22−a11=1−12，
a33−a22=12−13，
a44−a33=13−14，
…
ann−an−1n−1=1n−1−1n，
an+1n+1−ann=1n−1(n+1)，
累加可得an+1n+1=2−1n+1，
∴3﹣a•2t≥2，即a•2t≤1，
∵a∈[﹣2，2]，∴2•2t≤1⇒t≤﹣1．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
25．函数y＝f（x）的部分对应值如表所示，对于任意n∈N*，点（an，an+1）都在函数y＝f（x）的图象上．已知a1＝1，则a2的值是 3 ，a2020的值是 1 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
【分析】an+1＝f（an），a1＝1．可得：an+4＝an．即可得出．
【解答】解：an+1＝f（an），a1＝1．
∴a2＝f（1）＝3，
a3＝f（a2）＝f（3）＝2，
a4＝f（a3）＝f（2）＝1，…，
∴an+3＝an．
∴a20120＝a673×3+1＝a1＝1．
故答案为：3；﹣1．
26．如图，已知直线l：y＝x与曲线C：y=log12x，设P1为曲线C上纵坐标为1的点，过P1作y轴的平行线交l于Q2，过Q2作y轴的垂线交曲线C于P2；再过P2作y轴的平行线交l于点Q3，过Q3作y轴的垂线交曲线C于P3；……，设点P1，P2，P3，…，Pn的横坐标分别为a1，a2，a3，…an.若a2019＝t．则a2020＝ 2﹣t 用t表示）．
【分析】由题意分析可得点Pn+1的纵坐标是an，由点Pn+1在曲线C：y=log12x上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)an，可得递推公式an+1=(12)an，由此可求得结论．
【解答】解：因为P1为曲线C：y=log12x上纵坐标为1的点，所以点P1的横坐标a1=12，
由题意可得点Qn+1与点Pn的横坐标相等，点Qn+1与点Pn+1的纵坐标相等，
因为点Qn+1在直线y＝x上，所以它的横纵坐标相等，都是an，
从而得到点Pn+1的纵坐标是an，
点Pn+1在曲线C：y=log12x上，由纵坐标得到它的横坐标为(12)an，
即an+1=(12)an，
若a2019＝t．则a2020=(12)t=2﹣t．
故答案为：2﹣t．
27．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，设f（x）在[2n﹣2，2n）（n∈N*）上的最大值记作an，Sn为数列{an}的前n项和，则Sn的最大值为 64 ．
【分析】根据函数的解析式，分别求得a1，a2，a3，…，得出an＝17﹣2n，结合等差数列的性质和前n项和公式，即可求解．
【解答】解：由题意，函数f(x)=15−|x−1|，0≤x＜2f(x−2)−2，x≥2，
当n＝1时，x∈[0，2），此时f（x）＝15﹣|x﹣1|，
此时函数f（x）在∈[0，2）上的最大值为f（1）＝15﹣|1﹣1|＝15，所以a1＝15，
当n＝2时，x∈[2，4），此时f（x）＝f（x﹣2）﹣2，此时x﹣2∈[0，2），
所以f（x）＝f（x﹣2）﹣2＝15﹣|x﹣2﹣1|﹣2＝13﹣|x﹣3|，
此时函数f（x）在[2，4）上的最大值为f（3）＝13﹣|3﹣3|＝13，所以a2＝13，
……
当x∈[2n﹣2，2n）时，f（x）＝15﹣f[x﹣（2n﹣2）]﹣2（n﹣1）＝15﹣|x﹣（2n﹣2）﹣1|﹣2（n﹣1），
此时函数f（x）的最大值为f（n）＝17﹣2n，所以an＝17﹣2n，
当1≤n≤8，n∈N*时，an＞0，当n≥9，n∈N*时，an＜0，
所以Sn的最大值为S8=8(a1+a8)2=8×(15+1)2=64．
故答案为：64．
28．已知函数f（x）的部分对应值如下表所示．数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*，点（an，an+1）都在函数f（x）的图象上，则a2018的值为 3 ．
x
1
2
3
4
f（x）
3
1
2
4
【分析】利用已知条件得到an+1＝f（an），a1＝1．可得数列的周期性．求解得出．
【解答】解：an+1＝f（an），a1＝1．
∴a2＝f（1）＝3，a3＝f（a2）＝f（3）＝2，a4＝f（a3）＝f（2）＝1，…，
∴an+3＝an．数列是周期数列，周期为3，
∴a2018＝a672×3+2＝a2＝3．
故答案为：3．
29．若函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），现已知f（x）=2−2x2x−1，数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），则此数列前2019项的和为 ﹣2018 ．
【分析】f（x）=2−2x2x−1，其图象的对称中心为（12，﹣1），从而f（x）+f（1﹣x）＝﹣2，由S2019＝f（12019）+f（22019）+…﹣f（20182019）+f（1），利用倒序相加求和法能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=ax+bcx+d（c≠0），其图象的对称中心为（−dc，ac），
∴f（x）=2−2x2x−1，其图象的对称中心为（12，﹣1），即f（x）+f（1﹣x）＝﹣2，
∵数列{an}的通项公式为an＝f（n2019）（n∈N+），
∴此数列前2019项的和为：
S2019＝f（12019）+f（22019）+…+f（20182019）+f（1），
∴S2019＝f（20182019）+f（20172019）+…+f（12019）+f（1），
两式相加，得：
2S2019＝[f（12019）+f（20182019）]+[f（22019）+f（20172019）]+…+0=(−2)+(−2)+⋯+(−2)︸2018个+0＝﹣2×2018，
故答案为：﹣2018．
30．已知x∈R，[x]表示小于等于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，＜x＞表示大于等于x的最小整数，令M＝{x|0≤x≤100，[x]{x}＜x＞＝1}，则M中元素之和为 4950.99 ．
【分析】本题先分类讨论，易知当x为整数时不成立，
当x不为整数时，先表示出x的小数部分，进而将其分解为两部分，再利用数列进行求和即可．
【解答】解：
①当x为整数时，[x]＝＜x＞，{x}＝0．显然不符合题意，
②当x不为整数时，易知＜x＞﹣[x]＝1，设[x]＝t，则＜x＞＝t+1，{t|0＜t＜100，t∈N*}．
所以t×{x}×（t+1）＝1．
所以{x}=1t(t+1)．
所以x=t+1t(t+1){t|0＜t＜100，t∈N∗}．
记M中元素之和为S，
则S=1+11×2+2+12×3+3+13×4+⋯+99+199×100=(1+2+3+⋯+99)+(11×2+12×3+13×4+⋯+199×100)=99×(1+99)2+(1−1100)=4950.99
故答案为：4950.99
31．在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，则1p+9q的最小值为 2514 ．
【分析】利用等比数列的性质，求出p+q＝9，然后利用基本不等式转化求解最小值即可．
【解答】解：在等比数列{an}中，若a3•a6＝ap•aq，
可得p+q＝9，
则1p+9q=19（1p+9q）（p+q）=19(10+qp+9pq)≥19(10+2qp⋅9pq)=169，当且仅当q＝3p，并且p+q＝9时取等号，
因为pq是正整数，所以当p＝2，q＝7时，1p+9q=2514，
当p＝3，q＝6时，1p+9q=116，
所以1p+9q的最小值为：2514．
故答案为：2514．
32．已知等差数列{an}（其中an≠0，公差d≠0）及关于x的方程aix2+2ai+1x+ai+2＝0（i＝1，2，3，…，n），这些方程有公共的根m，若方程的另一个根分别为x1，x2，x3，⋯，xn，则1x2018+1−1x2017+1= −12 ．
【分析】将公共根代入方程，可得aim2+2ai+1m+ai+2＝0，且ai+1m2+2ai+2m+ai+3＝0，两式相减可得dm2+2dm+d＝0，结合d≠0，可求出m，进而结合韦达定理，可得出另一个根的关系式，可得到1xi+1+1−1xi+1=−12，进而可得出答案．
【解答】解：设方程的公共根为m，则aim2+2ai+1m+ai+2＝0，①，
且ai+1m2+2ai+2m+ai+3＝0，②
②﹣①得，
（ai+1﹣ai）m2+2（ai+2﹣ai+1）m+ai+3﹣ai+2＝0，
即dm2+2dm+d＝0，
因为d≠0，所以m2+2m+1＝0，
即（m+1）2＝0，解得m＝﹣1．
方程的另一个根记为xi，则xi﹣1=−2ai+1ai=−2×ai+dai=−2−2dai，
所以xi+1=−2dai，即1xi+1=−2dai，
所以1xi+1+1−1xi+1=−12d（ai+1﹣ai）=−d2d=−12，
所以1x2018+1−1x2017+1=−12．
故答案为：−12．
三．解答题（共6小题）
33．已知函数f（x）=x3x+1，数列{an}满足a1＝1，an+1＝f（an）（n∈N*）．
（1）证明数列{1an}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式；
（2）记Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1，求Sn．
【分析】（1）利用数列与函数的关系式，得到通项公式，推出数列{1an}是首项1a1=1，公差d＝3的等差数列，然后求出数列{an}的通项公式．
（2）化简通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【解答】解：（1）证明：由已知得，an+1=an3an+1．
∴1an+1=1an+3．
即1an+1−1an=3．
∴数列{1an}是首项1a1=1，公差d＝3的等差数列．
∴1an=1+（n﹣1）×3＝3n﹣2．
故an=13n−2（n∈N*）
（2）∵anan+1=1(3n−2)(3n+1)=13（13n−2−13n+1）
∴Sn＝a1a2+a2a3+…+anan+1
=13[（1−14）+（14−17）+…+（13n−2−13n+1）]
=13（1−13n+1）=n3n+1．
34．已知函数ℎ(x)=12x2+tx，h（x）在原点（0，0）处切线的斜率为1，f(x)=xℎ′(x)，数列{an}满足a1＝a（a为常数，且a＞0），an+1＝f（an），n∈N*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）用数学归纳法证明你的猜想．
【分析】（Ⅰ）利用函数的导数转化求解f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用递推关系式，计算a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）直接用数学归纳法证明步骤，证明猜想即可．
【解答】解：（Ⅰ）h'（x）＝x+t，h'（0）＝t＝1，…………..（1分）
∴h'（x）＝x+1，∴f(x)=xx+1⋯⋯⋯⋯..（2分）
（Ⅱ）an+1=f(an)=an1+an，
则a2=f(a1)=a1+a，
a3=f(a2)=⋯=a1+2a，
a4=f(a3)=⋯=a1+3a
由此猜想数列的通项公式应为an=a1+(n−1)a(n∈N∗)⋯⋯⋯..（6分）
（Ⅲ）①当n＝1时，猜想显然成立………..（7分）
②假设n＝k（k∈N*）时，猜想成立，
即ak=a1+(k−1)a⋯⋯⋯..（8分）
则当n＝k+1时，ak+1=f(ak)=ak1+ak=a1+(k−1)a1+a1+(k−1)a=a1+ka=a1+[(k+1)−1]a，
即当n＝k+1时，猜想成立． ………..（11分）
由①②知，an=a1+(n−1)a对一切正整数n都成立．………..（12分）
35．设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Snn），n∈N*均在函数y＝x的图象上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记数列{1anan+1}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由点（n，sn）均在函数y＝f（x）的图象上．可得Sn＝n2．利用递推式可得an．
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用，进一步利用恒成立问题的应用求出参数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵点（n，sn）均在函数y＝f（x）的图象上．
∴Sn＝n2．
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1．
当n＝1时上式也成立，
∴an＝2n﹣1 （n∈N*）．
（2）因为1anan+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．
Tn=12（1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1）=12（1−12n+1）＜12．
对任意的n∈N*，不等式4Tn＜a2﹣a恒成立，只需2≤a2﹣a恒成立，
解得a≤﹣1或a≥2，
故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥2．
36．已知点（1，13）是函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）﹣c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，问使Tn＞10002011的最小正整数n是多少？
（3）若cn=−12an•bn，求数列{cn}的前n项和．
【分析】（1）由f（1）=13可求得a，从而得f（x），求出a1，a2，a3，根据等比中项公式可求得c值，进而可得公比，求得an；由Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1，可得Sn−Sn−1=1，由等差数列的定义可判断{Sn}}构成等差数列，求出Sn，由Sn与bn的关系可求得bn；
（2）利用裂项相消法可求得Tn，进而可解Tn＞10002011，得到结果；
（3）先表示出cn，然后利用错位相减法可求得数列{cn}的前n项和．
【解答】解：（1）∵f（x）＝ax，且f（1）=13，∴a=13，
∴f（x）=(13)x．
∴a1＝f（1）﹣c=13−c，a2＝[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=−29，a3＝[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=−227．
又数列{an}成等比数列，
∴(−29)2=(13−c)(−227)，解得c＝1，
又公比q=a2a1=13，∴an=−23⋅(13)n−1=−23n，
由Sn﹣Sn﹣1=Sn+Sn−1，得（Sn+Sn−1）（Sn−Sn−1）=Sn+Sn−1（n≥2），
又bn＞0，∴Sn−Sn−1=1，
∴数列{Sn}}构成一个首项为1公差为1的等差数列，
则Sn=n，∴Sn＝n2，
当n≥2时，bn＝Sn﹣Sn﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，又该式满足b1＝c＝1，
∴bn＝2n﹣1；
（2）Tn=1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1
=11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)
=12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)
=12（1−12n+1）=n2n+1，
由Tn＞10002011，得n2n+1＞10002011，解得n＞100011，
∴使Tn＞10002011的最小正整数n是91．
（3）cn=−12anbn=−12•（−23n）•（2n﹣1）=2n−13n，
设{cn}的前n项和为Rn，则Rn=13+332+533+⋯+2n−13n①，
13Rn=132+333+534+⋯+2n−13n+1②，
①﹣②得，23Rn=13+232+233+⋯+23n−2n−13n+1=13+2×19(1−13n−1)1−13=23−2n+23n+1，
∴Rn=1−n+13n．
37．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷，甚至死亡．
某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）
现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2
（1）运用概率统计的知识，若E（ξ1）＝E（ξ2），试求关于k的函数关系式p＝f（k）；
（2）若p与抗生素计量xn相关，其中x1，x2，……，xn（n≥2）是不同的正实数，满足x1＝1，对任意的n∈N*（n≥2），都有e−13⋅i=1n−1 xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12
（i）证明：{xn}为等比数列；
（ii）当p=1−13x4时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值．
参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln4≈1.3863，ln5≈1.6094，ln6≈1.7918．
【分析】（1）分别求解ξ1，ξ2可能的取值及其对应的概率，即可求解E（ξ1）＝E（ξ2），从而求出关系式p＝f（k）；
（2）（i）首先令n＝2，可以计算出x22x12=e13，从而猜想xn=en−13（n∈N*），使用数学归纳法，利用已知条件进行归纳证明即可；（ii）从（1）可以得到E（ξ1）﹣E（ξ2）＝k﹣[k+1﹣k（1﹣p）k]＝k（1﹣p）k﹣1＝ke−k3−1，根据题目要求，
E（ξ1）﹣E（ξ2）＞0，从而得到lnk−k3＞0，研究f（k）的单调性，进而可以求解出使得f（k）＞0的最大的k值．
【解答】解：（1）当进行逐份检验时，ξ1的值只有k，所以E（ξ1）＝k，
当进行混合检验时，ξ2的取值有1，k+1，
其中ξ2＝1对应的情况为“k份混合之后检验结果为阴性”，此时P（ξ2＝1）＝（1﹣p）k，
ξ2＝k+1对应的情况为“k份混合之后检验结果为阳性，随后对k份血液进行逐份检验”，
此时P（ξ2＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，
所以E（ξ2）＝（I﹣p）k+（k+1）[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k（1﹣p）k，
令E（ξ1）＝E（ξ2），则k＝k+1﹣k（1﹣p）k，
所以（1﹣p）k=1k，
所以p＝1﹣（1k）1k，（k∈N*且k≥2）；
（2）（i）当n＝2时，有e−13⋅x22x1x2=x22−x12x22−x12=1，∴x2x1=e13，
∵x1＝1，∴x2=e13，
∴猜想xn=en−13（n∈N*），
接下来用数学归纳法证明xn=en−13（n∈N*），
①当n＝1时，x1＝1满足；
②假设当n＝k时，xk=ek−13，
则当n＝k+1时，因为e−13⋅n−1 i=1xn2xixi+1=xn2−x12x22−x12，所以e−13⋅k i=1xk+12xixi+1=e−13⋅xk+12⋅（1x1x2+1x2x3+⋯+1xkxk+1），
设ym=1xmxm+1，则ymym−1=xm−1xm+1=e−23，其中1≤m≤k﹣1且m∈N*，
因为y1=1x1x2=e−13，
所以1x1x2+1x2x3+⋯+1xk−1xk+1xkxk+1
=y1+y2+⋯+yk−1+1xkxk+1
=e−13[1−e−2(k−1)3]1−e−23+1ek−13⋅xk+1
=e13[1−e−2(k−1)3]e23−1+e−k−13xk+1，
所以e−13⋅k i=1xk+12xixi+1=e−13⋅xk+12⋅（1x1x2+1x2x3+⋯+1xkxk+1）
=e−13⋅xk+12⋅[e13[1−e−2(k−1)3]e23−1+e−k−13xk+1]
=1−e−2(k−1)3e23−1xk+12+e−k3⋅xk+1
=xk+12−1e23−1，
所以[1−e−2(k−1)3]xk+12−(e−k3−e−k−23)⋅xk+1=xk+12−1，
整理可得：e−2(k−1)3xk+12+(e−k3−e−k−23)⋅xk+1−1=0，
即xk+12+(ek−23−ek3)⋅xk+1−e2(k−1)3=0，
所以(xk+1−ek3)(xk+1+ek−23)=0，
所以xk+1=ek3，或xk+1=−ek−23，
因为xk+1＞0，所以xk+1=ek3，
由①②可得，xn=en−13（n∈N*），{xn}是等比数列；
（ii）由题意可知，p＝1−13x4=1−13e，
由（1）可知，E（ξ1）＝k，E（ξ2）＝k+1﹣k（1﹣p）k，
所以E（ξ1）﹣E（ξ2）＝k﹣[k+1﹣k（1﹣p）k]＝k（1﹣p）k﹣1＝ke−k3−1，
由题意E（ξ1）﹣E（ξ2）＝ke−k3−1＞0，
所以−k3＞ln1k，即lnk−k3＞0，
令f（k）＝lnk−k3，k≥2，
所以原问题等价于求解使得f（k）＞0的最大的正整数，
所以f'（k）=1k−13=3−k3k，
所以当k∈[2，3）时，f'（x）＞0，当k∈（3，+∞）时，f'（x）＜0，
所以f（x）在[2，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
因为f（5）＝ln5−53≈1.6094﹣1.6667＜0，f（4）＝ln4−43≈1.3863﹣1.3333＞0，且k∈N*，
所以kmax＝4．
38．已知数列{an}，{bn}，其中a1＝2，bn﹣an＝1，且点（an，an+1）在函数f（x）＝x（x+2）的图象上，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{lgbn}是等比数列，并求数列{an}的通项；
（Ⅱ）记Tn为数列{bn}的前n项积，Sn为数列{cn}的前n项和，cn=1bn−1+1bn+1，试比较Sn与21−3Tn大小．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）使用裂项法求和Sn，在与21−3Tn比较大小即可．
【解答】（Ⅰ）证明：依题意an+1＝an（an+2）
故an+1+1＝（an+1）2，
∴bn+1＝bn2，
即lgbn+1＝2lgbn，
又lgb1＝lg（a1+1）＝lg3，
∴{lgbn}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴lgbn＝lg3•2n﹣1，
∴bn=10lg3⋅2n−1=32n−1，
∴数列{an}的通项为an=32n−1−1；
（Ⅱ）解：Tn=b1b2⋯bn=31+2+22+⋯+2n−1=32n−1，
∵an+1＝an（an+2），∴1an+1=12（1an−1an+2），1an+2=1an−2an+1，
∵cn=1bn−1+1bn+1=1an+1an+2=2（1an−1an+1），
∴Sn＝c1+c2+…+cn＝2（1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1an−1an+1）＝2（12−132n−1）＝1+21−32n＞21−32n，
∵21−3Tn=21−32n，
∴Sn＞21−3Tn．
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