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人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列通项公式
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列通项公式，共19页。试卷主要包含了《周髀算经》中有这样一个问题等内容，欢迎下载使用。
1．在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，则a4＝（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
2．实数数列1，a，16为等比数列，则a等于（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣4或4
3．已知等比数列{an}满足a1+a2＝4，a2+a3＝12，则a4＝（ ）
A．27B．64C．81D．243
4．在等比数列{an}中，前7项和S7＝16，又a12+a22+…+a72＝128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7＝（ ）
A．8B．132C．6D．72
5．设等比数列{an}的公比为q，若4a2＝a1+4a3，则q＝（ ）
A．12B．2C．−12D．﹣2
6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（ ）
A．﹣8B．8C．﹣16D．16
7．在等比数列{an}中，a4•a8＝2，a2+a10＝3，则a12a4=（ ）
A．2B．12C．2或12D．﹣2或−12
8．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（ ）
A．14B．12C．22D．0
9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
10．已知三个数4，x，16成等比数列，则x＝（ ）
A．±8B．8C．±4D．4
11．已知等比数列{an}中，a2a12＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（ ）
A．3B．6C．7D．8
二．多选题（共2小题）
12．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（ ）
A．8B．12C．﹣8D．﹣12
13．已知数列是{an}是正项等比数列，且2a3+3a7≥6，则a5的值可能是（ ）
A．2B．4C．85D．83
三．填空题（共16小题）
14．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝ ．
15．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
16．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣2（n∈N*），则数列{an}的通项公式为 ．
17．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10的值为 ．
18．在等比数列{an}中，若a3•a6＝2，a4+a5＝3，则an＝ ．
19．设{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，则{an}的通项公式为 ．
20．等比数列{an}中，an≠an+1，若a5＝1，a3+a7＝2，则数列{an}的公比为 ．
21．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝4a2，a4＜a3，则an＝ ，S6＝ ．
22．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝64，则a6＝ ．
23．已知等比数列{an}中，an＞0，4a1，12a3，3a2成等差数列，则a2019−a2021a2018−a2020= ．
24．在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝ ．
25．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝ ；若an＞1，则n的最大值为 ．
26．已知数列{an}为等比数列，且a2015+a2017=02 4−x2dx，则a2016（a2014+a2018）的最小值为 ．
27．等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=116，a5=12，则a8＝ ．
28．三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，则这三个数为 ．
29．设等比数列{an}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝ ．
四．解答题（共7小题）
30．（1）如果一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，求他的前15项和
（2）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，求{an}的公比．
31．已知等差数列{an}满足a5＝3，前3项和S3=92．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b6＝a63，数列{bn}的通项公式．
32．设数列{an}中a1＝1，a2=53，an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
33．在等差数列{an}中，a1+a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
34．已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．
（1）若an=12，求n；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
35．已知等比数列{an}的公比q≠1，a1＝3，且3a2、2a3、a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2lg3an，求证：数列{bn}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)(−1)n=1＜1bn+1．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
36．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，q=−3，求a8．
（2）已知an＝4n﹣3，求a1和公比q．
（3）已知a3=43，a5=83，求a10．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，求a5．
人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列通项公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，则a4＝（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】利用等比数列通项公式列出方程，能求出结果．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，
∴a42=a2a6=12×8a4＞0，
解得a4＝2．
故选：B．
2．实数数列1，a，16为等比数列，则a等于（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣4或4
【分析】由等比数列的性质及等比中项的性质即可求解
【解答】解：∵1，a，16为等比数列，
则a2＝16，
∴a＝±4
故选：D．
3．已知等比数列{an}满足a1+a2＝4，a2+a3＝12，则a4＝（ ）
A．27B．64C．81D．243
【分析】利用等比数列通项公式求出公比q=a2+a3a1+a2=3，进面求出首贡a1＝1，由此能求出第4项．
【解答】解：∵{an}为等比数列，∴公比q=a2+a3a1+a2=3．
又a1+a2＝4，∴a1＝1，故a4=1×33=27．
故选：A．
4．在等比数列{an}中，前7项和S7＝16，又a12+a22+…+a72＝128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7＝（ ）
A．8B．132C．6D．72
【分析】把已知的前7项和S7＝16利用等比数列的求和公式化简，由数列{an2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72＝128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出a1(1+q7)1+q的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出a1(1+q7)1+q的值代入即可求出值．
【解答】解：∵S7=a1(1−q7)1−q=16，
∴a12+a22+…+a72=a12(1−q14)1−q2=a1(1−q7)1−q•a1(1+q7)1+q=128，
即a1(1+q7)1+q=8，
则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7
＝（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7
＝a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6
=a1(1−q)(1−q6)1−q2+a1q6
=a1(1+q7)1+q
＝8．
故选：A．
5．设等比数列{an}的公比为q，若4a2＝a1+4a3，则q＝（ ）
A．12B．2C．−12D．﹣2
【分析】把4a2＝a1+4a3转化为关于q的方程，可求得q．
【解答】解：由4a2＝a1+4a3得4q＝1+4q2，解得q=12．
故选：A．
6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（ ）
A．﹣8B．8C．﹣16D．16
【分析】直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．
【解答】解：数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，所以：a12+2a1a4+a42=4，
由于a12+a42＝20，
所以2a1a4＝﹣16，整理得a2a3＝a1a4＝﹣8．
故选：A．
7．在等比数列{an}中，a4•a8＝2，a2+a10＝3，则a12a4=（ ）
A．2B．12C．2或12D．﹣2或−12
【分析】等比数列{an}的公比为q，a4•a8＝2，a2+a10＝3，可得a2•a10＝2，解方程可得a2，a10，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，a4•a8＝2，a2+a10＝3，
可得a2•a10＝2，
解得a2＝1，a10＝2，或a2＝2，a10＝1，
则q8=a10a2=2或12，
可得a12a4=q8＝2或12，
故选：C．
8．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（ ）
A．14B．12C．22D．0
【分析】由等比数列的性质求得结果即可．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5＝a32，
∵a3＝1，a5＝2，
∴a1=a32a5=12，
故选：B．
9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【分析】设此等差数列{an}的公差为d，则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+9×82d＝85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．
【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，
则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+9×82d＝85.5，
解得：d＝﹣1，a1＝13.5．
则a12＝13.5﹣11＝2.5．
故选：B．
10．已知三个数4，x，16成等比数列，则x＝（ ）
A．±8B．8C．±4D．4
【分析】利用等比数列性质直接求解．
【解答】解：∵三个数4，x，16成等比数列，
∴x2＝4×16＝64，
解得x＝±8．
故选：A．
11．已知等比数列{an}中，a2a12＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（ ）
A．3B．6C．7D．8
【分析】由题意a2a12＝4a7，可得a72＝4a7≠0，解得a7，数列{bn}是等差数列，则b3+b11＝2b7＝2a7．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2a12＝4a7，
∴a72＝4a7≠0，解得a7＝4，
∵数列{bn}是等差数列，
∴则b3+b11＝2b7＝2a7＝8．
故选：D．
二．多选题（共2小题）
12．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（ ）
A．8B．12C．﹣8D．﹣12
【分析】根据题意，由等比中项的定义可得（a6）2＝a5×a7＝64，解可得a6的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，
则（a6）2＝a5×a7＝64，解可得a6＝±8，
故选：AC．
13．已知数列是{an}是正项等比数列，且2a3+3a7≥6，则a5的值可能是（ ）
A．2B．4C．85D．83
【分析】由等比数列的通项公式及基本不等式可得2a3+3a7≥26a5，结合已知可得a5的取值范围，即可求得结论．
【解答】解：因为数列{an}是正项等比数列，
所以2a3+3a7=2q2a5+3a5q2=1a5（2q2+3q2）≥1a5•22q2⋅3q2=26a5，
又2a3+3a7≥6，
所以26a5≥6，
解得a5≤2，
所以a5的值可能是2，85．
故选：AC．
三．填空题（共16小题）
14．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝ 42 ．
【分析】根据等比数列的通项公式，结合题意，即可求出对应的结果．
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝3，
a1+a3+a5＝a1+a1q2+a1q4＝3（1+q2+q4）＝21，
即1+q2+q4＝7，
解得q2＝2或q2＝﹣3（不合题意，舍去）；
所以a3+a5+a7＝a1q2（1+q2+q4）＝3×2×7＝42．
故答案为：42．
15．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
【分析】设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=12，操作n次后的浓度为an，则an+1=12an，利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=12，
操作n次后的浓度为an，则an+1=12an，
∴数列{an}构成a1=12为首项，q=12为公比的等比数列，
∴an＝（12）n，即第n次操作后溶液的浓度为（12）n；
由an＝（12）n＜110，解得n＞4．
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．
故答案为：4．
16．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣2（n∈N*），则数列{an}的通项公式为 an＝2n，n∈N* ．
【分析】当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，由Sn＝2an﹣2，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，知Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，从而得到anan−1=2，故{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，∴a1＝2．
当n≥2时，Sn＝2an﹣2，∴Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，
∴Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，
∴an＝2an﹣2an﹣1，
∴an＝2an﹣1，
∴anan−1=2，
∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n，n∈N*．
答案：an＝2n，n∈N*．
17．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10的值为 1023128 ．
【分析】由题意可得：b1+b2+…+b10＝lg2（a1•a2•…•a10）=lg2(a11021+2+⋯+9)=25，a110×245=225，可得：a1=14．代入即可得出．
【解答】解：数列{an}是等比数列，其公比为2，
设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，
∴b1+b2+…+b10＝lg2（a1•a2•…•a10）=lg2(a11021+2+⋯+9)=25，
∴a110×245=225，可得：a1=14．
那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10=4(1+12+122+⋯+129)=4×1−12101−12=1023128．
故答案为：1023128．
18．在等比数列{an}中，若a3•a6＝2，a4+a5＝3，则an＝ 2n﹣4或25﹣n ．
【分析】推导出a3•a6＝a4•a5＝2，从而a4，a5是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，解方程x2﹣3x+2＝0得a4＝1，a5＝2或a4＝2，a5＝1，由此能求出结果．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3•a6＝2，a4+a5＝3，
∴a3•a6＝a4•a5＝2，
∴a4，a5是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
解方程x2﹣3x+2＝0得a4＝1，a5＝2或a4＝2，a5＝1，
当a4＝1，a5＝2时，a1=18，q=2，
∴an=18×2n−1=2n−4．
当a4＝2，a5＝1时，a1=16，q=12，
∴an＝16×（12）n﹣1＝25﹣n．
故答案为：2n﹣4或25﹣n．
19．设{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，则{an}的通项公式为 an=3n−1，n∈N* ．
【分析】根据等比数列的通项公式先求出q，问题得以解决．
【解答】解：{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，
则3a2q+2a2q2＝a2q3，
即3q+2q2＝q3，
解得q＝3，q＝﹣1（舍去），
∴an＝a2qn﹣2＝3n﹣1，
故答案为：an＝3n﹣1，n∈N*．
20．等比数列{an}中，an≠an+1，若a5＝1，a3+a7＝2，则数列{an}的公比为 ﹣1 ．
【分析】根据题意，设数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得1q2+q2＝2，解可得q2的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设数列{an}的公比为q，
若an≠an+1，则q≠1，
若a5＝1，a3+a7＝2，则1q2+q2＝2，
解可得q2＝1，即q＝﹣1或q＝1，
又由q≠1，则q＝﹣1，
故答案为：﹣1．
21．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝4a2，a4＜a3，则an＝ （﹣2）n﹣1 ，S6＝ ﹣21 ．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a4＝4a2，
∴q2＝4，解得q＝±2．
又a4＜a3，
∴取q＝﹣2．
则an＝（﹣2）n﹣1．
S6=1−(−2)61−(−2)=−21．
故答案为：（﹣2）n﹣1，﹣21．
22．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝64，则a6＝ 2048 ．
【分析】由题意设等比数列{an}的公比为q，利用q2=a4a2求出q2后再根据a6＝a4q2进行求解即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q2=a4a2=642=32，
所以a6＝a4q2＝64×32＝2048．
故答案为：2048．
23．已知等比数列{an}中，an＞0，4a1，12a3，3a2成等差数列，则a2019−a2021a2018−a2020= 4 ．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及等差数列的性质可先求q，然后结合等比数列的性质可求．
【解答】解：由题意得，a3＝4a1+3a2，
故a1q2=4a1+3a1q，
所以q2﹣3q﹣4＝0，
由题意q＞0，
解得q＝4，q＝﹣1（舍），
则a2019−a2021a2018−a2020=q＝4．
故答案为：4．
24．在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝ 8 ．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可求q，根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题意得q=a2a1=21=2，
则a4＝a1q3＝1×23＝8．
故答案为：8．
25．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝ −12 ；若an＞1，则n的最大值为 3 ．
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q=a2+a4a1+a3，即可得第一空答案，进而求出a1的值，即可得{an}的通项公式，解an＞1可得第二空答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，
则q=a2+a4a1+a3=−510=−12．
若a1+a3＝10，即a1+14a1＝10，解可得a1＝8，
则an＝a1qn﹣1＝8×（−12）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n，
若an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1，
必有n＝1或3，即n的最大值为3，
故答案为：−12，3．
26．已知数列{an}为等比数列，且a2015+a2017=02 4−x2dx，则a2016（a2014+a2018）的最小值为 π22 ．
【分析】根据定积分的几何意义先求出a2015+a2017＝π，再根据等比数列的性质和基本不等式即可求出．
【解答】解：02 4−x2dx表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，02 4−x2dx＝π，
∴a2015+a2017=02 4−x2dx=π，
∴a2016（a2014+a2018）＝a2016•a2014+a2016•a2018＝a20152+a20172≥12（a2015+a2017）2=π22，
故答案为：π22．
27．等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=116，a5=12，则a8＝ 4 ．
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等比数列{an}（n∈N*）中，a2=116，a5=12，
所以q3=a5a2=8，即q＝2，
所以a8=a2q6=116×26=4．
故答案为：4．
28．三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，则这三个数为 8，4，2或2，4，8 ．
【分析】设此等比数列的公比为q，第二项为a，利用它们的和为14，它们的积为64，列出方程，解出即可得出．
【解答】解：设此等比数列的公比为q，第二项为a，
则aq•a•aq＝64，aq+a+aq＝14，
解得a＝4，q=12或2．
∴这三个数为：8，4，2或2，4，8．
故答案为：8，4，2或2，4，8．
29．设等比数列{an}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝ 64 ．
【分析】设公比为q，由题意可得4q×4q2＝128，解得q＝2，则a6＝a2q4，问题得以解决．
【解答】解：设公比为q，∵a2＝4，a3a4＝128，
∴4q×4q2＝128，
∴q3＝8，
∴q＝2，
∴a6＝a2q4＝4×24＝64，
故答案为：64
四．解答题（共7小题）
30．（1）如果一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，求他的前15项和
（2）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，求{an}的公比．
【分析】（1）由等比数列的性质得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，由此能求出S15．
（2）由已知得2（2S2）＝S1+3S3，再利用等比数列的通项公式能求出{an}的公比．
【解答】解：（1）∵一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，
∴由等比数列的性质得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，
∴4，12，S15﹣16成等比数列，
∴4（S15﹣16）＝122，
解得S15＝52．
（2）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，
∴2（2S2）＝S1+3S3，
∴4（a1+a1q）=a1+3(a1+a1q+a1q2)，
解得q=13，
∴{an}的公比为13．
31．已知等差数列{an}满足a5＝3，前3项和S3=92．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b6＝a63，数列{bn}的通项公式．
【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
（2）结合等比数列的性质先求出q，然后结合等比数列的通项公式可求．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
则a1+4d=33a1+3d=92，
解得a1＝1，d=12，
故an＝1+n−12=n+12；
（2）由题意得b2＝a3＝2，b6＝a63＝32，
故q4=b6b2=32，
所以q＝2或q＝﹣2，
若q＝2，则bn＝2n﹣1，若q＝﹣2，则bn＝﹣（﹣2）n﹣1．
32．设数列{an}中a1＝1，a2=53，an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）对an+2=53an+1−23an，两边减an+1，结合等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）运用等比数列的通项公式可得可得bn＝（23）n，即an+1﹣an＝（23）n，则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1），代入计算即可得到所求通项公式．
【解答】（Ⅰ）证明：an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*），
可得an+2﹣an+1=23an+1−23an，
即有bn+1=23bn，
又b1＝a2﹣a1=53−1=23，
则数列{bn}是首项和公比都为23的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得bn＝（23）n，
即an+1﹣an＝（23）n，
则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝1+23+49+⋯+（23）n﹣1
=1−(23)n1−23=3﹣3•（23）n．
33．在等差数列{an}中，a1+a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn．由已知求出首项与公差，然后求解通项公式．
【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn．由已知可得
2a1+2d＝8，（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），
所以a1+d＝4，d（d﹣3a1）＝0，
解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3．
所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn=3n2−n2．
34．已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．
（1）若an=12，求n；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q根据条件a3+a6＝36，a4+a7＝18利用等比数列的通项公式可求出首项和公比再利用条件an=12即可求出n．
（2）在第一问的基础上直接利用等比数列的前n项和公式即可求出S8．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q则an＝a1qn﹣1
∵a3+a6＝36，a4+a7＝18
∴a1q2+a1q5=36a1q3+a1q6=18
∴a1=128q=12
∴an=128⋅(12)n−1
∵an=12
∴an=128⋅(12)n−1=12
∴n＝9
（2）由（1）可得Sn=a1(1−qn)1−q=256[1−(12)n]
∴S8=256[1−(12)8]=255
35．已知等比数列{an}的公比q≠1，a1＝3，且3a2、2a3、a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2lg3an，求证：数列{bn}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)(−1)n=1＜1bn+1．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接由3a2、2a3、a4成等差数列列式求出公比q的值，则数列{an}的通项公式可求；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn＝2lg3an整理即可得到结论；
（3）令cn=1(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)bn+1，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜cn，作比后得到数列{cn}的单调性，分n的奇偶性求出数列{cn}的最小值，从而得到结论．
【解答】解：（1）由3a2，2a3，a4 成等差数列，
所以4a3＝a4+3a2，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a1≠0，q≠0，
∴q2﹣4q+3＝0，即（q﹣1）（q﹣3）＝0．
∵q≠1，∴q＝3，
由a1＝3，得an=a1qn−1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2lg33n=2n．
得bn﹣bn﹣1＝2．
∴{bn}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由bn＝2n，
设cn=1(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)bn+1，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜cn．
cn+1cn=bn+1(1−1bn+1)bn+1+1=2n+1(1−12n+2)2n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=4n2+8n+44n2+8n+3＞1．
∵cn＞0，∴cn+1＞cn，数列{cn}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（﹣1）n+1λ＜cn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=233；
当n为偶数时，得−λ＜(cn)min=c2=8515，即λ＞−8515．
综上，λ∈(−8515，233)，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．
36．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，q=−3，求a8．
（2）已知an＝4n﹣3，求a1和公比q．
（3）已知a3=43，a5=83，求a10．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，求a5．
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求出结果．
（2）直接利用等比数列的通项公式求出首项和公比．
（3）利用数列的定义求出公比，最后求出结果．
（4）利用等比数列的性质求出结果．
【解答】解：1）已知a1＝3，q=−3，所以a8=a1⋅(q)7=3×(−3)7=−813．
（2）已知an＝4n﹣3，当n＝1时，解得a1=4−2=116，当n＝2时，则a2=4−1=14，解得q=a2a1=4．
（3）已知a3=43，a5=83，利用等比数列的性质，q2=a5a3=2，
所以a10=a5⋅q5=83×(±2)5=±3223．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，利用等比数列的性质，a1a6＝a2a5＝a3a4，所以(a1a6)3=(310)3，解得a6=310，
所以公比q＝9，则a5=a1q4=38．
1．在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，则a4＝（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
2．实数数列1，a，16为等比数列，则a等于（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣4或4
3．已知等比数列{an}满足a1+a2＝4，a2+a3＝12，则a4＝（ ）
A．27B．64C．81D．243
4．在等比数列{an}中，前7项和S7＝16，又a12+a22+…+a72＝128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7＝（ ）
A．8B．132C．6D．72
5．设等比数列{an}的公比为q，若4a2＝a1+4a3，则q＝（ ）
A．12B．2C．−12D．﹣2
6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（ ）
A．﹣8B．8C．﹣16D．16
7．在等比数列{an}中，a4•a8＝2，a2+a10＝3，则a12a4=（ ）
A．2B．12C．2或12D．﹣2或−12
8．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（ ）
A．14B．12C．22D．0
9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
10．已知三个数4，x，16成等比数列，则x＝（ ）
A．±8B．8C．±4D．4
11．已知等比数列{an}中，a2a12＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（ ）
A．3B．6C．7D．8
二．多选题（共2小题）
12．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（ ）
A．8B．12C．﹣8D．﹣12
13．已知数列是{an}是正项等比数列，且2a3+3a7≥6，则a5的值可能是（ ）
A．2B．4C．85D．83
三．填空题（共16小题）
14．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝ ．
15．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
16．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣2（n∈N*），则数列{an}的通项公式为 ．
17．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10的值为 ．
18．在等比数列{an}中，若a3•a6＝2，a4+a5＝3，则an＝ ．
19．设{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，则{an}的通项公式为 ．
20．等比数列{an}中，an≠an+1，若a5＝1，a3+a7＝2，则数列{an}的公比为 ．
21．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝4a2，a4＜a3，则an＝ ，S6＝ ．
22．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝64，则a6＝ ．
23．已知等比数列{an}中，an＞0，4a1，12a3，3a2成等差数列，则a2019−a2021a2018−a2020= ．
24．在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝ ．
25．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝ ；若an＞1，则n的最大值为 ．
26．已知数列{an}为等比数列，且a2015+a2017=02 4−x2dx，则a2016（a2014+a2018）的最小值为 ．
27．等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=116，a5=12，则a8＝ ．
28．三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，则这三个数为 ．
29．设等比数列{an}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝ ．
四．解答题（共7小题）
30．（1）如果一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，求他的前15项和
（2）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，求{an}的公比．
31．已知等差数列{an}满足a5＝3，前3项和S3=92．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b6＝a63，数列{bn}的通项公式．
32．设数列{an}中a1＝1，a2=53，an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
33．在等差数列{an}中，a1+a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
34．已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．
（1）若an=12，求n；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
35．已知等比数列{an}的公比q≠1，a1＝3，且3a2、2a3、a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2lg3an，求证：数列{bn}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)(−1)n=1＜1bn+1．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
36．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，q=−3，求a8．
（2）已知an＝4n﹣3，求a1和公比q．
（3）已知a3=43，a5=83，求a10．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，求a5．
人教版2022届一轮复习打地基练习 等比数列通项公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，则a4＝（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】利用等比数列通项公式列出方程，能求出结果．
【解答】解：在等比数列{an}中，a2=12，a6＝8，
∴a42=a2a6=12×8a4＞0，
解得a4＝2．
故选：B．
2．实数数列1，a，16为等比数列，则a等于（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣4或4
【分析】由等比数列的性质及等比中项的性质即可求解
【解答】解：∵1，a，16为等比数列，
则a2＝16，
∴a＝±4
故选：D．
3．已知等比数列{an}满足a1+a2＝4，a2+a3＝12，则a4＝（ ）
A．27B．64C．81D．243
【分析】利用等比数列通项公式求出公比q=a2+a3a1+a2=3，进面求出首贡a1＝1，由此能求出第4项．
【解答】解：∵{an}为等比数列，∴公比q=a2+a3a1+a2=3．
又a1+a2＝4，∴a1＝1，故a4=1×33=27．
故选：A．
4．在等比数列{an}中，前7项和S7＝16，又a12+a22+…+a72＝128，则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7＝（ ）
A．8B．132C．6D．72
【分析】把已知的前7项和S7＝16利用等比数列的求和公式化简，由数列{an2}是首项为a1，公比为q2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a12+a22+…+a72＝128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出a1(1+q7)1+q的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出a1(1+q7)1+q的值代入即可求出值．
【解答】解：∵S7=a1(1−q7)1−q=16，
∴a12+a22+…+a72=a12(1−q14)1−q2=a1(1−q7)1−q•a1(1+q7)1+q=128，
即a1(1+q7)1+q=8，
则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7
＝（a1﹣a2）+（a3﹣a4）+（a5﹣a6）+a7
＝a1（1﹣q）+a1q2（1﹣q）+a1q4（1﹣q）+a1q6
=a1(1−q)(1−q6)1−q2+a1q6
=a1(1+q7)1+q
＝8．
故选：A．
5．设等比数列{an}的公比为q，若4a2＝a1+4a3，则q＝（ ）
A．12B．2C．−12D．﹣2
【分析】把4a2＝a1+4a3转化为关于q的方程，可求得q．
【解答】解：由4a2＝a1+4a3得4q＝1+4q2，解得q=12．
故选：A．
6．已知数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，a12+a42＝20，则a2a3＝（ ）
A．﹣8B．8C．﹣16D．16
【分析】直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．
【解答】解：数列{an}为等比数列，若a1+a4＝2，所以：a12+2a1a4+a42=4，
由于a12+a42＝20，
所以2a1a4＝﹣16，整理得a2a3＝a1a4＝﹣8．
故选：A．
7．在等比数列{an}中，a4•a8＝2，a2+a10＝3，则a12a4=（ ）
A．2B．12C．2或12D．﹣2或−12
【分析】等比数列{an}的公比为q，a4•a8＝2，a2+a10＝3，可得a2•a10＝2，解方程可得a2，a10，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值．
【解答】解：等比数列{an}的公比为q，a4•a8＝2，a2+a10＝3，
可得a2•a10＝2，
解得a2＝1，a10＝2，或a2＝2，a10＝1，
则q8=a10a2=2或12，
可得a12a4=q8＝2或12，
故选：C．
8．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（ ）
A．14B．12C．22D．0
【分析】由等比数列的性质求得结果即可．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5＝a32，
∵a3＝1，a5＝2，
∴a1=a32a5=12，
故选：B．
9．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【分析】设此等差数列{an}的公差为d，则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+9×82d＝85.5，解得：d，a1．利用通项公式即可得出．
【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，
则a1+a4+a7＝3a1+9d＝31.5，9a1+9×82d＝85.5，
解得：d＝﹣1，a1＝13.5．
则a12＝13.5﹣11＝2.5．
故选：B．
10．已知三个数4，x，16成等比数列，则x＝（ ）
A．±8B．8C．±4D．4
【分析】利用等比数列性质直接求解．
【解答】解：∵三个数4，x，16成等比数列，
∴x2＝4×16＝64，
解得x＝±8．
故选：A．
11．已知等比数列{an}中，a2a12＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b3+b11＝（ ）
A．3B．6C．7D．8
【分析】由题意a2a12＝4a7，可得a72＝4a7≠0，解得a7，数列{bn}是等差数列，则b3+b11＝2b7＝2a7．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a2a12＝4a7，
∴a72＝4a7≠0，解得a7＝4，
∵数列{bn}是等差数列，
∴则b3+b11＝2b7＝2a7＝8．
故选：D．
二．多选题（共2小题）
12．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（ ）
A．8B．12C．﹣8D．﹣12
【分析】根据题意，由等比中项的定义可得（a6）2＝a5×a7＝64，解可得a6的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，
则（a6）2＝a5×a7＝64，解可得a6＝±8，
故选：AC．
13．已知数列是{an}是正项等比数列，且2a3+3a7≥6，则a5的值可能是（ ）
A．2B．4C．85D．83
【分析】由等比数列的通项公式及基本不等式可得2a3+3a7≥26a5，结合已知可得a5的取值范围，即可求得结论．
【解答】解：因为数列{an}是正项等比数列，
所以2a3+3a7=2q2a5+3a5q2=1a5（2q2+3q2）≥1a5•22q2⋅3q2=26a5，
又2a3+3a7≥6，
所以26a5≥6，
解得a5≤2，
所以a5的值可能是2，85．
故选：AC．
三．填空题（共16小题）
14．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a3+a5+a7＝ 42 ．
【分析】根据等比数列的通项公式，结合题意，即可求出对应的结果．
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝3，
a1+a3+a5＝a1+a1q2+a1q4＝3（1+q2+q4）＝21，
即1+q2+q4＝7，
解得q2＝2或q2＝﹣3（不合题意，舍去）；
所以a3+a5+a7＝a1q2（1+q2+q4）＝3×2×7＝42．
故答案为：42．
15．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．
【分析】设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=12，操作n次后的浓度为an，则an+1=12an，利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=12，
操作n次后的浓度为an，则an+1=12an，
∴数列{an}构成a1=12为首项，q=12为公比的等比数列，
∴an＝（12）n，即第n次操作后溶液的浓度为（12）n；
由an＝（12）n＜110，解得n＞4．
∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．
故答案为：4．
16．Sn是数列{an}的前n项和，若Sn＝2an﹣2（n∈N*），则数列{an}的通项公式为 an＝2n，n∈N* ．
【分析】当n＝1时，a1＝2，当n≥2时，由Sn＝2an﹣2，Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，知Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，从而得到anan−1=2，故{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
【解答】解：当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，∴a1＝2．
当n≥2时，Sn＝2an﹣2，∴Sn﹣1＝2an﹣1﹣2，
∴Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，
∴an＝2an﹣2an﹣1，
∴an＝2an﹣1，
∴anan−1=2，
∴{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴an＝2n，n∈N*．
答案：an＝2n，n∈N*．
17．已知数列{an}是等比数列，其公比为2，设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10的值为 1023128 ．
【分析】由题意可得：b1+b2+…+b10＝lg2（a1•a2•…•a10）=lg2(a11021+2+⋯+9)=25，a110×245=225，可得：a1=14．代入即可得出．
【解答】解：数列{an}是等比数列，其公比为2，
设bn＝lg2an，且数列{bn}的前10项的和为25，
∴b1+b2+…+b10＝lg2（a1•a2•…•a10）=lg2(a11021+2+⋯+9)=25，
∴a110×245=225，可得：a1=14．
那么1a1+1a2+1a3+⋯+1a10=4(1+12+122+⋯+129)=4×1−12101−12=1023128．
故答案为：1023128．
18．在等比数列{an}中，若a3•a6＝2，a4+a5＝3，则an＝ 2n﹣4或25﹣n ．
【分析】推导出a3•a6＝a4•a5＝2，从而a4，a5是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，解方程x2﹣3x+2＝0得a4＝1，a5＝2或a4＝2，a5＝1，由此能求出结果．
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a3•a6＝2，a4+a5＝3，
∴a3•a6＝a4•a5＝2，
∴a4，a5是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
解方程x2﹣3x+2＝0得a4＝1，a5＝2或a4＝2，a5＝1，
当a4＝1，a5＝2时，a1=18，q=2，
∴an=18×2n−1=2n−4．
当a4＝2，a5＝1时，a1=16，q=12，
∴an＝16×（12）n﹣1＝25﹣n．
故答案为：2n﹣4或25﹣n．
19．设{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，则{an}的通项公式为 an=3n−1，n∈N* ．
【分析】根据等比数列的通项公式先求出q，问题得以解决．
【解答】解：{an}是正项等比数列，且3a3+2a4＝a5，a2＝3，
则3a2q+2a2q2＝a2q3，
即3q+2q2＝q3，
解得q＝3，q＝﹣1（舍去），
∴an＝a2qn﹣2＝3n﹣1，
故答案为：an＝3n﹣1，n∈N*．
20．等比数列{an}中，an≠an+1，若a5＝1，a3+a7＝2，则数列{an}的公比为 ﹣1 ．
【分析】根据题意，设数列{an}的公比为q，由等比数列的通项公式可得1q2+q2＝2，解可得q2的值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设数列{an}的公比为q，
若an≠an+1，则q≠1，
若a5＝1，a3+a7＝2，则1q2+q2＝2，
解可得q2＝1，即q＝﹣1或q＝1，
又由q≠1，则q＝﹣1，
故答案为：﹣1．
21．等比数列{an}中，a1＝1，a4＝4a2，a4＜a3，则an＝ （﹣2）n﹣1 ，S6＝ ﹣21 ．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1＝1，a4＝4a2，
∴q2＝4，解得q＝±2．
又a4＜a3，
∴取q＝﹣2．
则an＝（﹣2）n﹣1．
S6=1−(−2)61−(−2)=−21．
故答案为：（﹣2）n﹣1，﹣21．
22．在等比数列{an}中，a2＝2，a4＝64，则a6＝ 2048 ．
【分析】由题意设等比数列{an}的公比为q，利用q2=a4a2求出q2后再根据a6＝a4q2进行求解即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q2=a4a2=642=32，
所以a6＝a4q2＝64×32＝2048．
故答案为：2048．
23．已知等比数列{an}中，an＞0，4a1，12a3，3a2成等差数列，则a2019−a2021a2018−a2020= 4 ．
【分析】由已知结合等比数列的通项公式及等差数列的性质可先求q，然后结合等比数列的性质可求．
【解答】解：由题意得，a3＝4a1+3a2，
故a1q2=4a1+3a1q，
所以q2﹣3q﹣4＝0，
由题意q＞0，
解得q＝4，q＝﹣1（舍），
则a2019−a2021a2018−a2020=q＝4．
故答案为：4．
24．在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2，则a4＝ 8 ．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，由题意可求q，根据等比数列的通项公式即可求解．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，由题意得q=a2a1=21=2，
则a4＝a1q3＝1×23＝8．
故答案为：8．
25．在等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，则公比q＝ −12 ；若an＞1，则n的最大值为 3 ．
【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得q=a2+a4a1+a3，即可得第一空答案，进而求出a1的值，即可得{an}的通项公式，解an＞1可得第二空答案．
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a1+a3＝10，a2+a4＝﹣5，
则q=a2+a4a1+a3=−510=−12．
若a1+a3＝10，即a1+14a1＝10，解可得a1＝8，
则an＝a1qn﹣1＝8×（−12）n﹣1＝（﹣1）n﹣1×24﹣n，
若an＞1，即（﹣1）n﹣1×24﹣n＞1，
必有n＝1或3，即n的最大值为3，
故答案为：−12，3．
26．已知数列{an}为等比数列，且a2015+a2017=02 4−x2dx，则a2016（a2014+a2018）的最小值为 π22 ．
【分析】根据定积分的几何意义先求出a2015+a2017＝π，再根据等比数列的性质和基本不等式即可求出．
【解答】解：02 4−x2dx表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，02 4−x2dx＝π，
∴a2015+a2017=02 4−x2dx=π，
∴a2016（a2014+a2018）＝a2016•a2014+a2016•a2018＝a20152+a20172≥12（a2015+a2017）2=π22，
故答案为：π22．
27．等比数列{an}（n∈N*）中，若a2=116，a5=12，则a8＝ 4 ．
【分析】由已知结合等比数列的性质及通项公式即可直接求解．
【解答】解：因为等比数列{an}（n∈N*）中，a2=116，a5=12，
所以q3=a5a2=8，即q＝2，
所以a8=a2q6=116×26=4．
故答案为：4．
28．三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，则这三个数为 8，4，2或2，4，8 ．
【分析】设此等比数列的公比为q，第二项为a，利用它们的和为14，它们的积为64，列出方程，解出即可得出．
【解答】解：设此等比数列的公比为q，第二项为a，
则aq•a•aq＝64，aq+a+aq＝14，
解得a＝4，q=12或2．
∴这三个数为：8，4，2或2，4，8．
故答案为：8，4，2或2，4，8．
29．设等比数列{an}满足a2＝4，a3a4＝128，则a6＝ 64 ．
【分析】设公比为q，由题意可得4q×4q2＝128，解得q＝2，则a6＝a2q4，问题得以解决．
【解答】解：设公比为q，∵a2＝4，a3a4＝128，
∴4q×4q2＝128，
∴q3＝8，
∴q＝2，
∴a6＝a2q4＝4×24＝64，
故答案为：64
四．解答题（共7小题）
30．（1）如果一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，求他的前15项和
（2）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，求{an}的公比．
【分析】（1）由等比数列的性质得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，由此能求出S15．
（2）由已知得2（2S2）＝S1+3S3，再利用等比数列的通项公式能求出{an}的公比．
【解答】解：（1）∵一个等比数列的前5项和等于4，前10项和等于16，
∴由等比数列的性质得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10成等比数列，
∴4，12，S15﹣16成等比数列，
∴4（S15﹣16）＝122，
解得S15＝52．
（2）∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，2S2，3S3成等差数列，
∴2（2S2）＝S1+3S3，
∴4（a1+a1q）=a1+3(a1+a1q+a1q2)，
解得q=13，
∴{an}的公比为13．
31．已知等差数列{an}满足a5＝3，前3项和S3=92．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设等比数列{bn}满足b2＝a3，b6＝a63，数列{bn}的通项公式．
【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
（2）结合等比数列的性质先求出q，然后结合等比数列的通项公式可求．
【解答】解：（1）设{an}的公差为d，
则a1+4d=33a1+3d=92，
解得a1＝1，d=12，
故an＝1+n−12=n+12；
（2）由题意得b2＝a3＝2，b6＝a63＝32，
故q4=b6b2=32，
所以q＝2或q＝﹣2，
若q＝2，则bn＝2n﹣1，若q＝﹣2，则bn＝﹣（﹣2）n﹣1．
32．设数列{an}中a1＝1，a2=53，an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．
【分析】（Ⅰ）对an+2=53an+1−23an，两边减an+1，结合等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）运用等比数列的通项公式可得可得bn＝（23）n，即an+1﹣an＝（23）n，则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1），代入计算即可得到所求通项公式．
【解答】（Ⅰ）证明：an+2=53an+1−23an，令bn＝an+1﹣an（n∈N*），
可得an+2﹣an+1=23an+1−23an，
即有bn+1=23bn，
又b1＝a2﹣a1=53−1=23，
则数列{bn}是首项和公比都为23的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得bn＝（23）n，
即an+1﹣an＝（23）n，
则an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）
＝1+23+49+⋯+（23）n﹣1
=1−(23)n1−23=3﹣3•（23）n．
33．在等差数列{an}中，a1+a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．
【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn．由已知求出首项与公差，然后求解通项公式．
【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn．由已知可得
2a1+2d＝8，（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+8d），
所以a1+d＝4，d（d﹣3a1）＝0，
解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3．
所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn=3n2−n2．
34．已知{an}为等比数列，且a3+a6＝36，a4+a7＝18．
（1）若an=12，求n；
（2）设数列{an}的前n项和为Sn，求S8．
【分析】（1）设等比数列{an}的公比为q根据条件a3+a6＝36，a4+a7＝18利用等比数列的通项公式可求出首项和公比再利用条件an=12即可求出n．
（2）在第一问的基础上直接利用等比数列的前n项和公式即可求出S8．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q则an＝a1qn﹣1
∵a3+a6＝36，a4+a7＝18
∴a1q2+a1q5=36a1q3+a1q6=18
∴a1=128q=12
∴an=128⋅(12)n−1
∵an=12
∴an=128⋅(12)n−1=12
∴n＝9
（2）由（1）可得Sn=a1(1−qn)1−q=256[1−(12)n]
∴S8=256[1−(12)8]=255
35．已知等比数列{an}的公比q≠1，a1＝3，且3a2、2a3、a4成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝2lg3an，求证：数列{bn}成等差数列；
（3）是否存在非零整数λ，使不等式λ(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)(−1)n=1＜1bn+1．对一切，n∈N*都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接由3a2、2a3、a4成等差数列列式求出公比q的值，则数列{an}的通项公式可求；
（2）把数列{an}的通项公式代入bn＝2lg3an整理即可得到结论；
（3）令cn=1(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)bn+1，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜cn，作比后得到数列{cn}的单调性，分n的奇偶性求出数列{cn}的最小值，从而得到结论．
【解答】解：（1）由3a2，2a3，a4 成等差数列，
所以4a3＝a4+3a2，即4a1q2=a1q3+3a1q．∵a1≠0，q≠0，
∴q2﹣4q+3＝0，即（q﹣1）（q﹣3）＝0．
∵q≠1，∴q＝3，
由a1＝3，得an=a1qn−1=3n；
（2）∵an=3n，∴bn=2lg33n=2n．
得bn﹣bn﹣1＝2．
∴{bn}是首项为9，公差为2的等差数列；
（3）由bn＝2n，
设cn=1(1−1b1)(1−1b2)⋯(1−1bn)bn+1，则不等式等价于（﹣1）n+1λ＜cn．
cn+1cn=bn+1(1−1bn+1)bn+1+1=2n+1(1−12n+2)2n+3=2n+2(2n+1)(2n+3)=4n2+8n+44n2+8n+3＞1．
∵cn＞0，∴cn+1＞cn，数列{cn}单调递增．
假设存在这样的实数λ，使的不等式（﹣1）n+1λ＜cn对一切n∈N*都成立，则
①当n为奇数时，得λ＜(cn)min=c1=233；
当n为偶数时，得−λ＜(cn)min=c2=8515，即λ＞−8515．
综上，λ∈(−8515，233)，由λ是非零整数，知存在λ＝±1满足条件．
36．在等比数列{an}中，
（1）已知a1＝3，q=−3，求a8．
（2）已知an＝4n﹣3，求a1和公比q．
（3）已知a3=43，a5=83，求a10．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，求a5．
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求出结果．
（2）直接利用等比数列的通项公式求出首项和公比．
（3）利用数列的定义求出公比，最后求出结果．
（4）利用等比数列的性质求出结果．
【解答】解：1）已知a1＝3，q=−3，所以a8=a1⋅(q)7=3×(−3)7=−813．
（2）已知an＝4n﹣3，当n＝1时，解得a1=4−2=116，当n＝2时，则a2=4−1=14，解得q=a2a1=4．
（3）已知a3=43，a5=83，利用等比数列的性质，q2=a5a3=2，
所以a10=a5⋅q5=83×(±2)5=±3223．
（4）已知a1＝1，a1a2a3a4a5a6＝330，利用等比数列的性质，a1a6＝a2a5＝a3a4，所以(a1a6)3=(310)3，解得a6=310，
所以公比q＝9，则a5=a1q4=38．
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