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人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定，共25页。试卷主要包含了已知圆C1，圆C1等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定
一．选择题（共11小题）
1．已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
2．已知圆C1：x2+y2﹣2，C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
4．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
5．圆C1：x2+y2＝9与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝36的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
6．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆（x+2）2+（y+3）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
8．已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
9．已知圆C1：x2+y2+4y+3＝0，圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
11．已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
二．多选题（共1小题）
12．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（ ）
A．16 B．7 C．﹣4 D．﹣7
三．填空题（共15小题）
13．曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，则m的取值范围 ．
14．若M，N分别为圆C1：（x+6）2+（y﹣5）2＝4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的动点，P为直线x+y+5＝0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ，
15．设直线3x+4y﹣5＝0与圆C1：x2+y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是 ．
16．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是 ．
17．圆x2+y2﹣2x＝0和圆x2+y2+4y＝0的位置关系是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2+y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0）与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 ．
19．已知圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是 ，两圆公共弦AB的长度是 ．
20．过点A（1，﹣1），且与圆C：x2+y2＝100切于点B（8，6）的圆的方程为 ．
21．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1与圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）外切，则r＝ ．
22．已知圆x2+y2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为 ．
23．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为 ．
24．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为 ．
26．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆x2+（y﹣2）2＝4的公共弦所在直线方程 ．
27．经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为 ．
四．解答题（共8小题）
28．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
29．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：x2+（y﹣4）2＝1．
（1）判断圆O和圆C的位置关系；
（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（结果必须写成一般式）．
30．已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
31．已知圆O：x2+y2＝1，圆过O1作圆O的切线，切点为T（T在第二象限）．
（1）求∠OO1T的正弦值；
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
32．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝1与（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36；
（2）2x2+2y2﹣3x+2y＝0与3x2+3y2﹣x﹣y＝0．
33．已知：圆C1，C2相交，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，求证：圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
34．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0和圆C2：x2+y2+2x＝0．
（1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
（2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
35．求证：圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【分析】求得圆C1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a，求得圆C2的圆心和半径，计算|C1C2|，与两圆的半径之差比较可得结论．
【解答】解：圆的圆心为C1（0，a2），半径r1＝a2，a≠0，
由圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，
可得＝2，解得a＝±，
可得圆C1的圆心为（0，2），半径为2，
而圆的圆心为（1，2），半径为r2＝1，
由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，
可得两圆的位置关系为内切．
故选：B．
2．已知圆C1：x2+y2﹣2，C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
【解答】解：由于圆，即 （x﹣）2+（y﹣2）2＝1，表示以C1（，2）为圆心，半径等于1的圆．
圆，即x2+（y﹣3）2＝9，表示以C2（0，3）为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于＝2，等于半径之差，故两个圆内切．
故选：D．
3．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
【分析】先求出两个圆的圆心和半径，然后求出两圆心之间的距离，与两圆的半径比较即可．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1，则圆心C1（0，0），r1＝1，
圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0化为标准方程为，
则圆心C2（﹣2，﹣），，
因为，
则，
所以两圆相交．
故选：A．
4．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【分析】由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径比较即可判断．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心C1（0，0），半径r＝1，
圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0的圆心C2，半径R＝，
因为，
则
所以两圆相交．
故选：A．
5．圆C1：x2+y2＝9与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝36的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
【分析】由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得小于两个半径之差，可得两圆内含．
【解答】解：由题知C1（0，0），r1＝3，C2（1，﹣2），r2＝6，
属于圆心距，
因为r2﹣r1＝3，所以|C1C2|＜r2﹣r1，
所以圆C1和圆C2的位置关系是内含．
故选：D．
6．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆（x+2）2+（y+3）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
【解答】解：圆C（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2；
圆M（x+2）2+（y+3）2＝9的圆心M（﹣2，﹣3），半径 R＝3．
∴|CM|＝＝5＝R+r．
∴两圆外切．
故选：C．
7．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0分别化为标准方程得：
x2+y2＝4，（x﹣2）2+y2＝9，
故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R＝2和r＝3，
∵圆心之间的距离d＝2，R+r＝5，|R﹣r|＝1，
∴|R﹣r|＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：B．
8．已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
【分析】直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，进一步求出m的值．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，转换为标准式为：（x﹣1）2+（y+2）2＝1；
圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），
两圆相减得：3x﹣5y﹣m2﹣4＝0，即相交弦方程，
由于：圆C1的圆心（1，﹣2）满足相交弦的方程，故3+10﹣m2﹣4＝0，
解得m＝3．
故选：A．
9．已知圆C1：x2+y2+4y+3＝0，圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可．
【解答】解：圆的标准方程为C1：x2+（y+2）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2＝4，
则圆心坐标C1（0，﹣2），半径为1，圆心坐标C2（3，﹣1），半径为2，
圆C1（0，﹣2）关于y＝x+1对称的点的坐标为圆C3（﹣3，1），半径为1，
由对称性知问题转化为P到D，N的距离之和的最小值，
由图象知当C3，C2，P三点共线时，|MP|+|NP|的距离最小，
此时最小值为|C2C3|﹣1﹣2＝﹣3＝﹣3＝﹣3＝2﹣3，
故选：A．
10．圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【分析】先将两个圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过比较两圆心之间的距离与两半径之间的关系，即可得到答案．
【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0化为标准方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝1，
则圆心为C1（﹣2，2），r1＝1，
圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣5）2＝36，
则圆心为C2（2，5），r2＝6，
因为，
所以两圆内切．
故选：B．
11．已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【分析】根据题意，由圆的方程可得的圆C2圆心，分析可得点C2在直线x+y+1＝0上，即可得m的值，由此可得圆C2的方程，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0，其圆心为（2，﹣），
若圆C2关于直线x+y+1＝0对称，即点C2在直线x+y+1＝0上，则有2+×（﹣）+1＝0，解可得m＝2，
即圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+）2＝4，其圆C2的圆心为（2，﹣），半径r＝2，
此时，圆心距|C1C2|＝＝，
则有5﹣2＜|C1C2|＜5+2，
故两圆相交，
故选：C．
二．多选题（共1小题）
12．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（ ）
A．16 B．7 C．﹣4 D．﹣7
【分析】化圆C2为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求解m值．
【解答】解：圆C2可化简为（x﹣4）2+（y+4）2＝32﹣m（m＜32）．
由两圆相切，可得，
解得m＝16或﹣4．
故选：AC．
三．填空题（共15小题）
13．曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，则m的取值范围 ．
【分析】由题意二次曲线表示圆，对称圆与已知圆相离，列出不等式求出m的范围即可．
【解答】解：曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，
∴曲线x2+y2+y+m＝0表示圆，
由12﹣4m＞0，∴m，
∴x2+y2+y+m＝0的圆心（0，﹣），半径．
并且对称圆与已知圆相离，
∴，
解得m．
综上m的取值范围是：．
故答案为：．
14．若M，N分别为圆C1：（x+6）2+（y﹣5）2＝4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的动点，P为直线x+y+5＝0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 9 ，
【分析】连接C2C3，要求|PM|+|PN|的最小值，可以转化为求P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，从而可得答案．
【解答】解：由题意点C1（﹣6，5），半径为2，C2（2，1），半径为1，设点C1关于直线x+y+5＝0的对称点为C3（x0，y0），如图，
则，解得，即C3（﹣10，1），
连接C2C3，
因为点C1、C3关于直线x+y+5＝0对称，
所以||PC1|＝|PC3|，
则|PM|+|PN|＝（|PC1|﹣|MC1|）+（|PC2|﹣|NC2|）＝（|PC3|﹣2）+（|PC2|﹣1）＝|PC3|+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣3，
又|C2C3|﹣3＝﹣3＝12﹣3＝9，
故答案为：9．
15．设直线3x+4y﹣5＝0与圆C1：x2+y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是 1 ．
【分析】先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．
【解答】解：由圆C1：x2+y2＝4，可得圆心O（0，0），半径R＝2
如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得，消去y得到25x2﹣30x﹣39＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，所以线段AB的中点Q的横坐标为，把x＝代入直线方程中解得y＝，
所以Q（，），则两圆心之间的距离OQ＝d＝＝1，
因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r＝R﹣d＝2﹣1＝1
故答案为：1
16．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是 相交 ．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，
其圆心C1为（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，
其圆心C1为（2，2），半径r2＝，
则圆心距|C1C2|＝＝3，5﹣＜3＜5+，
即r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，
故圆C1与圆C2的位置关系是相交．
故答案为：相交．
17．圆x2+y2﹣2x＝0和圆x2+y2+4y＝0的位置关系是 相交 ．
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，
故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，
∵圆心之间的距离d＝，则R+r＝3，R﹣r＝1，
∴R﹣r＜d＜R+r，
∴两圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
18．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2+y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0）与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 （2，4） ．
【分析】+＝⇒四边形ONO1M为平行四边形，由此求得圆O1的方程以及AO1的长，进而判断出A点在圆（x﹣a）2+y2＝9上，根据圆（x﹣a）2+y2＝9与圆x2+y2＝1的位置关系，求得a的取值范围．
【解答】解：+＝⇒四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆O1的方程为（x﹣a）2+y2＝1
且ON为△ABM的中位线，⇒AM＝2ON⇒AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：（x﹣a）2+y2＝9，
故（x﹣a）2+y2＝9与x2+y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得xA＝⇒a＞2，
故a的取值范围为（2，4），
故答案为：（2，4）．
19．已知圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是 x+2y＝0 ，两圆公共弦AB的长度是 ．
【分析】根据题意，对于第一空：分析两个圆的圆心坐标，求出直线O1O2的斜率，进而分析可得其方程；
对于第二空：由两圆的方程分析可得AB所在直线的方程，分析圆O1的圆心、半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆O1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，其圆心为（2，﹣1）；
则＝＝﹣，即直线O1O2的方程为y＝﹣x，即x+2y＝0；
则两圆的圆心O1，O2所在直线方程x+2y＝0；
又由圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，则AB所在直线的方程为2x﹣y﹣4＝0，
圆O1的圆心为（0，0），半径r＝2，
圆心O1到直线AB的距离d＝＝，
则|AB|＝2×＝，
故答案为：x+2y＝0；．
20．过点A（1，﹣1），且与圆C：x2+y2＝100切于点B（8，6）的圆的方程为 （x﹣4）2+（y﹣3）2＝25 ．
【分析】设所求的圆的圆心为C（a，b），则由题意可得CA＝CB，KOB＝KOC，由此解方程组求得a、b的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程．
【解答】解：设所求的圆的圆心为C（a，b），则由题意可得CA＝CB，KOB＝KOC，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＝（a﹣8）2+（b﹣6）2，且．
解得 ，半径r＝＝5，
故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
21．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1与圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）外切，则r＝ 4 ．
【分析】首先利用两点间的距离公式的应用求出圆心距，进一步利用两圆的外切问题的应用求出圆的半径；
【解答】解：因为圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1的圆心O1（﹣1，2），
圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）的圆心O2（3，﹣1），
所以，
由1+r＝5，
解得r＝4．
故答案为：4．
22．已知圆x2+y2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为 ．
【分析】求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论．
【解答】解：由题意，两圆的公共弦为2x﹣y﹣3＝0，
圆x2+y2＝9的圆心坐标为（0，0），半径为3，
圆心到直线的距离d＝，∴线段AB的长为2＝．
故答案为．
23．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为 ．
【分析】以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OE＝OA，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．
【解答】解：如图以ON为直径画圆，延长BO交新圆于F，
AO交新圆于E点，连接FE，NE，NF，
则NF与OB垂直，又NB＝NO，
故F为BO的中点，
由对称性可得OE＝OA，
由S△ABO＝OA•OBsin∠AOB，S△EBO＝OE•OBsin（π﹣∠AOB）
＝OE•OBsin∠AOB，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，
当S△EFO最大时，S△ABO最大，
故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，
由圆内接三角形A'B'C'的面积S＝a'b'sinC'，a'＝2sinA'，b'＝2sinB'，
S＝2sinA'sinB'sinC'≤2（）3，
由f（x）＝sinx，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin＝sin＝，
当且仅当A'＝B'＝C'＝时，取得等号，
可得2（）3≤2×＝．
即三角形OEF的面积的最大值为．
进而得到S△ABO最大值为2×＝，
故答案为：．
24．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
【分析】求出C2关于y轴的对称点C3，根据|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣2≥|C1C3|﹣3，求得最小值．
【解答】解：如图所示，
设C2（6，5）关于y轴的对称点为C3，则C3（﹣6，5），
∴|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣2≥|C1C3|﹣3＝﹣3＝3﹣3．
则|PM|+|PN|的最小值为3﹣3．
故答案为：3﹣3．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为 （0，） ．
【分析】由题意画出图形，设出直线l的方程y＝kx+b，利用垂径定理求得|AB|、|CD|，由列式求得b，则答案可求．
【解答】解：如图，
圆O1 的圆心坐标为O1（0，0），半径为3，圆O2的圆心坐标为O2（0，6），半径为4，
由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+b，即kx﹣y+b＝0．
则|AB|＝2，|CD|＝2，
由，得，即7b2+108b﹣324＝0．
解得b＝或b＝﹣18．
∵M在圆O2内，∴定点（0，b）为（0，）．
故答案为：．
26．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆x2+（y﹣2）2＝4的公共弦所在直线方程 x﹣y＝0 ．
【分析】根据题意，将两圆的方程变形为一般方程，联立变形可得答案．
【解答】解：根据题意，圆（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0，
圆x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，
联立两个圆的方程，变形可得x﹣y＝0，
即两圆公共弦的方程为x﹣y＝0，
故答案为：x﹣y＝0，
27．经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为 x＝﹣1 ．
【分析】将两个圆的标准方程化为一般方程，然后作差，得到公共弦方程．
【解答】解：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10的一般方程为：x2+y2﹣4x﹣6y+3＝0①，
（x+4）2+（y﹣3）2＝10的一般方程为：x2+y2+8x﹣6y+15＝0②，
①﹣②可得，﹣12x﹣12＝0，即x＝﹣1，
所以两圆公共弦方程为x＝﹣1，
即经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
四．解答题（共8小题）
28．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
【分析】（1）由题意可知三角形CEO1为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO1等于R1；同理得到AO2等于R2，根据线段AC等于AO2+O2O1+O1C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R2，代入两圆的面积之和的式子中消去R2，得到关于R1的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
【解答】解：（1）由图知∠CEO1＝90°，CE＝O1E＝R1
∴2R12＝CO12，CO1＝．
同理AO2＝．
∴AC＝AO2+O2O1+O1C
＝（R1+R2）+（R1+R2）
＝（R1+R2），
又∵AB＝1，∴AC＝
∴（R1+R2）＝，
∴R1+R2＝；
（2）两圆面积之和S＝πR12+πR22
＝
＝
＝．
∴当R1＝，即R1＝R2时S为最小．
因R1的最大值为R1＝，这时R2为最小值，其值为R2＝；
又当R2＝时，R1有最小值R1＝，
故当R1＝（此时R2＝）或R1＝（此时R2＝）时，S有最大值．
29．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：x2+（y﹣4）2＝1．
（1）判断圆O和圆C的位置关系；
（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（结果必须写成一般式）．
【分析】（1）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系；
（2）设切线l的方程为：y＝kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．
【解答】解：（1）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1＝2，圆C的圆心C（0，4），半径r2＝1，
所以圆O和圆C的圆心距|OC|＝|4﹣0|＞r1+r2＝3，
所以圆O与圆C相离．…（3分）
（2）设切线l的方程为：y＝kx+4，即kx﹣y+4＝0，
所以O到l的距离d＝＝2，解得k＝．
所以切线l的方程为x﹣y+4＝0．
30．已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
【分析】（1）利用圆系方程求得两圆公共弦的方程，再由垂径定理列式求解；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程，化为圆的标准方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解．
【解答】解：（1）由两圆，，
得两圆的公共弦所在直线方程为2x+4y+r2﹣9＝0．
∵圆C1与圆C2公共弦长为4，
∴，
解得：r＝3，此时满足圆C1与圆C2相交；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣1+λ（x2+y2﹣4）＝0（λ≠﹣1），
即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣2x﹣4y+4（1﹣λ）＝0，
∴．
由，得λ＝1．
故所求圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y＝0．
31．已知圆O：x2+y2＝1，圆过O1作圆O的切线，切点为T（T在第二象限）．
（1）求∠OO1T的正弦值；
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求得圆O，O1的圆心和半径，再由直角三角形的锐角三角函数的正弦函数，计算可得所求值；
（2）运用勾股定理，可得切线长，两边平方化简可得所求；
（3）假设存在定点M（m，n）满足题意，运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，化简整理，结合直线恒过定点的求法，解方程组，可得所求定点M．
【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为r1＝1，
圆的圆心为O1（2，3），半径为r2＝1，
在直角三角形OO1T中，OT⊥O1T，
可得sin∠OO1T＝＝＝；
（2）由题意，结合勾股定理可得＝，
两边平方化简可得4a+6b﹣13＝0；
（3）假设存在定点M（m，n），
使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等．
可设l1：y﹣n＝k（x﹣m），即kx﹣y+n﹣km＝0，
l2：y﹣n＝﹣（x﹣m），即为x+y﹣n﹣＝0，
则2＝2，
两边平方化简可得|n﹣km|＝|2+3k﹣nk﹣m|，
可得n﹣km＝2+3k﹣nk﹣m或n﹣km+2+3k﹣nk﹣m＝0，
由k（3﹣n+m）+2﹣m﹣n＝0，
可得，解得；
由k（3﹣n﹣m）+n+2﹣m＝0，
可得，解得．
故存在这样的M（﹣，），或（，）满足题意．
32．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝1与（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36；
（2）2x2+2y2﹣3x+2y＝0与3x2+3y2﹣x﹣y＝0．
【分析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，比较圆心距与半径的关系得答案；
（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系得答案．
【解答】解：（1）圆（x﹣3）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为C1（3，﹣2），半径为r1＝1；
圆（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36的圆心坐标为C2（7，1），半径为r2＝6．
∵|C1C2|＝＝6﹣1＝r2﹣r1，∴两圆内切；
（2）化圆2x2+2y2﹣3x+2y＝0为，可得圆心坐标为C3（，﹣），半径；
化圆3x2+3y2﹣x﹣y＝0为，可得圆心坐标为C4（，），半径r4＝．
∵|C3C4|＝＝，＝．
∵＜＜，
∴两圆相交．
33．已知：圆C1，C2相交，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，求证：圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
【分析】利用切割线定理，即可得出结论．
【解答】证明：如图所示，圆C1，C2相交于DE，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，
则AC2＝CD×CE，BC2＝CD×CE，
∴AC＝BC，
∴圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
34．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0和圆C2：x2+y2+2x＝0．
（1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
（2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）m＝1时求出圆C1、圆C2的圆心和半径，计算两圆的圆心距d，再判断两圆的位置关系；
（2）求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距d，令d＜r1﹣r2，求解不等式即可．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0，
当m＝1时，圆C1的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，
圆心为C1（1，﹣2），半径为r1＝3；
圆C2：x2+y2+2x＝0化为（x+1）2+y2＝1，
圆心为C2（﹣1，0），半径为r2＝1；
两圆的圆心距为d＝＝2，
又r1+r2＝3+1＝4，r1﹣r2＝3﹣1＝2，
所以r1﹣r2＜d＜r1+r2，
所以圆C1和圆C2相交．
（2）不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，理由如下；
圆C1的方程可化为（x﹣m）2+（y+2）2＝9，
圆C1的圆心为C1（m，﹣2），半径为r1＝3；
圆C2的圆心为C2（﹣1，0），半径为r2＝1；
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3﹣1，
即（m+1）2＜0，此不等式无解，
所以不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．
35．求证：圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
【分析】先把两圆的方程整理成标准方程进而求得两圆的圆心坐标和半径．进而根据圆心距离为两半径之和，根据两点间的距离公式建立等式求得a．
【解答】证明：整理圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，
∴圆C1的圆心为（1，1），半径为1，圆C2的圆心为（4，﹣3），半径为4，
两圆相外切只能圆心距离为两半径之和，圆心距为：＝5，半径和为5，
所以圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定
一．选择题（共11小题）
1．已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
2．已知圆C1：x2+y2﹣2，C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
3．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
4．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
5．圆C1：x2+y2＝9与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝36的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
6．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆（x+2）2+（y+3）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
8．已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
9．已知圆C1：x2+y2+4y+3＝0，圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
11．已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
二．多选题（共1小题）
12．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（ ）
A．16 B．7 C．﹣4 D．﹣7
三．填空题（共15小题）
13．曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，则m的取值范围 ．
14．若M，N分别为圆C1：（x+6）2+（y﹣5）2＝4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的动点，P为直线x+y+5＝0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ，
15．设直线3x+4y﹣5＝0与圆C1：x2+y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是 ．
16．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是 ．
17．圆x2+y2﹣2x＝0和圆x2+y2+4y＝0的位置关系是 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2+y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0）与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 ．
19．已知圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是 ，两圆公共弦AB的长度是 ．
20．过点A（1，﹣1），且与圆C：x2+y2＝100切于点B（8，6）的圆的方程为 ．
21．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1与圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）外切，则r＝ ．
22．已知圆x2+y2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为 ．
23．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为 ．
24．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为 ．
26．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆x2+（y﹣2）2＝4的公共弦所在直线方程 ．
27．经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为 ．
四．解答题（共8小题）
28．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
29．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：x2+（y﹣4）2＝1．
（1）判断圆O和圆C的位置关系；
（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（结果必须写成一般式）．
30．已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
31．已知圆O：x2+y2＝1，圆过O1作圆O的切线，切点为T（T在第二象限）．
（1）求∠OO1T的正弦值；
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
32．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝1与（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36；
（2）2x2+2y2﹣3x+2y＝0与3x2+3y2﹣x﹣y＝0．
33．已知：圆C1，C2相交，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，求证：圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
34．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0和圆C2：x2+y2+2x＝0．
（1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
（2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
35．求证：圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
人教版2021届一轮复习打地基练习 圆与圆的位置关系及其判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．已知圆C1：x2+（y﹣a2）2＝a4的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为2，则圆C1与圆C2：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离
【分析】求得圆C1的圆心和半径，由直线和圆的距离公式，可得a，求得圆C2的圆心和半径，计算|C1C2|，与两圆的半径之差比较可得结论．
【解答】解：圆的圆心为C1（0，a2），半径r1＝a2，a≠0，
由圆的圆心到直线x﹣y﹣2＝0的距离为，
可得＝2，解得a＝±，
可得圆C1的圆心为（0，2），半径为2，
而圆的圆心为（1，2），半径为r2＝1，
由|C1C2|＝1＝r1﹣r2＝2﹣1，
可得两圆的位置关系为内切．
故选：B．
2．已知圆C1：x2+y2﹣2，C2：x2+y2﹣6y＝0，则两圆的位置关系为（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系判断即可．
【解答】解：由于圆，即 （x﹣）2+（y﹣2）2＝1，表示以C1（，2）为圆心，半径等于1的圆．
圆，即x2+（y﹣3）2＝9，表示以C2（0，3）为圆心，半径等于3的圆．
由于两圆的圆心距等于＝2，等于半径之差，故两个圆内切．
故选：D．
3．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．内含
【分析】先求出两个圆的圆心和半径，然后求出两圆心之间的距离，与两圆的半径比较即可．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1，则圆心C1（0，0），r1＝1，
圆C2：x2+y2+4x+3y﹣1＝0化为标准方程为，
则圆心C2（﹣2，﹣），，
因为，
则，
所以两圆相交．
故选：A．
4．圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0（k∈R，k≠0）的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定
【分析】由两圆的方程分别求出圆心和半径，然后由两点间距离公式求出|C1C2|，与两圆半径比较即可判断．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心C1（0，0），半径r＝1，
圆C2：x2+y2+k（4x+3y）﹣1＝0的圆心C2，半径R＝，
因为，
则
所以两圆相交．
故选：A．
5．圆C1：x2+y2＝9与圆C2：（x﹣1）2+（y+2）2＝36的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
【分析】由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得小于两个半径之差，可得两圆内含．
【解答】解：由题知C1（0，0），r1＝3，C2（1，﹣2），r2＝6，
属于圆心距，
因为r2﹣r1＝3，所以|C1C2|＜r2﹣r1，
所以圆C1和圆C2的位置关系是内含．
故选：D．
6．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆（x+2）2+（y+3）2＝9的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．
【解答】解：圆C（x﹣2）2+y2＝4的圆心C（2，0），半径r＝2；
圆M（x+2）2+（y+3）2＝9的圆心M（﹣2，﹣3），半径 R＝3．
∴|CM|＝＝5＝R+r．
∴两圆外切．
故选：C．
7．圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出|R﹣r|和R+r的值，判断d与|R﹣r|及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x﹣5＝0分别化为标准方程得：
x2+y2＝4，（x﹣2）2+y2＝9，
故圆心坐标分别为（0，0）和（2，0），半径分别为R＝2和r＝3，
∵圆心之间的距离d＝2，R+r＝5，|R﹣r|＝1，
∴|R﹣r|＜d＜R+r，
则两圆的位置关系是相交．
故选：B．
8．已知圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．1
【分析】直接利用两圆的位置关系的应用求出相交弦的方程，进一步求出m的值．
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4＝0，转换为标准式为：（x﹣1）2+（y+2）2＝1；
圆C2：x2+y2+x﹣y﹣m2＝0（m＞0），
两圆相减得：3x﹣5y﹣m2﹣4＝0，即相交弦方程，
由于：圆C1的圆心（1，﹣2）满足相交弦的方程，故3+10﹣m2﹣4＝0，
解得m＝3．
故选：A．
9．已知圆C1：x2+y2+4y+3＝0，圆C2：x2+y2﹣6x+2y+6＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x+1上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
【分析】利用配方法求出圆的圆心坐标和半径，利用圆和直线的对称性，结合两圆位置关系进行转化求解即可．
【解答】解：圆的标准方程为C1：x2+（y+2）2＝1，圆C2：（x﹣3）2+（y+1）2＝4，
则圆心坐标C1（0，﹣2），半径为1，圆心坐标C2（3，﹣1），半径为2，
圆C1（0，﹣2）关于y＝x+1对称的点的坐标为圆C3（﹣3，1），半径为1，
由对称性知问题转化为P到D，N的距离之和的最小值，
由图象知当C3，C2，P三点共线时，|MP|+|NP|的距离最小，
此时最小值为|C2C3|﹣1﹣2＝﹣3＝﹣3＝﹣3＝2﹣3，
故选：A．
10．圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0与圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【分析】先将两个圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，通过比较两圆心之间的距离与两半径之间的关系，即可得到答案．
【解答】解：圆x2+y2+4x﹣4y+7＝0化为标准方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝1，
则圆心为C1（﹣2，2），r1＝1，
圆x2+y2﹣4x﹣10y﹣7＝0化为标准方程为（x﹣2）2+（y﹣5）2＝36，
则圆心为C2（2，5），r2＝6，
因为，
所以两圆内切．
故选：B．
11．已知圆C1的标准方程是（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0关于直线x+y+1＝0对称，则圆C1与圆C2的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
【分析】根据题意，由圆的方程可得的圆C2圆心，分析可得点C2在直线x+y+1＝0上，即可得m的值，由此可得圆C2的方程，由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆C2：x2+y2﹣4x+my+3＝0，其圆心为（2，﹣），
若圆C2关于直线x+y+1＝0对称，即点C2在直线x+y+1＝0上，则有2+×（﹣）+1＝0，解可得m＝2，
即圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+）2＝4，其圆C2的圆心为（2，﹣），半径r＝2，
此时，圆心距|C1C2|＝＝，
则有5﹣2＜|C1C2|＜5+2，
故两圆相交，
故选：C．
二．多选题（共1小题）
12．若圆C1：（x﹣1）2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+8y+m＝0相切，则m的值可以是（ ）
A．16 B．7 C．﹣4 D．﹣7
【分析】化圆C2为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系列式求解m值．
【解答】解：圆C2可化简为（x﹣4）2+（y+4）2＝32﹣m（m＜32）．
由两圆相切，可得，
解得m＝16或﹣4．
故选：AC．
三．填空题（共15小题）
13．曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，则m的取值范围 ．
【分析】由题意二次曲线表示圆，对称圆与已知圆相离，列出不等式求出m的范围即可．
【解答】解：曲线x2+y2+y+m＝0和它关于直线x+2y﹣1＝0的对称曲线总有四条公切线，
∴曲线x2+y2+y+m＝0表示圆，
由12﹣4m＞0，∴m，
∴x2+y2+y+m＝0的圆心（0，﹣），半径．
并且对称圆与已知圆相离，
∴，
解得m．
综上m的取值范围是：．
故答案为：．
14．若M，N分别为圆C1：（x+6）2+（y﹣5）2＝4与圆C2：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1上的动点，P为直线x+y+5＝0上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 9 ，
【分析】连接C2C3，要求|PM|+|PN|的最小值，可以转化为求P点到两个圆心的距离再减去两个圆的半径的和的最小值，从而可得答案．
【解答】解：由题意点C1（﹣6，5），半径为2，C2（2，1），半径为1，设点C1关于直线x+y+5＝0的对称点为C3（x0，y0），如图，
则，解得，即C3（﹣10，1），
连接C2C3，
因为点C1、C3关于直线x+y+5＝0对称，
所以||PC1|＝|PC3|，
则|PM|+|PN|＝（|PC1|﹣|MC1|）+（|PC2|﹣|NC2|）＝（|PC3|﹣2）+（|PC2|﹣1）＝|PC3|+|PC2|﹣3≥|C2C3|﹣3，
又|C2C3|﹣3＝﹣3＝12﹣3＝9，
故答案为：9．
15．设直线3x+4y﹣5＝0与圆C1：x2+y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是 1 ．
【分析】先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．
【解答】解：由圆C1：x2+y2＝4，可得圆心O（0，0），半径R＝2
如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．
联立直线与圆的方程得，消去y得到25x2﹣30x﹣39＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，所以线段AB的中点Q的横坐标为，把x＝代入直线方程中解得y＝，
所以Q（，），则两圆心之间的距离OQ＝d＝＝1，
因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r＝R﹣d＝2﹣1＝1
故答案为：1
16．已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是 相交 ．
【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，求出圆心距，进而由圆与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8＝0，即（x+1）2+（y+4）2＝25，
其圆心C1为（﹣1，﹣4），半径r1＝5，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣2＝0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2＝10，
其圆心C1为（2，2），半径r2＝，
则圆心距|C1C2|＝＝3，5﹣＜3＜5+，
即r1﹣r2＜|C1C2|＜r1+r2，
故圆C1与圆C2的位置关系是相交．
故答案为：相交．
17．圆x2+y2﹣2x＝0和圆x2+y2+4y＝0的位置关系是 相交 ．
【分析】把两圆的方程化为标准方程，分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R﹣r和R+r的值，判断d与R﹣r及R+r的大小关系即可得到两圆的位置关系．
【解答】解：把圆x2+y2﹣2x＝0与圆x2+y2+4y＝0分别化为标准方程得：
（x﹣1）2+y2＝1，x2+（y+2）2＝4，
故圆心坐标分别为（1，0）和（0，﹣2），半径分别为R＝2和r＝1，
∵圆心之间的距离d＝，则R+r＝3，R﹣r＝1，
∴R﹣r＜d＜R+r，
∴两圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
18．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2+y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0）与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为 （2，4） ．
【分析】+＝⇒四边形ONO1M为平行四边形，由此求得圆O1的方程以及AO1的长，进而判断出A点在圆（x﹣a）2+y2＝9上，根据圆（x﹣a）2+y2＝9与圆x2+y2＝1的位置关系，求得a的取值范围．
【解答】解：+＝⇒四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，
所以圆O1的方程为（x﹣a）2+y2＝1
且ON为△ABM的中位线，⇒AM＝2ON⇒AO1＝3，
故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：（x﹣a）2+y2＝9，
故（x﹣a）2+y2＝9与x2+y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，
由，解得xA＝⇒a＞2，
故a的取值范围为（2，4），
故答案为：（2，4）．
19．已知圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1相交于A，B两点，则两圆的圆心O1，O2所在直线方程是 x+2y＝0 ，两圆公共弦AB的长度是 ．
【分析】根据题意，对于第一空：分析两个圆的圆心坐标，求出直线O1O2的斜率，进而分析可得其方程；
对于第二空：由两圆的方程分析可得AB所在直线的方程，分析圆O1的圆心、半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆O1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，其圆心为（2，﹣1）；
则＝＝﹣，即直线O1O2的方程为y＝﹣x，即x+2y＝0；
则两圆的圆心O1，O2所在直线方程x+2y＝0；
又由圆O1：x2+y2＝4与圆O2：（x﹣2）2+（y+1）2＝1，则AB所在直线的方程为2x﹣y﹣4＝0，
圆O1的圆心为（0，0），半径r＝2，
圆心O1到直线AB的距离d＝＝，
则|AB|＝2×＝，
故答案为：x+2y＝0；．
20．过点A（1，﹣1），且与圆C：x2+y2＝100切于点B（8，6）的圆的方程为 （x﹣4）2+（y﹣3）2＝25 ．
【分析】设所求的圆的圆心为C（a，b），则由题意可得CA＝CB，KOB＝KOC，由此解方程组求得a、b的值，可得圆的半径，从而求得圆的方程．
【解答】解：设所求的圆的圆心为C（a，b），则由题意可得CA＝CB，KOB＝KOC，
∴（a﹣1）2+（b+1）2＝（a﹣8）2+（b﹣6）2，且．
解得 ，半径r＝＝5，
故所求的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25．
21．已知圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1与圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）外切，则r＝ 4 ．
【分析】首先利用两点间的距离公式的应用求出圆心距，进一步利用两圆的外切问题的应用求出圆的半径；
【解答】解：因为圆O1：（x+1）2+（y﹣2）2＝1的圆心O1（﹣1，2），
圆O2：（x﹣3）2+（y+1）2＝r2（r＞0）的圆心O2（3，﹣1），
所以，
由1+r＝5，
解得r＝4．
故答案为：4．
22．已知圆x2+y2＝9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为 ．
【分析】求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论．
【解答】解：由题意，两圆的公共弦为2x﹣y﹣3＝0，
圆x2+y2＝9的圆心坐标为（0，0），半径为3，
圆心到直线的距离d＝，∴线段AB的长为2＝．
故答案为．
23．已知点O为坐标原点，圆M：（x﹣1）2+y2＝1，圆N：（x+2）2+y2＝4，A，B分别为圆M和圆N上的动点，△OAB面积的最大值为 ．
【分析】以ON为直径画圆，延长AO交新圆于E，BO交新圆于F点，连接FE，NF，NF，推得F为BO的中点，由对称性可得OE＝OA，由三角形的面积公式推得，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，当S△EFO最大时，S△ABO最大，故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，运用三角形的面积公式和凸函数的性质，计算可得所求最大值．
【解答】解：如图以ON为直径画圆，延长BO交新圆于F，
AO交新圆于E点，连接FE，NE，NF，
则NF与OB垂直，又NB＝NO，
故F为BO的中点，
由对称性可得OE＝OA，
由S△ABO＝OA•OBsin∠AOB，S△EBO＝OE•OBsin（π﹣∠AOB）
＝OE•OBsin∠AOB，可得S△ABO＝S△EAO＝2S△EFO，
当S△EFO最大时，S△ABO最大，
故转化为在半径为1的圆内接三角形OEF的面积的最大值，
由圆内接三角形A'B'C'的面积S＝a'b'sinC'，a'＝2sinA'，b'＝2sinB'，
S＝2sinA'sinB'sinC'≤2（）3，
由f（x）＝sinx，x∈[0，π]，为凸函数，可得≤sin＝sin＝，
当且仅当A'＝B'＝C'＝时，取得等号，
可得2（）3≤2×＝．
即三角形OEF的面积的最大值为．
进而得到S△ABO最大值为2×＝，
故答案为：．
24．已知圆，圆，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为y轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为 ．
【分析】求出C2关于y轴的对称点C3，根据|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣2≥|C1C3|﹣3，求得最小值．
【解答】解：如图所示，
设C2（6，5）关于y轴的对称点为C3，则C3（﹣6，5），
∴|PM|+|PN|≥|PC1|﹣1+|PC2|﹣2≥|C1C3|﹣3＝﹣3＝3﹣3．
则|PM|+|PN|的最小值为3﹣3．
故答案为：3﹣3．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆，在圆O2内存在一定点M，过M的直线l被圆O1，圆O2截得的弦分别为AB，CD，且，则定点M的坐标为 （0，） ．
【分析】由题意画出图形，设出直线l的方程y＝kx+b，利用垂径定理求得|AB|、|CD|，由列式求得b，则答案可求．
【解答】解：如图，
圆O1 的圆心坐标为O1（0，0），半径为3，圆O2的圆心坐标为O2（0，6），半径为4，
由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+b，即kx﹣y+b＝0．
则|AB|＝2，|CD|＝2，
由，得，即7b2+108b﹣324＝0．
解得b＝或b＝﹣18．
∵M在圆O2内，∴定点（0，b）为（0，）．
故答案为：．
26．圆（x﹣2）2+y2＝4与圆x2+（y﹣2）2＝4的公共弦所在直线方程 x﹣y＝0 ．
【分析】根据题意，将两圆的方程变形为一般方程，联立变形可得答案．
【解答】解：根据题意，圆（x﹣2）2+y2＝4，即x2+y2﹣4x＝0，
圆x2+（y﹣2）2＝4，即x2+y2﹣4y＝0，
联立两个圆的方程，变形可得x﹣y＝0，
即两圆公共弦的方程为x﹣y＝0，
故答案为：x﹣y＝0，
27．经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为 x＝﹣1 ．
【分析】将两个圆的标准方程化为一般方程，然后作差，得到公共弦方程．
【解答】解：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10的一般方程为：x2+y2﹣4x﹣6y+3＝0①，
（x+4）2+（y﹣3）2＝10的一般方程为：x2+y2+8x﹣6y+15＝0②，
①﹣②可得，﹣12x﹣12＝0，即x＝﹣1，
所以两圆公共弦方程为x＝﹣1，
即经过两圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝10和（x+4）2+（y﹣3）2＝10的交点的直线方程为x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
四．解答题（共8小题）
28．如图，已知正方形的边长为1，在正方形ABCD中有两个相切的内切圆．
（1）求这两个内切圆的半径之和；
（2）当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最小值？当这两个圆的半径为何值时，两圆面积之和有最大值？
【分析】（1）由题意可知三角形CEO1为等腰直角三角形，根据勾股定理得到CO1等于R1；同理得到AO2等于R2，根据线段AC等于AO2+O2O1+O1C，将各自的值代入即可表示出AC的长，又根据正方形的边长为1，利用勾股定理求出AC的长度，两者相等即可求出两半径之和的值；
（2）根据两圆的半径，利用圆的面积公式表示出两圆的面积之和，由（1）中求出的两半径之和表示出R2，代入两圆的面积之和的式子中消去R2，得到关于R1的关系式，根据完全平方大于等于0求出两圆面积之和的最小值时，两半径的值即可．
【解答】解：（1）由图知∠CEO1＝90°，CE＝O1E＝R1
∴2R12＝CO12，CO1＝．
同理AO2＝．
∴AC＝AO2+O2O1+O1C
＝（R1+R2）+（R1+R2）
＝（R1+R2），
又∵AB＝1，∴AC＝
∴（R1+R2）＝，
∴R1+R2＝；
（2）两圆面积之和S＝πR12+πR22
＝
＝
＝．
∴当R1＝，即R1＝R2时S为最小．
因R1的最大值为R1＝，这时R2为最小值，其值为R2＝；
又当R2＝时，R1有最小值R1＝，
故当R1＝（此时R2＝）或R1＝（此时R2＝）时，S有最大值．
29．已知圆O：x2+y2＝4和圆C：x2+（y﹣4）2＝1．
（1）判断圆O和圆C的位置关系；
（2）过圆C的圆心C作圆O的切线l，求切线l的方程；（结果必须写成一般式）．
【分析】（1）求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系；
（2）设切线l的方程为：y＝kx+4，由圆心O到直线l的距离等于半径，能求出切线l的方程．
【解答】解：（1）因为圆O的圆心O（0，0），半径r1＝2，圆C的圆心C（0，4），半径r2＝1，
所以圆O和圆C的圆心距|OC|＝|4﹣0|＞r1+r2＝3，
所以圆O与圆C相离．…（3分）
（2）设切线l的方程为：y＝kx+4，即kx﹣y+4＝0，
所以O到l的距离d＝＝2，解得k＝．
所以切线l的方程为x﹣y+4＝0．
30．已知两圆，，直线l：x+2y＝0，
（1）当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；
（2）当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程．
【分析】（1）利用圆系方程求得两圆公共弦的方程，再由垂径定理列式求解；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程，化为圆的标准方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解．
【解答】解：（1）由两圆，，
得两圆的公共弦所在直线方程为2x+4y+r2﹣9＝0．
∵圆C1与圆C2公共弦长为4，
∴，
解得：r＝3，此时满足圆C1与圆C2相交；
（2）设过圆C1与圆C2的圆系方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣1+λ（x2+y2﹣4）＝0（λ≠﹣1），
即（1+λ）x2+（1+λ）y2﹣2x﹣4y+4（1﹣λ）＝0，
∴．
由，得λ＝1．
故所求圆的方程为x2+y2﹣x﹣2y＝0．
31．已知圆O：x2+y2＝1，圆过O1作圆O的切线，切点为T（T在第二象限）．
（1）求∠OO1T的正弦值；
（2）已知点P（a，b），过P点分别作两圆切线，若切线长相等，求a，b关系；
（3）是否存在定点M（m，n），使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求得圆O，O1的圆心和半径，再由直角三角形的锐角三角函数的正弦函数，计算可得所求值；
（2）运用勾股定理，可得切线长，两边平方化简可得所求；
（3）假设存在定点M（m，n）满足题意，运用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，化简整理，结合直线恒过定点的求法，解方程组，可得所求定点M．
【解答】解：（1）圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为r1＝1，
圆的圆心为O1（2，3），半径为r2＝1，
在直角三角形OO1T中，OT⊥O1T，
可得sin∠OO1T＝＝＝；
（2）由题意，结合勾股定理可得＝，
两边平方化简可得4a+6b﹣13＝0；
（3）假设存在定点M（m，n），
使过点M有无数对相互垂直的直线l1，l2满足l1⊥l2，且它们分别被圆O、圆O1所截得的弦长相等．
可设l1：y﹣n＝k（x﹣m），即kx﹣y+n﹣km＝0，
l2：y﹣n＝﹣（x﹣m），即为x+y﹣n﹣＝0，
则2＝2，
两边平方化简可得|n﹣km|＝|2+3k﹣nk﹣m|，
可得n﹣km＝2+3k﹣nk﹣m或n﹣km+2+3k﹣nk﹣m＝0，
由k（3﹣n+m）+2﹣m﹣n＝0，
可得，解得；
由k（3﹣n﹣m）+n+2﹣m＝0，
可得，解得．
故存在这样的M（﹣，），或（，）满足题意．
32．分别根据下列条件，判断两个圆的位置关系：
（1）（x﹣3）2+（y+2）2＝1与（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36；
（2）2x2+2y2﹣3x+2y＝0与3x2+3y2﹣x﹣y＝0．
【分析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，比较圆心距与半径的关系得答案；
（2）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由圆心距与半径的关系得答案．
【解答】解：（1）圆（x﹣3）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为C1（3，﹣2），半径为r1＝1；
圆（x﹣7）2+（y﹣1）2＝36的圆心坐标为C2（7，1），半径为r2＝6．
∵|C1C2|＝＝6﹣1＝r2﹣r1，∴两圆内切；
（2）化圆2x2+2y2﹣3x+2y＝0为，可得圆心坐标为C3（，﹣），半径；
化圆3x2+3y2﹣x﹣y＝0为，可得圆心坐标为C4（，），半径r4＝．
∵|C3C4|＝＝，＝．
∵＜＜，
∴两圆相交．
33．已知：圆C1，C2相交，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，求证：圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
【分析】利用切割线定理，即可得出结论．
【解答】证明：如图所示，圆C1，C2相交于DE，且AB分别切圆C1，C2于A，B两点，
则AC2＝CD×CE，BC2＝CD×CE，
∴AC＝BC，
∴圆C1，C2的公共弦所在直线平分线段AB．
34．已知圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0和圆C2：x2+y2+2x＝0．
（1）当m＝1时，判断圆C1和圆C2的位置关系．
（2）是否存在实数m，使得圆C1和圆C2内含？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）m＝1时求出圆C1、圆C2的圆心和半径，计算两圆的圆心距d，再判断两圆的位置关系；
（2）求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距d，令d＜r1﹣r2，求解不等式即可．
【解答】解：（1）圆C1：x2+y2﹣2mx+4y+m2﹣5＝0，
当m＝1时，圆C1的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，
圆心为C1（1，﹣2），半径为r1＝3；
圆C2：x2+y2+2x＝0化为（x+1）2+y2＝1，
圆心为C2（﹣1，0），半径为r2＝1；
两圆的圆心距为d＝＝2，
又r1+r2＝3+1＝4，r1﹣r2＝3﹣1＝2，
所以r1﹣r2＜d＜r1+r2，
所以圆C1和圆C2相交．
（2）不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，理由如下；
圆C1的方程可化为（x﹣m）2+（y+2）2＝9，
圆C1的圆心为C1（m，﹣2），半径为r1＝3；
圆C2的圆心为C2（﹣1，0），半径为r2＝1；
假设存在实数m，使得圆C1和圆C2内含，
则圆心距d＝＜3﹣1，
即（m+1）2＜0，此不等式无解，
所以不存在实数m，使得圆C1和圆C2内含．
35．求证：圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
【分析】先把两圆的方程整理成标准方程进而求得两圆的圆心坐标和半径．进而根据圆心距离为两半径之和，根据两点间的距离公式建立等式求得a．
【解答】证明：整理圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0方程为（x﹣4）2+（y+3）2＝16，
∴圆C1的圆心为（1，1），半径为1，圆C2的圆心为（4，﹣3），半径为4，
两圆相外切只能圆心距离为两半径之和，圆心距为：＝5，半径和为5，
所以圆C1：x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+9＝0相外切．
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