2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（下）3月月考数学试卷人教A版（2019），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知a→=(1,2)，2a→−b→=(3,1)，则a→⋅b→=( )
A.2B.3C.4D.5

2. 已知向量 a→=(1, m)，b→=(m, 2)，若a→ // b→，则实数m等于( )
A.−2B.2C.−2或2D.0

3. 已知点A(1, 3)，B(4, −1)，则与向量AB→同方向的单位向量为（ ）
A.(35，−45)B.(45，−35)C.(−35，45)D.(−45，35)

4. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→=( )
A.34AB→−14AC→B.14AB→−34AC→
C.34AB→+14AC→D.14AB→+34AC→

5. 已知sinα=−23，α∈π,3π2，csβ=34，β∈3π2,2π，则csβ−α=( )
A.27+3512B.27−3512C.2−54D.2+54

6. 已知a→+b→+c→=0→，|a→|=2，|b→|=3，|c→|=19，则向量a→与b→的夹角为( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.以上都不对

7. 已知向量a→=(sin(α+π6)，1)，b→=(4, 4csα−3)，若a→⊥b→，则sin(α+4π3)等于( )
A.−34B.−14C.34D.14

8. 在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点，则AE→⋅BE→的最小值为( )
A.2116B.32C.2516D.3
二、多选题

下列说法错误的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小

下列命题错误的是( )
A.若a→ // b→，则a→与b→方向相同或相反
B.若a→ // b→，b→ // c→，则a→ // c→
C.若a→=b→，b→=c→，则a→=c→
D.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等

已知e1→，e2→是单位向量，|e1→+λe2→|的最小值为32，λ∈R，则下列结论正确的是( )
A.e1→，e2→的夹角为π3或2π3B.e1→，e2→的夹角为2π3
C.|e→1+e2→|=1或3D.|e→1+e2→|=1或32

已知两个不相等的非零向量a→，b→，两组向量x1→，x2→，x3→，x4→，x5→和y1→，y2→，y3→，y4→，y5→均由2个a→和3个b→排列而成，记S=x1→⋅y1→+x2→⋅y2→+x3→⋅y3→+x4→⋅y4→+x5→⋅y5→，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列说法正确的是( )
A.S有5个不同的值
B.若a→⊥b→，则Smin与|a→|无关
C.若a→ // b→，则Smin与|b→|无关
D.若|b→|>4|a→|，则Smin>0
三、填空题

已知单位向量a→，b→的夹角为π3，则|a→−b→|=________.

设向量a→=1,−1,b→=m+1,2m−4，若a→⊥b→，则实数m=________.

如图所示，在△ABC中，NC→=3AN→，P是BN上的一点，若AP→=mAB→+211AC→，则实数m的值为________．


对任意两个非零的平面向量α→和β→，定义α→*β→=α→⋅β→β→⋅β→，若平面向量a→，b→满足|a→|≥|b→|>0，a→与b→的夹角θ∈(0,π4)，且a→*b→和b→*a→都在集合x|x=n2, n∈Z中，则a→*b→=________.
四、解答题

已知|a→|=1，|b→|=2．
(1)若a→ // b→且同向，求a→⋅b→；

(2)若向量a→，b→的夹角为135∘，求|a→+b→|．

如图，在平行四边形ABCD中，AB→=a→，AD→=b→，H，M分别是AD，DC的中点，点F在BC上，且BF=13BC.

(1)以a→，b→为基底表示向量AM→与HF→；

(2)若|a→|=3，|b→|=4，a→与b→的夹角为120∘，求AM→⋅HF→.

已知a→=(csα,sinα)，b→=(csβ,sinβ)，且|ka→+b→|=3|a→−kb→|(k>0).
(1)用k表示数量积a→⋅b→；

(2)求a→⋅b→的最小值，并求出此时a→与b→的夹角．


(1)已知向量a→=(12,12sinx+32csx)和向量b→=(1,f(x))，且a→ // b→．求函数f(x)的最小正周期和最大值；

(2)已知点P−3,0，M1,2，A0,b，Qa,0a>0满足PA→⋅AQ→=0，A，M，Q三点共线，求实数b的值．

已知向量e1→，e2→，且|e1→|=|e2→|=1，e1→与e2→的夹角为π3. m→=λe1→+e2→，n→=3e1→−2e2→.
(1)求证：2e1→−e2→⊥e2→；

(2)若|m→|=|n→|，求λ的值；

(3)若m→与n→的夹角为π3，求λ的值．

已知a→=3,−1，b→=12,32，若存在不同时为零的实数k和t，使x→=a→+t2−3b→，y→=−ka→+tb→且x→⊥y→．
(1)求出k=ft的函数表示式及其定义域；

(2)求u=k+t2t的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市某校高一（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的减法及其几何意义
【解析】
设b→=(x, y)，由向量相等可建立关于x，y的方程组，解之可得向量b→，由数量积的定义可得答案．
【解答】
解：设b→=(x, y)，
则2a→−b→=(2−x, 4−y)=(3, 1)，
故可得2−x=3，4−y=1，
解得x=−1，y=3，
即b→=(−1, 3)，
故a→⋅b→=1×(−1)+2×3=5.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
平行向量的性质
【解析】
直接利用向量共线的坐标表示列式进行计算．
【解答】
解：∵ a→=(1, m)，b→=(m, 2)，且a→ // b→，
所以1⋅2=m⋅m，解得m=−2或m=2．
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
平行向量的性质
单位向量
【解析】
由条件求得 AB→=(3, −4)，|AB→|=5，再根据与向量AB→同方向的单位向量为 AB→|AB→| 求得结果．
【解答】
解：∵ 已知点A(1, 3)，B(4, −1)，
∴ AB→=(4, −1)−(1, 3)=(3, −4)，
|AB→|=9+16=5，
则与向量AB→同方向的单位向量为 AB→|AB→|=(35，−45)，
故选A．
4.
【答案】
A
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意得，
EB→=AB→−AE→=AB→−12AD→
=AB→−12×12AB→+AC→
=34AB→−14AC→.
故选A．
5.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的余弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
直接利用同角三角函数关系式的变换和差角公式的应用求出结果．
【解答】
解：∵sinα=−23，α∈π,3π2，
csβ=34，β∈3π2,2π，
∴csα=−1−sin2α=−53，
sinβ=−1−cs2β=−74，
∴csβ−α=csβcsα+sinβsinα
=27−3512．
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
向量的模
【解析】
由题意可得 c→2=(a→+b→)2，求得 a→⋅b→=3，利用两个向量的数量积的定义求出cs=12，从而求得 的值．
【解答】
解：∵ a→+b→+c→=0→，|a→|=2，|b→|=3，|c→|=19，
∴ c→2=(a→+b→)2，
∴ 19=4+2a→⋅b→+9，
∴ a→⋅b→=3，即 2×3×cs⟨a→，b→⟩=3，
∴ cs⟨a→，b→⟩=12，
∴ ⟨a→，b→⟩=60∘.
故选C．
7.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：a→⋅b→=4sin(α+π6)+4csα−3
=23sinα+6csα−3
=43sin(α+π3)−3=0，
∴ sin(α+π3)=14．
∴ sin(α+4π3)=−sin(α+π3)=−14．
故选B．
8.
【答案】
A
【考点】
平面向量数量积的运算
二次函数在闭区间上的最值
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，
过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，
∵ AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120∘，AB=AD=1，
∴ AN=ABcs60∘=12，BN=ABsin60∘=32，
∴ DN=1+12=32，
∴ BM=32，
∴ CM=MBtan30∘=32，
∴ DC=DM+MC=3，
∴ A(1, 0)，B(32, 32)，C(0, 3)，
设E(0, m)，
∴ AE→=(−1, m)，BE→=(−32, m−32)，0≤m≤3，
∴ AE→⋅BE→=32+m2−32m
=(m−34)2+32−316
=(m−34)2+2116，
当m=34时，取得最小值为2116．
故选A．
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
向量的物理背景与概念
【解析】
认真审题，首先需要了解向量的物理背景与概念(了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度；既有大小又有方向的量叫做向量)．
【解答】
解：向量不能比较大小，故ABC选项错误；
向量的模能比较大小， 故D选项正确.
故选ABC.
【答案】
A,B,D
【考点】
零向量
平行向量的性质
相等向量与相反向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由于零向量的方向是任意的，取a→=0→，则对于任意向量b→，都有a→ // b→，故A错误；
取b→=0→，则对于任意向量a→，c→都有a→ // b→，b→ // c→，但得不到a→ // c→，故B错误；
若a→=b→，b→=c→，则a→=c→，故C正确；
若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等或相反，故D错误．
故选ABD.
【答案】
A,C
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
向量的模
【解析】
根据条件知，e1→+λe2→2的最小值为34，这样即可求出e1→，e2→的夹角为π3或2π3，从而求出|e1→+e2→|的值．
【解答】
解：设e1→与e2→的夹角为θ，
∵e1→，e2→是单位向量，且|e1→+λe2→|的最小值为32
∴e1→+λe2→2的最小值为34，
∴e1→+λe2→2=λ2+2csθλ+1
=λ+csθ2+1−cs2θ，
当λ=−csθ时，e1→+λe2→2的最小值为1−cs2θ=34，
即csθ=±12，
∴e1→与e2→的夹角为π3或2π3，故A正确；B错误；
∴|e1→+e2→|2=e1→2+2e1→⋅e2→+e2→2=1或3，
∴|e1→+e2→|=1或3，故C正确；D错误．
故选AC．
【答案】
B,D
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
平面向量数量积
【解析】
写出S的所有可能组合，计算它们的值，结合选项进行判断．
【解答】
解：S共有三种组合方式，分别记作S1，S2，S3，
则S1=a→⋅a→+a→⋅a→+b→⋅b→+b→⋅b→+b→⋅b→=2a→2+3b→2，
S2=a→⋅b→+a→⋅b→+b→⋅b→+b→⋅a→+b→⋅a→=4a→⋅b→+b→2．
S3=a→⋅a→+a→⋅b→+b→⋅a→+b→⋅b→+b→⋅b→=a→2+2a→⋅b→+2b→2，故A错误；
当a→⊥b→时，Smin=S2=b→2，故B正确；
当a→//b→时，a→⋅b→=|a→||b→|或−|a→||b→|，故C错误；
当|b→|>4|a→|时，−4a→216a→2，
∴ S2>0，S3>0.
又S1>0，
∴ Smin>0，故D正确．
故选BD．
三、填空题
【答案】
1
【考点】
向量模长的计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得：a→=b→=1，cs⟨a→,b→⟩=π3，
则|a→−b→|=a→−b→2=a→2+b→2−2a→⋅b→
=1+1−2×1×1×csπ3
=1.
故答案为：1.
【答案】
5
【考点】
平面向量数量积
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据垂直的两个向量的数量积为零，结合向量数量积的坐标公式，列出关于m的方程，解之可得m的值．
【解答】
解：由a→⊥b→，
可得a→⋅b→=1×(m+1)+(−1)×(2m−4)=0，
解得m=5.
故答案为：5.
【答案】
311
【考点】
平面向量的基本定理
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ P是BN上的一点，
设BP→=λBN→，由 AN→=13NC→，
则AP→=AB→+BP→
=AB→+λBN→
=AB→+λ(AN→−AB→)
=(1−λ)AB→+λAN→
=(1−λ)AB→+λ4AC→
=mAB→+211AC→.
∴ m=1−λ，λ4=211，
解得λ=811，m=311.
故答案为：311.
【答案】
32
【考点】
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得
a→*b→=a→⋅b→b→⋅b→ =|a→|⋅|b→|⋅csθ|b→|2=|a→|⋅csθ|b→|=n2．
同理可得
b→*a→=b→⋅a→a→⋅a→=|a→|⋅|b→|⋅csθ|a→|2=|b→|⋅csθ|a→|=m2．
由于|a→|≥|b→|>0，
∴ n≥m 且m，n∈Z．
∴ cs2θ=mn4．
再由a→与b→的夹角θ∈(0, π4)，
可得cs2θ∈(12, 1)，即mn4∈(12, 1)．
∴ mn=3，且|a→|≥|b→|>0，
故有n=3，m=1，
∴ a→*b→=n2=32.
故答案为：32.
四、解答题
【答案】
解：(1)当a→与b→同向时，a→⋅b→=|a→|×|b→|cs0∘=2．
(2)因为|a→+b→|2
=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs135∘+|b→|2
=1+2×1×2×(−22)+2=1.
所以|a→+b→|=1.
【考点】
平面向量数量积
向量的模
【解析】
（1）由已知中|a→|=1，|b→|=2．若a→ // b→，我们可以分a→与b→同向，a→与b→反向，两种情况进行讨论，即可得到答案．
（2）由已知中|a→|=1，|b→|=2．向量a→与b→的夹角为60∘，我们利用平方法，求出|a→+b→|2，进而得到答案．
【解答】
解：(1)当a→与b→同向时，a→⋅b→=|a→|×|b→|cs0∘=2．
(2)因为|a→+b→|2
=(a→+b→)2
=a→2+2a→⋅b→+b→2
=|a→|2+2|a→||b→|cs135∘+|b→|2
=1+2×1×2×(−22)+2=1.
所以|a→+b→|=1.
【答案】
解：(1)∵ 平行四边形ABCD中，
AB→=a→，AD→=b→，
H，M是AD，DC的中点，BF=13BC，
∴ AM→=AD→+DM→=AD→+12DC→
=AD→+12AB→=b→+12a→，
HF→=AF→−AH→=AB→+BF→−12AD→
=a→+13b→−12b→=a→−16b→.
(2)∵ |a→|=3，|b→|=4，
a→与b→的夹角为120∘，
∴ a→⋅b→=3×4×cs120∘=−6，
∴ AM→⋅HF→=(b→+12a→)⋅(a→−16b→)
=12a→2−16b→2+1112a→⋅b→
=12×9−16×16+1112×(−6)=−113．
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）根据条件，运用向量的加法和减法遵循的三角形法则，以及向量的中点表示，即可得到；
（2）先求出向量的数量积a→⋅b→，再由（1）得到的结论，化简即可得到所求向量的数量积．
【解答】
解：(1)∵ 平行四边形ABCD中，
AB→=a→，AD→=b→，
H，M是AD，DC的中点，BF=13BC，
∴ AM→=AD→+DM→=AD→+12DC→
=AD→+12AB→=b→+12a→，
HF→=AF→−AH→=AB→+BF→−12AD→
=a→+13b→−12b→=a→−16b→.
(2)∵ |a→|=3，|b→|=4，
a→与b→的夹角为120∘，
∴ a→⋅b→=3×4×cs120∘=−6，
∴ AM→⋅HF→=(b→+12a→)⋅(a→−16b→)
=12a→2−16b→2+1112a→⋅b→
=12×9−16×16+1112×(−6)=−113．
【答案】
解：(1)由已知|a→|=|b→|=1，
∵ |ka→+b→|=3|a→−kb→|，
∴ |ka→+b→|2=(3)2(a→−kb→)2，
∴ a→⋅b→=14(k+1k)．
(2)∵ k>0，
∴ a→⋅b→≥14⋅2⋅k⋅1k=12，
∴ csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=12．
∴ θ=60∘．
【考点】
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由已知|a→|=|b→|=1，
∵ |ka→+b→|=3|a→−kb→|，
∴ |ka→+b→|2=(3)2(a→−kb→)2，
∴ a→⋅b→=14(k+1k)．
(2)∵ k>0，
∴ a→⋅b→≥14⋅2⋅k⋅1k=12，
∴ csθ=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=12．
∴ θ=60∘．
【答案】
解：(1)∵ a→ // b→，
∴ 12f(x)=12sinx+32csx，
∴ f(x)=2sin(x+π3)，
则函数f(x)的最小正周期为2π，最大值为2．
(2)PA→=3,b，AQ→=a,−b，
由PA→⋅AQ→=0得3a=b2，①
MA→=−1,b−2，MQ→=a−1,−2，
因为A，M，Q三点共线，
所以MA→//MQ→，
即b−2a−1=2，②
由①②及a>0得b=−1或b=3.
【考点】
平行向量的性质
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）利用向量共线定理、和差公式可得f(x)=2sin(x+π3)，再利用三角函数的周期性与单调性即可得出．
【解答】
解：(1)∵ a→ // b→，
∴ 12f(x)=12sinx+32csx，
∴ f(x)=2sin(x+π3)，
则函数f(x)的最小正周期为2π，最大值为2．
(2)PA→=3,b，AQ→=a,−b，
由PA→⋅AQ→=0得3a=b2，①
MA→=−1,b−2，MQ→=a−1,−2，
因为A，M，Q三点共线，
所以MA→//MQ→，
即b−2a−1=2，②
由①②及a>0得b=−1或b=3.
【答案】
(1)证明：因为|e1→|=|e2→|=1，e1→与e2→的夹角为π3.
所以2e1→−e2→⋅e2→
=2e1→⋅e2→−e2→2
=2×1×1×csπ3−1
=1−1=0，
所以2e1→−e2→⊥e2→.
(2)解：由|m→|=|n→|得，
λe1→+e2→2=3e1→−2e2→2，
即λ2−9e1→2+2λ+12e1→⋅e2→−3e2→2=0.，
因为|e1→|=|e2→|=1，
所以e1→2=e2→2=1，e1→⋅e2→=1×1×csπ3=12.
所以λ2−9×1+2λ+12×12−3=0，
即λ2+λ−6=0，
所以λ=2或λ=−3.
(3)解：由(2)知，e1→2=e2→2=1，e1→⋅e2→=12.
所以|n→|=7，
|m→|2=(λe1→+e2→)2
=λ2e1→2+2λe1→⋅e2→+e2→2
=λ2+λ+1，
所以|m→|=λ2+λ+1，
m→⋅n→=(λe1→+e2→)⋅(3e1→−2e2→)
=3λe1→2+(3−2λ)e1→⋅e2→−2e2→2
=3λ+3−2λ×12−2
=2λ−12.
由m→⋅n→=|m→||n→|csπ3得
2λ−12=λ2+λ+1⋅7×12，
化简得，3λ2−5λ−2=0，
所以λ=2或λ=−13.
经检验知，λ=−13不成立，故λ=2.
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
数量积表示两个向量的夹角
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为|e1→|=|e2→|=1，e1→与e2→的夹角为π3.
所以2e1→−e2→⋅e2→
=2e1→⋅e2→−e2→2
=2×1×1×csπ3−1
=1−1=0，
所以2e1→−e2→⊥e2→.
(2)解：由|m→|=|n→|得，
λe1→+e2→2=3e1→−2e2→2，
即λ2−9e1→2+2λ+12e1→⋅e2→−3e2→2=0.，
因为|e1→|=|e2→|=1，
所以e1→2=e2→2=1，e1→⋅e2→=1×1×csπ3=12.
所以λ2−9×1+2λ+12×12−3=0，
即λ2+λ−6=0，
所以λ=2或λ=−3.
(3)解：由(2)知，e1→2=e2→2=1，e1→⋅e2→=12.
所以|n→|=7，
|m→|2=(λe1→+e2→)2
=λ2e1→2+2λe1→⋅e2→+e2→2
=λ2+λ+1，
所以|m→|=λ2+λ+1，
m→⋅n→=(λe1→+e2→)⋅(3e1→−2e2→)
=3λe1→2+(3−2λ)e1→⋅e2→−2e2→2
=3λ+3−2λ×12−2
=2λ−12.
由m→⋅n→=|m→||n→|csπ3得
2λ−12=λ2+λ+1⋅7×12，
化简得，3λ2−5λ−2=0，
所以λ=2或λ=−13.
经检验知，λ=−13不成立，故λ=2.
【答案】
解：(1)a→2=4，b→2=1，a→⋅b→=0；
又x→⋅y→=a→+t2−3b→⋅−ka→+tb→
=−ka→2−kt2−3a→⋅b→+ta→⋅b→+tt2−3b→2
=−4k+tt2−3=0，
∴k=14t3−34t，
即k=f(t)=14t3−34t．
∵k，t不同时为0，
∴ t≠0，
即k=14t3−34t(t≠0)．
(2)由(1)可得k+t2t=14t3−3t+t2t
=14t2+t−34=14t+22−74，
由此可得，当t=−2时，k+t2t的最小值等于−74．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
平面向量数量积坐标表示的应用
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
(1)根据向量a→，b→的坐标便可求得a→2=4，b→2=1，a→⋅b→=0，根据x→⊥y→便有x→⋅y→=−4k+t(t2−3)=0，这样解出k即可得出函数关系式k=ft ，根据k，t不同时为0求出定义域．
【解答】
解：(1)a→2=4，b→2=1，a→⋅b→=0；
又x→⋅y→=a→+t2−3b→⋅−ka→+tb→
=−ka→2−kt2−3a→⋅b→+ta→⋅b→+tt2−3b→2
=−4k+tt2−3=0，
∴k=14t3−34t，
即k=f(t)=14t3−34t．
∵k，t不同时为0，
∴ t≠0，
即k=14t3−34t(t≠0)．
(2)由(1)可得k+t2t=14t3−3t+t2t
=14t2+t−34=14t+22−74，
由此可得，当t=−2时，k+t2t的最小值等于−74．