高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第1课时学案及答案

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在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象．
(1) (2)
将测得的图象放大如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？
知识点 A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响
(2)ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
由y＝sin ωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象是如何平移的呢？
[提示] ∵y＝sin(ωx＋φ)＝sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(φ,ω)))，∴由y＝sin ωx的图象向左(右)平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω)))个单位．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)y＝sin 3x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位所得图象的解析式是y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4))).( )
(2)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝sin 2x.( )
(3)y＝sin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解析式是y＝eq \f(1,2)sin x．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2.把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为( )
A．y＝sin x－eq \f(π,3) B．y＝sin x＋eq \f(π,3)
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
D [根据图象变换的方法，y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度后得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象．]
类型1 匀速圆周运动的数学模型
【例1】 如图，点P是半径为20 cm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向，以角速度ω rad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系．
[解] 由题意，∠POx＝∠P0Ox＋ωt＝eq \f(π,3)＋ωt，
根据三角函数的定义，得P点纵坐标
y＝|OP|sin∠POx＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋ωt))，
即所求y关于时间t的函数关系为y＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,3)))，
∵函数的周期T为eq \f(2π,2)＝π，
∴由T＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝2，
∴点P的纵坐标y关于时间t(s)的函数关系式为y＝20sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．
匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确，半径决定了振幅A，频率或周期能确定ω，初始位置不同对φ有影响．还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针指向位置P(x，y)，若初始位置为P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，秒针从P0(注：此时t＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,30)t＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,60)t－\f(π,6)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t＋\f(π,6)))D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,30)t－\f(π,6)))
C [∵秒针是顺时针旋转，∴角速度ω<0.又由每60秒转一周，∴ω＝－eq \f(2π,60)＝－eq \f(π,30)(弧度/秒)，由P0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，得cs φ＝eq \f(\r(3),2)，sin φ＝eq \f(1,2).解得φ＝eq \f(π,6).故选C.]
类型2 平移变换
【例2】 (1)将函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋2
B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－2
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))－2
D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2
(2)要得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象( )
A．向左平移eq \f(π,12)个单位
B．向右平移eq \f(π,12)个单位
C．向左平移eq \f(π,3)个单位
D．向右平移eq \f(π,3)个单位
(1)D (2)B [(1)向左平移eq \f(π,4)个单位长度得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，再向上平移2个单位长度得y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋2，故选D.
(2)由y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x－\f(π,3)))＝sin4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))得，只需将y＝sin 4x的图象向右平移eq \f(π,12)个单位即可，故选B.]
在解决三角函数图象的平移变换时，注意以下几点：
(1)平移之前应先将函数解析式化为同名的函数．
(2)弄清楚平移的方向，即平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象要清楚．
(3)左右平移的单位数是针对单一自变量x而言的，不是ωx＋φ中的φ，而是eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(φ,ω))) .
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．为了得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))的图象，只需将函数y＝cs x的图象向右平移__________个单位长度．
eq \f(π,6) [y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，只需把y＝cs x的图象向右平移eq \f(π,6)个单位长度即得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).]
类型3 伸缩变换
【例3】 已知函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)，该函数的图象可由y＝sin x，x∈R的图象经过怎样的变换得到？(至少用两种不同的方法)
先由y＝sin x平移得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，再伸缩得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))与先伸缩得到y＝sin 2x，再平移得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，两次平移的量是否相同？
[解] 法一(先平移后伸缩)：
①把函数y＝sin x的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象；
②把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，纵坐标不变，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．
法二(先伸缩后平移)：
①把函数y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x的图象；
②把函数y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,12)个单位长度，可以得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
③把函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象上各点的纵坐标缩短到原来的eq \f(1,2)，而横坐标不变，可以得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象；
④再把得到的函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向上平移eq \f(5,4)个单位长度，就能得到函数y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(5,4)的图象．
三角函数图象伸缩变换的方法
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．把函数y＝f(x)的图象上各点向右平移eq \f(π,6)个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的eq \f(2,3)倍，所得图象的解析式是y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝3cs xB．f(x)＝3sin x
C．f(x)＝3cs x＋3D．f(x)＝sin 3x
A [y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))eq \(―――――――→,\s\up9(纵坐标伸长),\s\d15(到原来的\f(3,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))
eq \(―――――――→,\s\up9(横坐标缩短),\s\d15(到原来的\f(1,2)倍))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
eq \(――――――――→,\s\up15(向左平移eq \f(π,6)个),\s\d10(单位))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)＋\f(π,3)))
＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
＝3cs x．]
1．要得到y＝tan x的图象，只需把y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象( )
A．向左平移eq \f(π,6)个单位 B．向左平移eq \f(π,12)个单位
C．向右平移eq \f(π,12)个单位D．向右平移eq \f(π,6)个单位
[答案] D
2．若函数 y＝sin 2x的图象向左平移eq \f(π,4)个单位得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cs 2xB．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cs 2xD．f(x)＝－sin 2x
A [依题意得f(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x.故选A.]
3．如图为一半径是4米的水轮，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每分钟旋转5圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋1，则( )
A．ω＝eq \f(π,6)，A＝4B．ω＝eq \f(2π,15)，A＝3
C．ω＝eq \f(π,6)，A＝5D．ω＝eq \f(2π,15)，A＝4
A [由题意可得T＝eq \f(60,5)＝eq \f(2π,ω)，可得ω＝eq \f(π,6)，由图象可知y的最大值为5，sin(ωx＋φ)＝1时取得最大值，∴5＝A＋1，解得A＝4.]
4．函数y＝cs x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cs ωx，则ω的值为________．
eq \f(1,2) [函数y＝cs xeq \(――――――――――――――→,\s\up9(纵坐标不变，横坐标变为),\s\d8(原来的2倍))y＝cseq \f(1,2)x.所以ω＝eq \f(1,2).]
5．由y＝3sin x的图象变换到y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．
eq \f(π,3) eq \f(2π,3) [y＝3sin xeq \(――――――→,\s\up15(向左平移eq \f(π,3)),\s\d10(个单位))
y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
eq \(―――――――――→,\s\up9(横坐标变为原来的),\s\d7(2倍，纵坐标不变))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))，
y＝3sin xeq \(―――――――――→,\s\up9(横坐标变为原来的),\s\d7(2倍，纵坐标不变))y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x))eq \(――――――――→,\s\up15(向左平移eq \f(2π,3)个),\s\d10())
y＝3sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))))＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,3))).]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能描述一下由y＝sin x的图象，通过图象变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的变换途径吗？
[提示] (1)y＝sin xeq \(――――→,\s\up9(相位变换))y＝sin(x＋φ)eq \(――――→,\s\up9(周期变换))y＝sin(ωx＋φ)eq \(――→,\s\up9(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xeq \(――――→,\s\up9(周期变换))y＝sin ωxeq \(――――→,\s\up9(相位变换))y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin(ωx＋φ)eq \(――――→,\s\up9(振幅变换))y＝Asin(ωx＋φ)．
2．上述两种途径的变换顺序不同，其中变换的量又分别是多少？
[提示] 若先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；若先周期变换后相位变换，平移eq \f(|φ|,ω)个单位．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．理解匀速圆周运动的数学模型．(重点)
2．理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响．(重点)
3．掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．(难点、易错点)
1．通过匀速圆周运动的数学模型的学习，培养数学建模的素养．
2．借助函数图象的变换，培养数学抽象的素养.