沪科版八年级下册第17章 一元二次方程17.4 一元二次方程的根与系数的关系精练

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17.4一元二次方程的根与系数的关系同步练习

沪科版版初中数学八年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为   

A.  B.  C.  D.

2. 若等腰三角形的底边长为，另两边长分别是关于的方程的两个根，则的值为   

A.  B.  C.  D.

3. 兰兰和笑笑分别解一道关于的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程两根为和，笑笑因把常数项看错，解得方程两根为和，则原方程是    

A.  B.
C.  D.

4. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下说法不正确的是    

A. 方程是倍根方程
B. 若关于的方程是倍根方程，则
C. 若且，则关于的方程是倍根方程
D. 若且，则关于的方程是倍根方程

5. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是    

A.  B.  C.  D.

6. 如果，是一元二次方程的两个根，那么的值为    

A.  B.  C.  D.

7. 已知等腰三角形的三边长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值是    

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 关于的方程有两个实数根，，且，那么的值为    

A.  B.  C. 或 D. 或

9. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为    

A. 或 B. 或 C.  D.

10. 若关于的方程的两个实数根之和大于，则的取值范围是    

A.  B.  C.  D.

11. 已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，则的值是    

A. 或 B.  C.  D.

12. 已知，是关于的一元二次方程的两实数根，则的最小值是   

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 若关于的方程的两个根互为倒数，则的值为          ．
14. 如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么          ．
15. 已知关于的一元二次方程有两个负数根，那么实数的取值范围是          ．
16. 已知，是方程的两个实数根，则          ．
17. 若、是一元二次方程的两个实数根，则的值为          ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 已知关于的一元二次方程的两根的平方和是，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 关于的方程．

求证：无论为何值，方程总有实数根．

设，是方程的两个根，记，的值能为吗？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由．






 

20. 若关于的方程的两实数根之和大于，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知，是一元二次方程的两个实数根，求下列代数式的值．

22. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围

设方程的两实数根分别为、，且，求实数的值．






 

23. 已知关于的一元二次方程有实数根．

求的取值范围

如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围．






 

24. 已知关于的方程有两个实数根，且两个根的平方和比两个根的积大，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 关于的一元二次方程．

当方程有一个根为时，求的值及另一个根

当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围

若方程有两个实数根，且满足，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】略
 

2.【答案】
 

【解析】略
 

3.【答案】
 

【解析】略
 

4.【答案】
 

【解析】略
 

5.【答案】
 

【解析】，是关于的一元二次方程的两实数根，

，

的最小值为．

6.【答案】
 

【解析】略
 

7.【答案】
 

【解析】当时，．

，是关于的一元二次方程的两根，

，

，不符合

当时，，

，是关于的一元二次方程的两根，

，

，不符合

当时，

，是关于的一元二次方程的两根，

，，

，

，

．

8.【答案】
 

【解析】关于的方程有两个实数根，，

，

解得

，，

，

即，

解得或舍去．

故选A．

9.【答案】
 

【解析】关于的一元二次方程的两个实数根为，，

，．

，即，

，

解得

当时，，有两个不相等的实数根，符合题意

当时，，没有实数根，不符合题意．

．

10.【答案】
 

【解析】略
 

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，解得，
根据根与系数的关系得，，
，
，
，
整理得，
解得，，
，
的值为．
故选C．
 

12.【答案】
 

【解析】，是关于的一元二次方程的两实数根，
，，
．
方程有两个实数根，
，
，
．
故选D．
 

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】略
 

16.【答案】
 

【解析】略
 

17.【答案】
 

【解析】解：由题意，得，， ，
即，，
 ．
．
故答案为．
 

18.【答案】解：设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，

则：，，

关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，

，

解得：，，

当时，，

当时，舍去，

．

【解析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式以及完全平方式的应用解题的关键是掌握：若二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，性质的应用．首先设关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，然后根据根与系数的关系，即可得，，又由于的一元二次方程的两根的平方和是，即可得出关于的方程，解此方程即可求得答案．
 

19.【答案】解：当时，原方程可化为，
解得：，此时该方程有实根；
当时，方程是一元二次方程，


，
无论为何实数，方程总有实数根，
综上所述，无论为何实数，方程总有实数根；
由根与系数关系可知，
，，
若，则，
即，
将、代入整理得：，
解得：舍或，
的值能为，此时．
 

【解析】本题主要考查一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握方程的根与判别式间的联系，及根与系数关系是解题的关键．
分两种情况讨论：当时，方程是一元一次方程，有实数根；当时，方程是一元二次方程，所以证明判别式是非负数即可；
由韦达定理得，，代入到中，可求得的值．
 

20.【答案】
 

【解析】略
 

21.【答案】解： ，是一元二次方程的两个实数根，
，．
．
．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：由题意，得
，解得
由根与系数的关系，得，．
，
．
，
即，解得，．
由，可知不合题意，舍去，

 

【解析】见答案
 

23.【答案】解：根据题意，得，
解得
根据题意，得，，而，
所以，
解得
又，所以的取值范围为
 

【解析】见答案
 

24.【答案】解：方程有两个实数根，

解这个不等式，得

设方程的两个实数根分别为，，

则，．

，

．

．

整理得．

解得，．

又，．

【解析】利用根与系数的关系求得两根的和与两根的积，再根据已知条件得出关于的二次方程，对其进行求解，本题易忽略这一条件．
 

25.【答案】解：把代入一元二次方程
得，
整理得，
，即原方程为，
，
，
，
故的值为，另一个根为．
根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
根据题意得，，
，
 ，
整理得，
解得，，
由易知方程有两个实数根时，，
．
 

【解析】见答案．