专题8.52双曲线及其性质（二）（解析版）教案

双曲线及其性质（二）

一、          学习目标：

1.了解双曲线的定义及其标准方程；

2.了解双曲线的基本性质；

3.会解与渐近线相关的简单问题。

二、          教学过程

（一）必备知识：

1．双曲线的定义

(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．

(2)第二定义：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．

(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．

2．双曲线的标准方程及几何性质

3.用待定系数法求双曲线标准方程时，双曲线方程的常用设法：

（1）双曲线过两点可设为

（2）与共渐近线的双曲线可设为

（3）等轴双曲线可设为.

（4）双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，

当时为双曲线.

4.与渐近线有关的结论或方法：

（1）已知双曲线方程求渐近线：.

（2）的渐近线的斜率为.

（3）若渐近线方程为，则可设其双曲线方程为；

（4）与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为；

（5）已知渐近线设双曲线的标准方程为.

（6） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长，垂足为对应准线与渐近线的交点.

5.求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常用的两种方法：

（1）求出，代入公式；

（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)．

自查自纠：

1．(1)绝对值　＜　焦点　焦距　(2)离心率　(3)等轴双曲线　充要　垂直

2．(2)－＝1(a＞0，b＞0)　(5)A1(0，－a)，A2(0，a)　(7)F1(－c，0)，F2(c，0)　(9)e＝(e＞1)

(11)y＝±x

（二）题组训练：

题组一：

例题：

例1．（1）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是               .

【答案】.

【详解】由已知得，解得或，因为，所以.因为，

所以双曲线的渐近线方程为.

（2）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），

例2．（1）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程为__________．

【答案】

【详解】设方程为，代入点，可得，∴，

∴双曲线的方程为．

（2）已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为           ．

【答案】

【详解】由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为，代入点得，

所以双曲线方程为

（3）下列双曲线中，渐近线方程为的是（ ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【详解】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.

课堂练习：

1．双曲线的渐近线方程是（   ）

A．       B．   C．       D．

【答案】C

【详解】由方程可知，渐近线方程为

2．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ）.

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【详解】椭圆中变形为

，所以渐近线为.

3．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（    ）

A．       B．       C.        D．

【答案】C

【详解】因为，即，所以双曲线的渐近线议程为，故选C.

4．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A．            B．        C．          D．

【答案】C

【详解】由题意得，所以双曲线的渐近线方程为.

5．双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（   ）

A．2sin40° B．2cos40° C． D．

【答案】D

【详解】由已知可得，，故选D．

6.下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C．

7．如果双曲线经过点，且它的渐近线方程为，那么该双曲线方程为（   ）

A.        B.       C.        D.

【答案】B

【详解】渐近线为为等轴双曲线，设为，代入得，

所以方程为.

8．已知双曲线C： (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【详解】双曲线C的渐近线方程为,可知①,椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a2＋b2＝9②,根据①②可知a2＝4,b2＝5.故选：B.

9．过双曲线的右顶点作轴的垂线与的一条渐近线相交于，若以的右焦点为圆心、半径为4的圆经过，两点（为坐标原点），则双曲线的方程为 （   ）

A.       B.       C.      D.

【答案】A.

【详解】由题意得，，∴，而双曲线的渐近线方程为，故不妨，∴，联立方程组，从而可知，，∴双曲线的标准方程是.

题组二：

例题：

例1.（1）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1 ，F2 ，则四边形F1 P F2 Q的面积是________．

【答案】

【详解】右准线方程为，渐近线方程为，

设，则，，，则．

（2）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2

【详解】如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，

又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．

例2.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为__________．

【答案】

【详解】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．又tan θ=，∴，解得a2=3b2，

∴e=．

例3．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为        

【答案】

【详解】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为

练习：

1．双曲线的焦点到其渐近线距离为（   ）

A．1           B．         C．             D．2

【答案】C

【详解】由双曲线的方程，可得，所以，所以右焦点坐标为，渐近线方程为，及，所以焦点到准线的距离为．

2．双曲线的两条渐近线夹角是（   ）

A.          B.           C.          D.

【答案】B.

【详解】根据题意可知，双曲线的渐近线方程是，其倾斜角为，故两渐近线的夹角是.

3．双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（  ）．

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【详解】设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．

4．已知双曲线离心率为，则点到的渐近线的距离为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离  故选D

5．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】，，，，所以，根据,所以,代入后得，整理为，所以该双曲线渐近线的斜率是，故选C.

6．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由题可知 在中，

在中,

故选B.

7.已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且 则双曲线的方程为（  ）

A．    B．    C．     D．

【答案】A

【详解】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，由可得：，不妨设：，双曲线的一条渐近线方程为，据此可得：，，则，则，双曲线的离心率：，据此可得：，则双曲线的方程为.

课外作业：

1．双曲线的焦点到渐近线的距离为(　  　)

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】双曲线焦点到渐近线的距离为，所以距离为.

2．渐近线方程为的双曲线的离心率是（  ）

A．    B．1    C．    D．2

【答案】C

【详解】根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得，所以c 则该双曲线的离心率为 e，故选C．

3.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）

A．y=±2x B．y= C． D．

【答案】B

【详解】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，

故渐近线方程为.

4．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为（   ）

A.          B.          C.          D.

【答案】A

【详解】椭圆的焦点坐标为，所以，所以双曲线方程为，渐近线方程为.

5．当双曲线：的焦距取得最小值时，双曲线的渐近线方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【详解】,当时取等号，此时，，所以，即双曲线的渐近线方程为，故选C.

6．双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程是（     ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【详解】由已知，，则.又因为，则，即.则渐近线方程为，故选B.

7．若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （     ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【详解】双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

8．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（  ）

A． B．2 C．6 D．4

【答案】D

【详解】由双曲线，可得渐近线方程为，且右焦点为，令，解得，所以 ，故选D.

9．双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（   ）

A． B． C．  D．

【答案】A

【详解】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，，故选A．

10．已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：，解得：，双曲线方程为：.本题选择D选项.

11．已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为（  ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【详解】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，

则有∴，，，∴．故选D．

12．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（    ）

A．    B．   C．    D．

【答案】A

【详解】，渐近线方程，因此左顶点到一条渐近线的距离为，即该双曲线的标准方程为，选A.

13．已知双曲线，曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（   ）

A．        B．           C．               D．

【答案】A

【详解】在点处的切线方程为:渐近线方程为,故选A.