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    2021学年第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数教课内容ppt课件

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    这是一份2021学年第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数教课内容ppt课件,共29页。PPT课件主要包含了情境引入,探究交流,数量关系,-10x,+18x,知识要点,解由题意得,最大利润问题,建立函数关系式,确定自变量取值范围等内容,欢迎下载使用。

    1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.(重点)2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. (难点)
    在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中,作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
    如果你是商场经理,如何定价才能使商场获得最大利润呢?
    某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,已知商品的进价为每件40元,则每星期销售额是 元,销售利润 元.
    (1)销售额= 售价×销售量;
    (2)利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量;
    (3)单件利润=售价-进价.
    例1 某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出18件,已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
    涨价销售①每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
    y=(20+x)(300-10x)
    建立函数关系式:y=(20+x)(300-10x),
    即:y=-10x2+100x+6000.
    ②自变量x的取值范围如何确定?
    营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故300-10x ≥0,且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
    ③涨价多少元时,利润最大,最大利润是多少?
    y=-10x2+100x+6000,
    即定价65元时,最大利润是6250元.
    降价销售①每件降价x元,则每星期售出商品的利润y元,填空:
    y=(20-x)(300+18x)
    建立函数关系式:y=(20-x)(300+18x),
    即:y=-18x2+60x+6000.
    综合可知,应定价65元时,才能使利润最大.
    ②自变量x的取值范围如何确定?
    营销规律是价格下降,销量上升,因此只要考虑单件利润就可以,故20-x ≥0,且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
    ③涨价多少元时,利润最大,是多少?
    即定价57.5元时,最大利润是6050元.
    即:y=-18x2+60x+6000,
    由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
    例2 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具,如果以单价30元出售,那么一个月内售出180件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的下降,即销售单价每上涨1元,月销售量将相应减少10件,当销售单价为多少元时,该店能在一个月内获得最大利润?
    ①每件商品的销售单价上涨x元,一个月内获取的商品总利润为y元,填空:
    y=(10+x)(180-10x)
    建立函数关系式:y=(10+x)(180-10x),
    即:y=-10x2+80x+1800.
    营销规律是价格上涨,销量下降,因此只要考虑销售量就可以,故180-10x ≥0,因此自变量的取值范围是x ≤18.
    y=-10x2+80x+1800 =-10(x-4)2+1960.
    当x=4时,即销售单价为34元时,y取最大值1960元.
    答:当销售单价为34元时,该店在一个月内能获得最 大利润1960元.
    求解最大利润问题的一般步骤
    (1)建立利润与价格之间的函数关系式:运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
    (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围;
    (3)在自变量的取值范围内确定最大利润:可以利用配方法或公式求出最大利润;也可以画出函数的简图,利用简图和性质求出.
    例3:某商店试销一种新商品,新商品的进价为30元/件,经过一段时间的试销发现,每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件,售价为x元/件,每月的总利润为Q元.
    (1)当售价在40~50元时,每月销售量都为60件,则此时每月的总利润最多是多少元?
    解:由题意得:当40≤x≤50时, Q = 60(x-30)= 60x-1800 ∵ y = 60 > 0,Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时,Q最大= 1200 答:此时每月的总利润最多是1200元.
    (2)当售价在50~70元时,每月销售量与售价的关系如图所示,则此时当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?
    解:当50≤x≤70时, 设y与x函数关系式为y=kx+b, ∵线段过(50,60)和(70,20).
    50k+b=6070k+b=20
    ∴y =-2x +160(50≤x≤70)
    k =-2b = 160
    ∴Q=(x-30)y =(x-30)(-2x + 160) =-2x2 + 220x- 4800 =-2(x-55)2 +1250 (50≤x≤70) ∵a = -2<0,图象开口向下,∴当x = 55时,Q最大= 1250∴当售价在50~70元时,售价x是55元时,获利最大, 最大利润是1250元.
    解:∵当40≤x≤50时, Q最大= 1200<1218 当50≤x≤70时, Q最大= 1250>1218 ∴售价x应在50~70元之间. ∴令:-2(x-55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 当x1=51时,y1=-2x+160=-2×51+160= 58(件) 当x2=59时,y2=-2x+160= -2×59+160= 42(件)∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价为51元或59元,当月的销售量分别为58件或42件.
    (3)若4月份该商品销售后的总利润为1218元,则该商品售价与当月的销售量各是多少?
    变式:(1)若该商品售价在40~70元之间变化,根据例题的分析、解答,直接写出每月总利润Q与售价x的函数关系式;并说明,当该商品售价x是多少元时,该商店每月获利最大,最大利润是多少元?
    解:Q与x的函数关系式为:
    60x-1800 (40≤x≤50 )-2(x-55)2 + 1250 (50≤x≤70)
    由例3可知:若40≤x≤50, 则当x=50时,Q最大= 1200若50≤x≤70, 则当x=55时,Q最大= 1250∵1200<1250∴售价x是55元时,获利最大,最大利润是1250元.
    (2)若该商店销售该商品所获利润不低于1218元,试确定该商品的售价x的取值范围;
    解:①当40≤x≤50时, ∵Q最大= 1200<1218, ∴此情况不存在.
    ②当50≤x≤70时, Q最大= 1250>1218, 令Q = 1218,得 -2(x-55)2 +1250=1218 解得:x1=51,x2=59 由Q = -2(x-55)2 +1250的 图象和性质可知: 当51≤x≤59时,Q≥1218∴若该商品所获利润不低于1218元, 则售价x的取值范围为51≤x≤59.
    (3)在(2)的条件下,已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元,则售价x为多少元时,利润最大,最大利润是多少元?
    51≤x≤5930 (-2 x +160)≥1620
    解得:51≤x≤53
    ∵Q=-2(x-55)2 +1250的顶点 不在51≤x≤53范围内,又∵a =-2<0,∴当51≤x≤53时 , Q随x的增大而增大∴当x最大 = 53时,Q最大= 1242∴此时售价x应定为53元,利润最大,最大利润是1242元.
    1.某种商品每件的进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20 ≤x ≤30)出售,可卖出(300-20x)件,使利润最大,则每件售价应定为 元.
    2.进价为80元的某件定价100元时,每月可卖出2000件,价格每上涨1元,销售量便减少5件,那么每月售出衬衣的总件数y(件)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .每月利润w(元)与衬衣售价x(元)之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简).
    y=2000-5(x-100)
    w=[2000-5(x-100)](x-80)
    3.一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次(最低档次)的产品一天能生产80件,每件可获利润12元.产品每提高一个档次,每件产品的利润增加2元,但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑,他生产哪个档次的产品,可获得最大利润?
    w=[12+2(x-1)][80-4(x-1)] =(10+2x)(84-4x) =-8x2+128x+840 =-8(x-8)2+1352.
    解:设生产x档次的产品时,每天所获得的利润为w元, 则
    当x=8时,w有最大值,且w最大=1352.
    答:该工艺师生产第8档次产品,可使利润最大,最大利润为1352.
    4. 某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75.其图象如图.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
    解:(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
    ∵-1<0,对称轴x=10,
    ∴当x=10时,y值最大,最大值为25.即销售单价定为10元时,销售利润最大,为25元;
    (2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?
    (2)由对称性知y=16时,x=7和13.故销售单价在7 ≤x ≤13时,利润不低于16元.
    总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
    涨价:要保证销售量≥0;降件:要保证单件利润≥0.
    利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.
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