考点09 任意角与弧度制及任意角的三角函数-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题学案

考点09  任意角与弧度制及任意角的三角函数

1．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．

【答案】（满足即可）

【分析】

根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.

【详解】

与关于轴对称，

即关于轴对称，

，

则，

当时，可取的一个值为.

故答案为：（满足即可）.

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

3.任意角的三角函数

(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．

1．（2021·贵州高三二模（理））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·山西太原市·高三三模（理））古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设.则下列错误的结论是（    ）

A．

B．以射线为终边的角的集合可以表示为

C．在以点为圆心、为半径的圆中，弦所对的劣弧弧长为

D．正八边形的面积为

3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x轴非负半轴的锐角绕原点逆时针转后，终边交单位圆于，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·河南商丘市·高三月考（理））已知，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a

5．（2021·全国高三月考（理））已知是第二象限角，则下列选项中一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·广德市实验中学高三月考（理））若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

7．（2020·安徽高三月考（理））如图，在平面直角坐标系中，点为阴影区域内的动点（不包括边界），这里，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·石嘴山市第三中学高三期末（理））函数在区间的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·安徽高三月考（理））函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C．          D．

10．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为，面积为，若，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2021·河南开封市·高三三模（理））如图，，，是半径为1的圆周上的点，且，，则图中阴影区域的面积为（    ）

A． B． C． D．

12．（2021·全国高三专题练习（理））斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形（）中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，，的长度分别为，对于以下四个命题：①；②；③；④.其中正确的是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．③④

13．（2020·安徽高三其他模拟（理））圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，母线长为，三视图如图所示．圆台表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆台表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆台的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（    ）

A． B．1 C． D．

14．（2020·全国高三专题练习（理））勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率是（    ）

A． B．

C． D．

15．（2012·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量则点的坐标是

A． B．

C． D．

16．（2011·全国高考真题（理））已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，

则cos2θ＝(　 　)

A．－ B．－ C． D．

17．（2011·山东高考真题（理））若点在函数的图象上，则的值为

A．0 B． C．1 D．

18．（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.

19．（2007·四川高考真题）下面有5个命题：

①函数的最小正周期是．

②终边在轴上的角的集合是．

③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有3个公共点．

④把函数的图象向右平移得到的图象．

⑤函数在上是减函数．

其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）

20．（2018·浙江高考真题）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值；

（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求cosβ的值

1．D

【分析】

记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.

【详解】

记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，

由题意可得，，，，

所以，

因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，

所以，则，

所以.

故选：D.

2．D

【分析】

由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为，，然后逐个分析求解即可

【详解】

解：由题意可得，正八边形的八个内角相等，则一个内角为，

，

因为，，

所以，所以A正确；

因为，所以以射线为终边的角的集合可以表示为，所以B正确；

对于C，因为，半径为1，所以弦所对的劣弧弧长为，所以C正确；

对于D，因为，所以正八边形的面积为，所以D错误，

故选：D

3．C

【分析】

设锐角绕原点逆时针转后得角，由，则，分的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍.

【详解】

设锐角绕原点逆时针转后得角，则，由为锐角，

根据题意角终边交单位圆于，则，则

若，则

所以，与为锐角不符合.

若，则

所以,满足条件.

故选：C

4．B

【分析】

利用对数函数、指数函数和三角函数的性质判断.

【详解】

因为，

所以

故选：B

5．C

【分析】

根据题意得，，进而分别讨论的范围即可得答案.

【详解】

因为是第二象限角，

所以，，

则，，

所以为第三或第四象限角或终边在轴负半轴上，

所以选项A不一定正确；

可能不存在，选项B也不一定正确；

又，，是第一象限或第三象限角，

则选项C正确，选项D不一定正确.

故选:C．

【点睛】

本题考查三角函数，考查推理论证能力，考查逻辑推理核心素养，本题解题的关键在于根据题意得，，进而依次讨论各选项即可求解.

6．C

【分析】

先由已知求得，，再运用诱导公式和三角恒等变换化简代入计算可得选项.

【详解】

因为角终边在直线上，所以，∴．

∴

．

故选：C.

【点睛】

关键点睛：解决本题的类型的问题，关键在于角的终边得出角的三角函数值，并且根据三角函数的诱导公式和三角恒等变换化简代入求值.

7．A

【分析】

首先利用图形，写出表示阴影的不等式，再根据的范围，判选项.

【详解】

由于，则．设与相平行的直线的方程为，

当直线过点时，；

当直线过点和时，；

直线过点和时，．

则由图中阴影部分可得或，

这里．则一定有．

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是利用平面区域表示不等式，再判断三角函数值的正负.

8．C

【分析】

判断函数非奇非偶函数，排除选项A、B，在计算时的函数值可排除选项D，进而可得正确选项.

【详解】

因为，且，

所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A、B，

因为，排除选项D，

故选：C

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

9．A

【分析】

先判断出函数的奇偶性，然后根据的取值范围判断出的大致图象.

【详解】

，为奇函数，

又，，，

故选：A．

【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

10．C

【分析】

由扇形的面积公式得,进而根据正切的和角公式解方程得.

【详解】

解:由扇形的面积公式得,解得,

所以,解得

故选:C

11．A

【分析】

设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，易得，，在中，求得，然后在中，利用余弦定理结合，求得，然后由图中阴影区域的面积为求解.

【详解】

如图所示：

设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，

因为，

所以，

，

在中，

由余弦定理得，

，

因为，

所以，

解得，

所以，，

扇形OBC的面积为：

所以图中阴影区域的面积为，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题关键是由，分别求得，进而求得而得解.

12．A

【分析】

设，则，再由圆弧分别求出，再逐项判断即可得正确选项.

【详解】

不妨设，则，

所以，

，

所以，

，

所以，

所以，故①正确；

，，

所以，故②正确；

，，

所以，故③不正确；

，，所以，

故④不正确；所以①②正确，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，正确求出扇形的半径，利用弧长公式求出弧长即的值.

13．B

【分析】

根据三视图可得原几何体如图所示（圆台），侧面展开后可得最短路径的长度.

【详解】

如图，三视图对应的几何体为圆台，

因为圆台上底面和下底面圆的周长分别为和，

故圆台上底面和下底面圆的半径分别为，

设展开后的扇形的半径为，则，故，

故该扇形的圆心角为，如图所示，

侧面展开后在扇形所在圆弧的的等分点处（靠近），故，

该圆台侧面展开图中三角形OMN，

因为，，∴，

所以从M到N的路径中，最短路径的长度为1，

故选：B．

【点睛】

本题考查三视图以及与圆台有关的表面最短路径的计算，注意利用圆台的侧面展开图来求最短路径，本题属于中档题．

14．C

【分析】

设图中小的勒洛三角形对应的等边三角形的边长为a，则可求出其面积，根据小、大三角形边长比为1:3，即可求出大勒洛三角形的面积，根据几何概型的公式，即可得答案.

【详解】

设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为a，

则小勒洛三角形的面积，

因为小大两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，

所以在勒洛三角形的面积为

若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为，

故选：C

【点睛】

此题考查概率与几何概型、求平面图形面积等知识，考查阅读能力和数学计算能力，属于中档题.

15．A

【详解】

试题分析：设，再设，则，由题意可得，从而可得，故答案选A.

考点：平面向量.

16．B

【分析】

根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．

【详解】

解：根据题意可知：tanθ＝2，

所以cos2θ，

则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝21．

故选B．

【点睛】

此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．

17．D

【详解】

由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.

18．

【详解】

试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或），

所以.

【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式

【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.

19．①④

【详解】

①，正确；②错误；③，和在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

20．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .

【分析】

分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.

【详解】

详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，

所以.

（Ⅱ）由角的终边过点得，

由得.

由得，

所以或.

点睛：三角函数求值的两种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.