考点12 零点定理（讲解）（解析版）练习题

考点12：零点定理

【思维导图】

【常见考法】

考点一：求零点

1．若幂函数的图象过点，则函数的零点是    。

【答案】9

【解析】∵幂函数的图象过点，∴，解得，

∴∴由，得．

2．函数的零点是____________.

【答案】

【解析】令f（x）=0，即x2+3x-4=0，解得：x=-4，x=1.

3．若函数，则函数的零点是___________.

【答案】0或

【解析】要求函数的零点,则令,即,

又因为：,①当时,,,解得.

②当时,,,解得（负值舍去）,所以.

综上所以,函数的零点是0或.故答案为：0或

4．函数y＝的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于             .

【答案】8

【解析】

函数y1=与y2=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象，
由图象可知,两个函数在[-2,4上共有8个交点,两两关于点(1,0)对称
设对称的两个点的横坐标分别为m、n则m+n=2×1=2，故所求的横坐标之和为8，故答案为8.

考点二：零点区间

1．函数的零点所在区间是( )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】易知函数为减函数，又，，根据零点存在性原理，可知函数的零点所在的区间是,故选D.

2．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵函数单调递增，∴f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=7＞0，
根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是，故选B．

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵f（x）=lnx+x-3在（0，+∞）上是增函数
f（1）=-2＜0，f（2）=ln2-1＜0，f（3）=ln3＞0
∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）=lnx+x-3的零点所在区间为（2，3）故选：C．

4．已知是定义在上的单调函数，满足，则函数的零点所在区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，即，，因为是定义在上的单调函数，所以由解析式可知，在上单调递增．

而，，故，即．

因为，，

由于，即有，所以．

故，即的零点所在区间为．故选：C．

考点三：零点个数

1．函数f(x)=|x-2|-lnx在定义域内零点的个数为      。

【答案】2

【解析】

分别画出函数y＝ln x(x>0)和y＝|x－2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.

2．方程的解的个数是        。

【答案】2

【解析】作出和的函数图象,如图所示:

由图象可知两函数图象有2个交点.

故方程的解的个数也为2个.

3．方程在区间上的解的个数为      。

【答案】8

【解析】由得，，分别画出和在的图像，如图：

两函数图像有8个交点，故方程在区间上的解的个数为8个

4．若函数是定义在上的偶函数,,且,则函数的零点个数为___________.

【答案】6

【解析】因为,即是周期为4的周期函数

为偶函数,且,画出函数图像如下图所示:

令可得.画出的图像如上图所示:

由图像可知,与图像共有6个交点

所以共有6个零点故答案为:

5．已知函数，则方程的不相等的实根个数为______.

【答案】7

【解析】方程可解出或

方程的不相等的实根个数即两个函数或的所有不相等的根的个数的和，方程的根的个数与两个函数，的图象与函数的图象的交点个数相同，

如图：的图象与函数的图象的交点个数有四个

的图象与函数的图象的交点个数有三个， 故方程有7个解，故答案为7

6．已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为        。

【答案】3

【解析】当时，则，

此时有，

∵，∴，

∴函数是周期为2的周期函数．

令，则，

由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．

在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），

结合图象可得两函数的图象有三个交点，

∴函数的零点个数为3．

7．已知函数 ，则的零点个数为      。

【答案】5

【解析】由题意，函数的零点个数，即方程的实数根个数，

设，则，作出的图象，

如图所示，结合图象可知，方程有三个实根，，，

则 有一个解，有一个解，有三个解，

故方程有5个解.

8．已知函数，则方程实根的个数为        。

【答案】4

【解析】当时，，，

∴有一实根；

当时，，，

∴，

∴或|，

分别画出函数以及，的图象如图，

由图可知共有3个交点，故实根的个数为4个．

9．已知函数，则函数的零点个数为      。

【答案】4

【解析】令,则,

令,若,解得或,符合;若,解得,符合.作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.

结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.

所以函数的零点个数为4个.

考点四：根据零点求参数

1．已知函数在区间上有零点，则实数a的取值范围是          。

【答案】

【解析】函数f(x)=x2+x+a的图象的对称轴方程为,故函数在区间(0,1)上单调递增，

再根据函数f(x)在(0,1)上有零点,可得，解得−2<a<0.

2．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是        。

【答案】

【解析】由条件可知，即a(a－3)<0，解得0<a<3.

3．若函数的零点所在的区间为,则k=      。

【答案】2

【解析】∵且单调递增,∴的零点所在的区间为（2,3）,∴.

4．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是       。

【答案

【解析】由得，作函数的图象及直线，它们有三个交点，则，∴．

5．函数有四个零点，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】由题即有四个根,画出的图像有

当时,故a的取值范围是 故答案为

6．若函数，方程有两解，则实数m的取值范围为______ ．

【答案】

【解析】

二次函数的最高点为，有图可知与函数有两个交点，则取值范围为

7．偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是        。

【答案】

【解析】由，可知函数图像关于对称，又因为为偶函数，所以函数图像关于轴对称.所以函数的周期为2，要使函数有且仅有三个零点，即函数和函数图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，.

8．已知，若存在三个不同实数，，使得，则的取值范围是        。

【答案】

【解析】，画出函数图像，如图所示：

根据图像知：，，故，故.

9．已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围________.

【答案】.

【解析】

与两图象交点问题，当，则

，其中，

，.填写:

考法五：二分法

1．用二分法求函数零点时,用计算器得到下表：

则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为(    )

A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875

【答案】B

【解析】根据二分法的思想,因为,故的零点在区间内,

但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,

由表格知,故的零点在区间内,

但区间的长度为,不满足题意,因而取区间的中点,

可知区间和中必有一个存在的零点,而区间长度为,

因此是一个近似解,故选:B.

2．在用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，则第三次所取的区间可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】用“二分法”求函数零点近似值时，第一次所取的区间是，

则第二次所取的区间是或，

第三次所取的区间是或或或，故选：B.

3．下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）•f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．故选C．

4．已知函数()的一个零点附近的函数值的参考数据如下表:

由二分法,方程的近似解(精确度0.05)可能是（　　）

A．0.625 B．-0.009 C．0.5625 D．0.066

【答案】C

【解析】在上单调递增.设近似值为，

由表格有，所以故选：C