初中数学苏科版八年级上册4.2 立方根精品同步训练题

4.2立方根

考点一、求立方根

1. 的立方根是

A.  B.  C.  D.

2. 下列说法正确的是

A. 的平方根是 B.
C. 的立方根是 D. 没有平方根

3. 下列各式计算正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 如果，那么       

A.  B.  C.  D.

5. 如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是

A. 士 B.  C.  D. 和

6. 下列说法：；；的平方根是；的算术平方根是；是的平方根；的立方根，平方根都是本身．其中正确的有

1. 个 B. 个 C. 个 D. 个

考点二、立方根的性质

7. 下列说法中，正确的有

只有正数才有平方根；一定有立方根；没有意义；；只有正数才有立方根．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8. 下列说法中：不带根号的数都是有理数；没有立方根；平方根等于本身的数是；有意义的条件是为正数；其中正确的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9. 下列说法正确的是

A. 都是的立方根； B. 的立方根是；
C. 等于； D. 的算术平方根是．

10. 下列命题中正确的是

的立方根是；不可能是负数；如果是的立方根，那么．

A.  B.  C.  D.

11. 下列说法正确的个数有
    一个数的平方根有两个，它们互为相反数； 
    一个数的立方根不是正数就是负数
    是的算术平方根；
    如果一个数的平方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是； 
    的平方根是；
    非负数才有立方根；
    任何数都有两个立方根；

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 下列命题中：

立方根等于它本身的数有，，；     

负数没有立方根；

；         

任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数；

平方根等于它本身的数有和   

正确的有 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

考点三、利用立方根解方程

13. 求满足下列各式的未知数：                       ．
    
    
    
     
14. 解方程：
                      
    
    
     
15. 求的值
    ；                  ．
    
     
16. 求中的值               求中的值．
    
    
     
17. 解下列方程

   ；                     ；


 

求下列各式中的值：
               ．




考点四、立方根应用

18. 已知的平方根是，的立方根是，求的立方根．
    
     
19. 已知的一个平方根是，的立方根是，求的算术平方根．
    
    
    
     
20. 已知的两个平方根分别是和，且，求的值．
    
    
    
     
21. 已知的平方根是，的立方根是．
    求、的值．
    求的平方根．
    
    
    
     
22. 已知，是的平方根，，是的立方根，求的值。
    
    
    
     
23. 已知一个正数的两个平方根分别为和．

求的值，并求这个正数；

求的立方根．

考点五、与立方根有关的找规律题

24. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：

，，，，由此可见，被开方数的小数点每向右移动________位，其算术平方根的小数点向________移动________位；

已知，，则          ，          ；

，，小数点变化的规律是：________；

已知，，则          ，          ．




 

25. 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，它是一个整数的立方，希望求它的立方根．华罗庚不假思索给出了答案，邻座的乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘．你知道华罗庚是怎样快速准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试．

由，，因为，请确定是_____位数；

由的个位上的数是，请确定的个位上的数是_____，划去后面的三位数得到，因为，，请确定的十位上的数是_____；

已知是某个整数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：_____．


 

26. 阅读下列解题过程，并按要求解题：

已知，，求的值．

解：根据算术平方根的定义，由，得，

所以第一步

根据立方根的定义，由，

得第二步

由解得第三步

把，的值代入，得．

以上解题过程存在错误，请指出错在哪些步骤，并说明错误的原因

把正确解答过程写出来．

考点六、与立方根有关的新定义题

27. 类比平方根二次方根、立方根三次方根的定义可给出四次方根、五次方根的定义：如果，那么叫做的四次方根；如果，那么叫做的五次方根；

请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：

的四次方根为_________；的五次方根为________；

若在实数范围内有意义，则的取值范围为_________；若在实数范围内有意义，则的取值范围为___________；

解方程

28. 阅读材料：如果为正整数，那么叫做的次方根．

例如：因为，，所以和都是的次方根，即的次方根是和，记作：

根据上述材料回答问题：

的次方根是__________，的次方根是__________

求的次方根为正整数．





 

29. 对正整数，，我们定义了一种新运算：其中，为非零常数，例如：，已知，

求，的值；

若，求出的值；

若，求符合条件的的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，的立方根是，
的立方根是，
故选D．
根据立方根的定义即可求出答案．
本题考查立方根的定义，解题的关键是熟练运用立方根的定义，本题属于基础题型．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查立方根、平方根的问题，关键是根据立方根、平方根的定义分析．根据立方根、平方根的定义判断即可．
【解答】
解：．的平方根是，故选项正确；
B.，故B选项错误；
C.的立方根是，故C选项错误；
D.有平方根，故D选项错误；
故选A．  

3.【答案】
 

【解析】解：、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，符合题意，
故选：．
利用平方根、立方根，以及算术平方根定义判断即可．
此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平方根和立方根的概念首先根据平方根的概念把求出，然后求出的立方根即可．
【解答】
解：，
，
当时，
，
  当时，
，
故选B．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
 本题主要考查了平方根和立方根的概念有关知识，根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是．
【解答】
解：的平方根和立方根相同．
故选B．  

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是算术平方根，平方根，立方根，利用算术平方根，平方根，立方根的定义进行解答即可．
【解答】
解：故错误；
结果为，故错误；
负数没有平方根，故错误；
算术平方根为，故错误；
为的平方根，故错误；
的立方根为，的平方根是，故错误；
故选A．  

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平方根和立方根的性质利用平方根与立方根的性质，对各个选项一一判断即可．
【解答】
解：非负数都有平方根，所以是错误的；
任何数的立方根都只有一个，所以是正确的；
时，没意义，所以所以是错误的；
，所以是正确的．
所以正确的有个．
故选B．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查算术平方根的概念，平方根的概念和立方根的概念，掌握算术平方根中的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的概念、平方根的概念和立方根的概念判断即可．

【解答】

解：不带根号的数不一定都是有理数，例如，错误；
的立方根是，错误；
平方根等于本身的数是，错误；

有意义的条件是为非负数，错误，
故选A．

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查平方根，立方根和算术平方根的知识；即正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根为，负数没有平方根，据此解答．

【解答】

解：的立方根为，故本选项错误；

B.的立方根是，故本选项正确；

C.；故本选项错误；

D.的算术平方根是，故本选项错误．

故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了平方根和立方根的概念，要掌握其中的几个特殊数字的特殊性质．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号”其中，叫做被开方数，叫做根指数．不等于如果，则是的平方根．若，则它有两个平方根，我们把正的平方根叫的算术平方根：若，则它有一个平方根，即的平方根是，的算术平方根也是：负数没有平方根．根据立方根的定义即可判定；根据立方根的性质即可判定；根据立方根的性质即可判定．

【解答】

解：的立方根是，故说法正确；
当时，是负数，故说法错误；

如果是的立方根，那么、同号，故说法正确；
所以正确．
故选A．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根的概念．根据概念即可判定．
根据平方根的定义即可判定；
根据立方根的定义即可判定；
根据算术平方根的定义即可判定；
根据算术平方根、平方根的定义即可判定；
根据算术平方根、平方根的定义计算即可判定；
根据立方根的定义即可判定； 
根据立方根的定义即可判定．
【解答】
 解：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，故说法错误；
一个数的立方根可能是正数，负数或，故说法错误；
是的算术平方根，故说法错误；
如果一个数的平方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是，故说法正确；  
，的平方根是，故说法错误；
正数，负数和都有立方根，故说法错误；
任何数都有一个立方根，故说法错误；
正确的个数有个．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解立方根的定义及求法、平方根的定义及求法，难度不大，利用立方根的定义及求法、平方根的定义及求法分别判断后即可确定正确的选项．

【解答】

解：立方根等于它本身的数有，，，正确；
负数没有立方根，错误；
，错误；

任何正数都有两个立方根，且它们互为相反数，错误；
平方根等于它本身的数有，故错误，
故选A．

13.【答案】解：
或，
解得或；
，
，
，
解得
 

【解析】此题主要考查了立方根以及平方根，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用平方根的定义化简求出答案；
直接利用立方根的定义化简求出答案．
 

14.【答案】解：，
，
，
；
，
，
，
或，
，．
 

【解析】略
 

15.【答案】解：；
；
．
，

 

【解析】方程整理后，开方即可求出的值；
方程开立方即可求出的值．
此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，

 

【解析】根据平方根与立方根的性质即可求出的值．
本题考查平方根与立方根的性质，属于基础题型．
 

17.【答案】解： ，

，

或，

或；

，

，

，

．

【解析】本题考查了平方根的概念，立方根的概念．

依据平方根的概念直接进行求解即可；

依据立方根的概念直接进行求解即可．

18.【答案】解：，




 

【解析】根据平方根与立方根的定义即可求出的值
本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：的平方根是，的立方根是，
，，
解得，，
，
的立方根是．
 

【解析】先根据平方根，立方根的定义列出关于、的二元一次方程组，再代入进行计算求出的值，然后根据立方根的定义求解．
本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出、的值是解题的关键．
 

20.【答案】解：的一个平方根是，
，
解得，．
的立方根是，
，
，
．
．
的算术平方根是．
即的算术平方根是．
 

【解析】根据的一个平方根是，可以得到的值，根据的立方根是，可以得到的值，从而可以求得的算术平方根．
本题考查立方根、平方根、算术平方根，解题的关键是明确立方根、平方根、算术平方根的定义．
 

21.【答案】解：没有同时满足与同时为，所以不为；
当为正数时，因为的两个平方根分别是和，
所以，
解得，
所以．
因为，
所以，
所以
所以

．
 

【解析】根据正数的两个平方根互为相反数，的平方根是，先计算出的值，再求出，根据立方根的定义，求出，最后得到的值．
本题考查了平方根、立方根．解决本题的关键是根据一个正数的两个平方根互为相反数，确定的值．
 

22.【答案】解：由题意，得，．
解得，．
，，
．
的平方根为．
 

【解析】依据平方根的性质和立方根的性质可得到和的值，然后可解得、的值；
然后求得的值，最后，依据平方根的性质求解即可．
本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：是的平方根，，是的立方根，

，，，
当时，，
当时，．

【解析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，代数式求值的知识，属于基础题，难度不大，注意对基础概念的掌握及熟练运用．先根据平方根，算术平方根，立方根的定义求得、、的值，再代入所求代数式即可计算．
 

24.【答案】解：由平方根的性质得，，
解得，
这个正数为；
当时，，
的立方根为，
的立方根为．
 

【解析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，的立方根是．
根据平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，列出算式，求出的值即可；
求出的值，根据立方根的概念求出答案．
 

25.【答案】两；右；一；
；；
被开方数的小数点向右左移三位，其立方根的小数点向右左移动一位；；．
 

【解析】

【分析】
本题考查立方根，算术平方根．
观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
利用得出的规律计算即可得到结果；
归纳总结得到规律，写出即可；
利用得出的规律计算即可得到结果． 
【解答】
解：，，，，
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位；
已知，，则，；
，，
小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右左移三位，其立方根的小数点向右左移动一位；
已知，，则，．
故答案为：两；右；一；
；；
被开方数的小数点向右左移三位，其立方根的小数点向右左移动一位；；．  

26.【答案】两；
；；

 

【解析】

【分析】
本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，有一定难度．
根据题中所给的分析方法先求出这的立方根都是两位数；
继续分析求出个位数和十位数即可；
利用中材料中的过程进行分析可得结论．
【解答】
解：由，，
，
，
是两位数；
故答案为两；
只有个位数是的立方数是个位数是，
的个位上的数是，
划去后面的三位数得到，
因为，，
，
．
的十位上的数是．
故答案为；；
由，，
，
，
是两位数；
只有个位数是的立方数是个位数是，
的个位上的数是，
划去后面的三位数得到，
因为，，
，
．

故答案为．  

27.【答案】解：错在第一步，由，得，忽略了．

正确的解答过程如下：

根据算术平方根的定义，由，

得，所以或．

根据立方根的定义，由，得．

由解得

由解得

当，时，

当，时，．

【解析】

【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程组，分式的值，根据平方根和立方根的性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根；的平方根是正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，的立方根是，的方程组，解方程组求出，，再代入计算即可求解．  

28.【答案】解：，；

，为任意实数；

，

，

，

，

．

【解析】本题考查方根，利用方根解方程．

由，，求解即可；

由算术根的意义，被开方数为非负数和任意数都奇次方根，求解即可；

根据四次方根定义与五次方根定义求解即可．

29.【答案】解：；

当为奇数时，的次方根为，当为偶数时，的次方根为．

【解析】

【分析】【分析】
此题考查了利用方根的定义求一个数的方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质，用类比的方法去进行解答．
【解答】
解：因为，所以的四次方根是，
即；
因为，所以的五次方根是，即；
故答案为，；
见答案．  

30.【答案】解： ， 

化简得  

由，得 

由，

当， 解得 

当， 解得 

综上，的值为．

又

当时，，
又为整数

或或或或

或或或或

又为正整数，
， 

当时，，
又为整数

或

或          

又为正整数，

当为时，取或

当为，取  

【解析】本题主要考查了新定义运算和分类讨论思想，乘方，平方根和立方根的综合，有一定难度，关键是熟练掌握分类讨论思想．
根据新运算可得方程组，从而可得，的值；
利用新运算和中的结论，根据分类讨论思想可得的值；
分情况进行讨论，根据取值范围确定的取值即可．