专题06函数的单调性及最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型（原卷版）学案

专题06函数的单调性及最值--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

一、关键能力

理解函数的单调性，会判断函数的单调性，会用函数的单调性的功能去求最值、解不等式、比较大小，理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.

二、教学建议

主要以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数综合考查，也可以抽象函数为载体，加强对函数各种性质的理解。

三、自主梳理

知识点一  函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

知识点二   函数的最值

四、真题感悟

1．（2021•甲卷）下列函数中是增函数的为　　

A． B． C． D．

2．（2020•海南）已知函数在上单调递增，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

2．（2017•山东）若函数是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质，下列函数中具有性质的是　　

A． B． C． D．

3．（2020•新课标Ⅱ）若，则　　

A． B． C． D．

4．（2017•新课标Ⅱ）函数的单调递增区间是　　

A． B． C． D．

5．（2016•天津）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是　　

A． B．，， 

C．， D．，

五、高频考点+重点题型

考点一、判断函数的单调性（增减+区间）

例1（1）函数f(x)=在（    ）

A．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递增    B．(-∞，1)∪(1，+∞)上单调递减

C．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递增    D．(-∞，1)和(1，+∞)上单调递减

（2）函数的单调递增区间是（   ）

A.     B.     C.     D.

（3）（2020·新课标Ⅱ）设函数，则f(x)（    ）

A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减

对点训练1．（2021·灌云县中学高三二模（理））下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的函数是（    ）

A． B． C． D．f(x)=lg|x|

对点训练2.【多选题】设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（    ）

A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数

C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数

考点二、讨论并证明函数的单调性（解答题）

例2.（2021·广东省肇庆中学模拟）试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

对点训练1（2021·安徽蚌埠模拟）证明：函数f(x)＝ax2＋(其中1<a<3)在[1,2]上的单调性．

对点训练2.已知函数，.  讨论的单调性；

考点三、已知单调性求参

例3．定义在上的函数为递增函数，则头数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

对点训练1．(2021·河北模拟)函数f(x)＝2|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)  D．(－∞，1]

对点训练2.若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

对点训练3.（2021·湖南模拟）若函数是上的增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

考点四、利用单调性解不等式

例4（2021·江西）已知函数则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

对点训练1（2021·湖北高三二模（理））已知函数，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

对点训练2．设函数，则满足的x的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

考点五、利用单调性求最值

例5、（2020·上海高三一模）设，，若，则的（    ）

A．最小值为8 B．最大值为8

C．最小值为2 D．最大值为2

对点训练1（2020·全国高三专题练习）已知函数的最小值为2，则实数a=（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

对点训练2．(2021·山西省临汾模拟)已知函数f(x)＝若f(2)＝4，且函数f(x)存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，]  B．(1,2]

C.  D．[，＋∞)

对点训练3．（2017·浙江高考真题）若函数在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则的值

A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关

考点六、利用单调性比较函数值的大小

例6（2021·四川遂宁市·高三三模（文））已知函数，若，则（    ）

A．

B．

C．

D．

对点训练1．(2021·安徽合肥模拟)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)

A．x＋y≥0  B．x＋y≤0

C．x－y≤0  D．x－y≥0

对点训练2．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））已知，且，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

考点七、单调性与奇偶性结合使用

例7．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

对点训练1．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

对点训练2．已知函数，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

对点训练3．已知定义域为R的偶函数y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）单调递增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，则实数m的取值范围是（    ）

A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[，+∞） D．（﹣∞，]

                                       巩固训练

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

2．（2020·北京东城区·高三期中）下列函数图象中，满足的只可能是（    ）

A． B．

C． D．

3．（2020·江西吉安市·高三月考（文））下列函数中，在其定义域上是减函数的是（    ）

A． B． C． D．

4．（2018·浙江嘉兴市·高三月考）已知，函数在上的最大值是5，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知函数在定义域上单调，且，则的值为（    ）

A．3 B．1 C．0 D．﹣1

6．（2021·四川高三三模（文））已知函数，记，，，则（    ）

A． B．

C． D．

7．（2020·辽宁抚顺市·高三月考（文））已知函数在上是减函数，则的取值范围是（    ）.

A． B． C． D．

8．（2021·安徽高三一模（文））意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜测链条自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年，雅各布·伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学界征求答案．1691年他的弟弟约翰·伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的数学表达式——双曲余弦函数：（为自然对数的底数）．当，时，记，，，则，，的大小关系为（    ）．

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2020·山东高三期末）已知函数，，则以下结论错误的是（    ）

A．任意的，且，都有

B．任意的，且，都有

C．有最小值，无最大值

D．有最小值，无最大值

10．（2022·全国高三专题练习）一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则

B．函数存在跟随区间

C．若函数存在跟随区间，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

三、填空题

11．（2021·辽宁朝阳市·高三一模）写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______．

12．（2021·湖北华中师大一附中高三月考）能使“函数在区间上不是单调函数，且在区间上的函数值的集合为.”是真命题的一个区间为___________.

四、解答题

13．（2020·全国高三专题练习）已知函数.

（1）讨论在上的单调性；

（2）若，求不等式的解集.

14．（2021·上海高三其他模拟）已知函数.

（1）若，求函数的定义域；

（2）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围.