2018-2019学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）

2018-2019学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）已知全集，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知复数，则　　

A． B． C．1 D．

3．（5分）某产品的广告费用与销售额的统计数据如表：

根据上表中的数据可以求得线性回归方程中的为6.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为　　

A．66.2万元 B．66.4万元 C．66.8万元 D．67.6万元

4．（5分）已知函数，则　　

A．1 B． C．2019 D．

5．（5分）在等差数列中，已知，是函数的两个零点，则的前10项和等于　　

A． B．9 C．18 D．20

6．（5分）已知，满足不等式组，则的最大值与最小值的比值为　　

A． B． C． D．2

7．（5分）如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为　　

A． B．2 C．8 D．6

8．（5分）把1，2，3，，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？　　

A．31 B．30 C．28 D．32

9．（5分）在如图算法框图中，若，程序运行的结果为二项式的展开式中的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于的判断条件是　　

A． B． C． D．

10．（5分）在中，内角、、所对的边分别为，，，已知，，且，则　　

A．3 B． C． D．

11．（5分）是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线，，是双曲线的两个顶点，若在上存在一点，使，则双曲线的离心率的最大值为　　

A． B． C．2 D．3

12．（5分）已知函数，若当方程有四个不等实根，，，时，不等式恒成立，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）

13．（5分）已知是定义在上的偶函数，且．若当，时，，则　 　．

14．（5分）已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为　 　．

15．（5分）已知，则　　．

16．（5分）正四棱柱中，，，设四棱柱的外接球的球心为，动点在正方形的边长，射线交球的表面点，现点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径长为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

17．（12分）已知等比数列的公比，，且，36，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

18．（12分）现有4名学生参加演讲比赛，有、两个题目可供选择．组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被3整除的数则选择题目，掷出其他的数则选择题目．

（Ⅰ）求这4个人中恰好有1个人选择题目的概率；

（Ⅱ）用、分别表示这4个人中选择、题目的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望．

19．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，．

（1）证明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值．

20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹为．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）已知直线，分别交直线于点，，轨迹在点处的切线与线段交于点，求的值．

21．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当时，函数，有最小值． 记的最小值为（a），求函数（a）的值域．

选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共1个小题，共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.)

22．（10分）平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于，两点，试求．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数．

（1）解不等式；

（2）若不等式有解，求实数的取值范围．

2018-2019学年江西省新余市高三（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

【解答】解：全集，或，

．

故选：．

【解答】解：，

，

则，

故选：．

【解答】解：根据表中数据，得，；

且回归方程过样本中心点，，

所以，解得，

所以回归方程；

当时，，

即广告费用为10万元时销售额为66.2万元．

故选：．

【解答】解：函数，

，

．

故选：．

【解答】解：，是函数的两个零点，

由韦达定理可知：，

，

故选：．

【解答】解：约束条件 对应的平面区域如下图示：

当直线过时，取得最大值6．

当直线过时，取得最小值3，

故的最大值与最小值的比值为：2．

故选：．

【解答】解：直观图如图所示，底面为梯形，面积为，四棱锥的高为2，

几何体的体积为，

故选：．

【解答】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，

当6前有1个数字时，有种，

当6前有2个数字时，有种，

当6前有3个数字时，有种，

当6前有4个数字时，有种，

根据分类计数原理，共有种，

故选：．

【解答】解：由于，

二项式展开式的通项公式是，

令，

；

的系数是．

程序运行的结果为360，

模拟程序的运行，可得，

不满足条件，执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

不满足条件，执行循环体，，

由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出的值为360．

则判断框中应填入的关于的判断条件是？

故选：．

【解答】解：因为：，

所以：，即：，

由正弦定理得：，即：，

，

，即：，

，

，

，

，

．

，

，

，可得：，

，即，

．

故选：．

【解答】解：设双曲线的焦点，直线，

可设点，，，

由两直线的夹角公式可得

，

由，

可得，

化简可得，即，

即有．

当且仅当，即，离心率取得最大值．

故选：．

【解答】解：函数的图象如下图所示：

当方程有四个不等实根，，，时，

，即，，

，即，

且，

若不等式恒成立，

则恒成立，

由

故，

故实数的最小值为，

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.请将正确答案填在答题卷相应位置.）

【解答】解：由．则，

为周期为6的周期函数，

（1），

由是定义在上的偶函数，则（1），

当，时，，

，

，

故答案为：6．

【解答】解：，，

，

，

在方向上的投影为．

故答案为：．

【解答】解：，

，

，

，

，

故答案为：．

【解答】解：由题意，点从点出发，沿着运动一次，则点经过的路径是四段大圆上的相等的弧．

正四棱柱中，，，

四棱柱的外接球的直径为其对角线，长度为，

四棱柱的外接球的半径为，，

所在大圆，所对的弧长为，

点经过的路径长为．

故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）

【解答】（本题满分12分）

解：（1）由得：   即

又因为，36，成等差数列   所以

将代入得：

从而：，

所以：                                          ．（6分）

（2）

①

②

①②得：

．（12分）

【解答】解：由题意知，这4个人中每个人选择题目的概率为，选择题目的概率为，

记“这4个人中恰有人选择题目”为事件，1，2，3，，

，

（Ⅰ）这4人中恰有一人选择题目的概率为；

（Ⅱ）的所有可能取值为0，3，4，且，，，

的分布列是

所以．

【解答】证明：（1）连接，则和都是正三角形．

取中点，连接，，

因为为的中点，所以在中，，

因为，所以，

又因为，所以平面，

又平面，所以．

同理，

又因为，所以平面．

解：（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，

则，，，，2，，，0，，

，2，，，3，，

设平面的法向量为，，，

则，取，得，

取平面的法向量，0，，

则，

所以二面角的余弦值是．（12分）

【解答】解：（Ⅰ）设点坐标为，则

直线的斜率；

直线的斜率．

由已知有，

化简得点的轨迹的方程为．

（Ⅱ）设，，则．

直线的方程为，令，得点纵坐标为；

直线的方程为，令，得点纵坐标为；

设在点处的切线方程为，

由，得．

由△，得，

整理得．

将代入上式并整理得：，解得，

切线方程为．

令得，点纵坐标为．

设，则，

．

．

将代入上式，得，

解得，即．

【解答】解：（Ⅰ），

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值（e），

的最大值；（4分）

（Ⅱ），由（Ⅰ）及，得：

①当时，，，单调递减，当时，取得最小值（e）（a）．（6分）

②当，，（1），（e），所以存在，，且，

当时，，单调递减，当，时，，单调递增，

所以的最小值为（a）．（9分）

令（a），

因为，所以在，单调递减，此时，．

综上，（a），．（12分）

选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程](共1个小题，共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.)

【解答】解：（1）把直线的参数方程化为普通方程为．

由，可得，

曲线的直角坐标方程为．

（2）直线的倾斜角为，

直线的倾斜角也为，又直线过点，

直线线的参数方程为为参数），

将其代入曲线的直角坐标方程可得，

设点，对应的参数分别为，．

由一元二次方程的根与系数的关系知为，．

．

[选修4-5：不等式选讲]

【解答】．解：（1），

或或，．（3分）

解得：或或无解，

综上，不等式的解集是．（5分）

（2），

当时等号成立，．（7分）

不等式有解，

，

，或，

即或，

实数的取值范围是，，．（10分）

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日期：2019/12/17 21:23:40；用户：18434650699；邮箱：18434650699；学号：19737267