2019年浙江省杭州市中考数学试卷+答案+解析

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；

1．（3分）（2019•杭州）计算下列各式，值最小的是　　

A． B． C． D．

2．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　

A．， B．， C．， D．，

3．（3分）（2019•杭州）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

4．（3分）（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　

A． B． 

C． D．

5．（3分）（2019•杭州）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差

6．（3分）（2019•杭州）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　

A． B． C． D．

7．（3分）（2019•杭州）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　

A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 

C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于

8．（3分）（2019•杭州）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

9．（3分）（2019•杭州）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　

A． B． C． D．

10．（3分）（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　

A．或 B．或 C．或 D．或

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；

11．（4分）（2019•杭州）因式分解：　 　．

12．（4分）（2019•杭州）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于　　．

13．（4分）（2019•杭州）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　　（结果精确到个位）．

14．（4分）（2019•杭州）在直角三角形中，若，则　　．

15．（4分）（2019•杭州）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式　　．

16．（4分）（2019•杭州）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　．

三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）（2019•杭州）化简：

圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

18．（8分）（2019•杭州）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由．

19．（8分）（2019•杭州）如图，在中，．

（1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．

（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数．

20．（10分）（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时．

（1）求关于的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由．

21．（10分）（2019•杭州）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．

（1）求线段的长；

（2）若点为边的中点，连接，求证：．

22．（12分）（2019•杭州）设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

23．（12分）（2019•杭州）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．

（1）若，

①求证：．

②当时，求面积的最大值．

（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．

2019年浙江省杭州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；

1．（3分）计算下列各式，值最小的是　　

A． B． C． D．

【考点】：有理数的混合运算

【分析】有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

【解答】解：，

．

．

．，

故选：．

2．（3分）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则　　

A．， B．， C．， D．，

【考点】：关于轴、轴对称的点的坐标

【分析】直接利用关于轴对称点的性质得出答案．

【解答】解：点与点关于轴对称，

，．

故选：．

3．（3分）如图，为圆外一点，，分别切圆于，两点，若，则　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】：切线的性质

【分析】连接、、，根据切线的性质得出，，然后证得，即可求得．

【解答】解：连接、、，

，分别切圆于，两点，

，，

在和中，

，

，

，

故选：．

4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有人，则　　

A． B． 

C． D．

【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程

【分析】直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．

【解答】解：设男生有人，则女生人，根据题意可得：

．

故选：．

5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是　　

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差

【考点】：算术平均数；：中位数；：方差；：标准差

【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．

【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．

故选：．

6．（3分）如图，在中，点，分别在和上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则　　

A． B． C． D．

【考点】：相似三角形的判定与性质

【分析】先证明得到，再证明得到，则，从而可对各选项进行判断．

【解答】解：，

，

，

，

，

，

．

故选：．

7．（3分）在中，若一个内角等于另外两个内角的差，则　　

A．必有一个内角等于 B．必有一个内角等于 

C．必有一个内角等于 D．必有一个内角等于

【考点】：三角形内角和定理

【分析】根据三角形内角和定理得出，把代入求出即可．

【解答】解：，，

，

，

是直角三角形，

故选：．

8．（3分）已知一次函数和，函数和的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【考点】：一次函数的图象

【分析】根据直线①判断出、的符号，然后根据、的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．

【解答】解：、由①可知：，．

直线②经过一、二、三象限，故正确；

、由①可知：，．

直线②经过一、二、三象限，故错误；

、由①可知：，．

直线②经过一、二、四象限，交点不对，故错误；

、由①可知：，，

直线②经过二、三、四象限，故错误．

故选：．

9．（3分）如图，一块矩形木板斜靠在墙边，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于　　

A． B． C． D．

【考点】：解直角三角形的应用坡度坡角问题；：矩形的性质

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．

【解答】解：作于点，作于点，

四边形是矩形，

，

，，

，

，

，，

，

故选：．

10．（3分）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则　　

A．或 B．或 C．或 D．或

【考点】：抛物线与轴的交点

【分析】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与轴的交点个数，若一次函数，则与轴只有一个交点，据此解答．

【解答】解：，

△，

函数的图象与轴有2个交点，

，

函数，

当时，△，函数的图象与轴有2个交点，即，此时；

当时，不妨令，，，函数为一次函数，与轴有一个交点，即，此时；

综上可知，或．

故选：．

二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；

11．（4分）因式分解：　　．

【考点】54：因式分解运用公式法

【分析】根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．

【解答】解：，

故答案为：．

12．（4分）某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于　　．

【考点】：加权平均数

【分析】直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．

【解答】解：某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，

则这个数据的平均数等于：．

故答案为：．

13．（4分）一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　113　（结果精确到个位）．

【考点】：近似数和有效数字；：圆锥的计算

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积．

故答案为113．

14．（4分）在直角三角形中，若，则　或　．

【考点】：锐角三角函数的定义

【分析】讨论：若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值；若，设，则，利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求的值．

【解答】解：若，设，则，所以，所以；

若，设，则，所以，所以；

综上所述，的值为或．

故答案为或．

15．（4分）某函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式　　．

【考点】：反比例函数的性质；：正比例函数的性质；：一次函数的性质；：二次函数的性质

【分析】根据题意写出一个一次函数即可．

【解答】解：设该函数的解析式为，

函数满足当自变量时，函数值，当自变量时，函数值，

解得：，

所以函数的解析式为，

故答案为：．

16．（4分）如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　．

【考点】：矩形的性质；：翻折变换（折叠问题）

【分析】设，由翻折可知：，，因为△的面积为4，△的面积为1，推出，设，则，由△△，推出，推出，可得，再利用三角形的面积公式求出即可解决问题．

【解答】解：四边形是矩形，

，，设，

由翻折可知：，，

△的面积为4，△的面积为1，

，设，则，

△△，

，

，

，

或（舍弃），

，

，

，

，

，，，

，

矩形的面积．

故答案为

三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（6分）化简：

圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

【考点】：分式的加减法

【分析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．

【解答】解：圆圆的解答错误，

正确解法：

．

18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由．

【考点】：算术平均数；：折线统计图；：方差

【分析】（1）利用描点法画出折线图即可．

（2）利用方差公式计算即可判断．

【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：

（2）①．

②．

理由：．

，

．

19．（8分）如图，在中，．

（1）已知线段的垂直平分线与边交于点，连接，求证：．

（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接．若，求的度数．

【考点】：线段垂直平分线的性质；：等腰三角形的性质

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；

（2）根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．

【解答】解：（1）证明：线段的垂直平分线与边交于点，

，

，

，

；

（2）根据题意可知，

，

，，

，

，

，

．

20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时），且全程速度限定为不超过120千米小时．

（1）求关于的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达地，求小汽车行驶速度的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由．

【考点】：反比例函数的应用

【分析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；

（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入关于的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；

②8点至11点30分时间长为小时，将其代入关于的函数表达式，可得速度大于120千米时，从而得答案．

【解答】解：（1），且全程速度限定为不超过120千米小时，

关于的函数表达式为：，．

（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时

将代入得；将代入得．

小汽车行驶速度的范围为：．

②方方不能在当天11点30分前到达地．理由如下：

8点至11点30分时间长为小时，将代入得千米小时，超速了．

故方方不能在当天11点30分前到达地．

21．（10分）如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．

（1）求线段的长；

（2）若点为边的中点，连接，求证：．

【考点】：矩形的性质；：正方形的性质

【分析】（1）设出正方形的边长，然后根据，即可求得线段的长；

（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出和的长，即可证明结论成立．

【解答】解：（1）设正方形的边长为，

正方形的边长为1，

，

，

，

解得，（舍去），，

即线段的长是；

（2）证明：点为边的中点，，

，

，

，，

，

．

22．（12分）设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

【考点】：抛物线与轴的交点；：二次函数的性质；：二次函数的最值；：二次函数图象上点的坐标特征

【分析】（1）将，代入求出函数解析式即可求解；

（2）对称轴为，当时，是函数的最小值；

（3）将已知两点代入求出，，再表示出，由已知，可求出，，即可求解．

【解答】解：（1）当时，；当时，；

二次函数经过点，，

，，

，

当时，，

乙说点的不对；

（2）对称轴为，

当时，是函数的最小值；

（3）二次函数的图象经过和两点，

，，

，

，，

．

23．（12分）如图，已知锐角三角形内接于圆，于点，连接．

（1）若，

①求证：．

②当时，求面积的最大值．

（2）点在线段上，，连接，设，，是正数），若，求证：．

【考点】：圆的综合题

【分析】（1）①连接、，则，即可求解；②长度为定值，面积的最大值，要求边上的高最大，即可求解；

（2），而，即可求解．

【解答】解：（1）①连接、，

则，

，

；

②长度为定值，

面积的最大值，要求边上的高最大，

当过点时，最大，即：，

面积的最大值；

（2）如图2，连接，

设：，

则，，

则，

，

，

，，

即：，

化简得：．