数学苏科版9.4 矩形、菱形、正方形测试题

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9.4矩形、菱形、正方形同步练习苏科版初中数学八年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，为上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、正方形，设，则为

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，为中点，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，在平面直角坐标系中，对角线为的正方形，点在轴的正半轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为

A.
B.
C.
D.

4. 已知菱形的面积为，对角线的长分别为和，则关于的函数图象是

A.  B.
C.  D.

5. 在边长为的正方形中，为上的一动点，为中点，交延长线于，过作交的延长线于，则下列结论：≌；；当为中点时，；若为的中点，当从移动到时，线段扫过的面积为，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足的点的个数是

A.
B.
C.
D.

7. 如图是德国年发行的纪念在柏林召开的国际数学家大会的邮票面值为芬尼，它的图案是一个矩形，这个矩形被分割成大小不相同的个正方形，这是“矩形求方”问题的一种解法，如果图中所有的正方形的边长都是整数，那么这个矩形周长的最小值是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在菱形中，是对角线上一动点，过点作于点于点若菱形的周长为，面积为，则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为

A.
B.
C.
D.

11. 如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为     ．

A.
B.
C.
D.

12. 如图，中，，垂直平分，，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. “七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图是由边长为的正方形薄板分为块制作成的“七巧板”，图是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中块图形之一的正方形边长为______结果保留根号．

14. 如图：在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是______．
     

15. 如图，四边形为矩形，点，分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为______．
     

16. 如图，菱形中，交于，于，连接，若，则______．
     

17. 如图，四边形是正方形，延长到点，使，连接，则的度数是               ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点、．
    
    求证：四边形是菱形；
    若，，求菱形的周长．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处已知，．
    求证：是等腰三角形；
    求线段的长．
     

20. 已知：如图，在▱中，点、分别在、上，且平分，求证：四边形是菱形．

21. 如图，在中，将沿着方向平移得到，其中点在边上，与相交于点．
    求证：为等腰三角形；
    连接、、，当点在什么位置时，四边形为矩形，并说明理由．
     

22. 如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线分别交、外角的平分线于点、．
    若，，求的长；
    连接、问：当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由．

23. 如图，矩形中，，，过对角线中点的直线分别交，边于点，．
    求证：四边形是平行四边形；
    当四边形是菱形时，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，等边的顶点，在矩形的边，上，且．
    求证：矩形是正方形．
    
    
     

25. 如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．
    求证：四边形是菱形；
    若，，求的长．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：四边形为正方形，
，
，
，
四边形、是正方形，
，，，
在和中，

≌，
．
故选：．
根据正方形的性质先表示出的度数，然后利用“”证明≌，证得即可求得答案．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，对于解决四边形的问题往往是通过解决三角形的问题而实现的．
 

2.【答案】
 

【解析】解：四边形为菱形，
，，，
在中，，
为中点，
．
故选：．
先根据菱形的性质得到，，，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到的长．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
 

3.【答案】
 

【解析】解：正方形对角线，正方形是正方形的对角线为边，
，
点坐标为，
同理可知，点坐标为，
同理可知，点坐标为，
点坐标为，点坐标为，
，，
，，
由规律可以发现，每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
，
的纵横坐标符号与点的相同，横坐标为负值，纵坐标是，
的坐标为．
故选：．
首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标．
本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由题意可知：，
，
故选：．
根据菱形的面积列出等式后即可求出关于的函数式．
本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用菱形的面积公式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，，，
≌，故正确，
作于，于，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，故正确，
连接则，，设，
则，
，故错误，
当在点时，与重合，的中点在的中点处，当运动到时，的中点与重合，
故EH扫过的面积为的面积，故正确．
故选：．
利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可；
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在上找到点，使点到点和点的距离之和最小是本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，可得点到点和点的距离之和最小，可求最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，交于点，

点，将对角线三等分，且，
，，
点与点关于对称，
，，
，
，
则在线段存在点到点和点的距离之和最小为，
在点右侧，当点与点重合时，
则，
点在上时，
，
在点左侧，当点与点重合时，
，
，，，
≌，
，
，
点在上时，，
在线段上点的左右两边各有一个点使，
同理在线段，，上都存在两个点使．
即共有个点满足，
故选：．  

7.【答案】
 

【解析】解：设最小，次小和中间小正方形的边长分别为、、，如图所示，正方形的边长均写在正方形内，
则，
得，
由大长方形的宽得：，
，
，
由得：，
所有的正方形的边长都是整数，
，
的最小值是，从而和的最小值是和，
此时长方形的邻边的长分别为：，
，
所求长方形的最小周长，
故选：．
设最小，次小和中间小正方形的边长分别为、、，如图所示，根据正方形的边长相等分别将各个正方形的边长计算出来，并写在正方形内，根据矩形的宽列式为：，最大正方形的边长相等列式为：，组成方程组求整数解即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，熟练掌握正方形的边长相等，设未知数表示各边长是关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：连接，如图，
四边形为菱形，菱形的周长为，
，，
，
，
，
故选：．
连接，如图，根据菱形的性质得，，然后利用三角形面积公式，由，得到，再整理即可得到的值．
本题考查了菱形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据折叠的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
将四边形沿折叠，点恰好落在边上，
，，
，
，
设，则，，
，
解得．
故选：．
由正方形的性质得出，由折叠的性质得出，，设，则，，由直角三角形的性质可得：，解方程求出即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
先设正方形的边长为，再根据对角线长为求出的值，由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论．
【解答】
解：如图，

解：设正方形的边长为，则，解得，
翻折变换的性质可知，，，
阴影部分的周长．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，先根据线段垂直平分线的性质及得出是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出的度数，由，，可知，，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【解答】
解：垂直平分，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：如图，大正方形面积为，
则小正方面积为，
所求小正方形的边长为：．
答：该“七巧板”中块图形之一的正方形边长为．
故答案为：．
观察图形可知该“七巧板”中块图形之一的正方形面积是大正方形面积的，先根据正方形面积公式求出大正方形面积，从而得到小正方形面积，进一步得到该“七巧板”中块图形之一的正方形边长．
考查了七巧板，关键是得到该“七巧板”中块图形之一的正方形面积是大正方形面积的．
 

14.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
，
设，则，
，且点是的中点，
是的垂直平分线，
，
在中，

解得，
的长是．
故答案为：．
连接，设，则，判断出是的垂直平分线，即可推得，然后在中，根据勾股定理，求出的长是多少即可．
此题主要考查了矩形的性质、中垂线的性质和勾股定理，熟练掌握矩形的对角线互相平分和中垂线的性质是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，能根据勾股定理得出关于的方程是解此题的关键．过作于，根据矩形的性质和的坐标求出，，，求出，根据勾股定理求出，，在中，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案．

【解答】
解：过作于，

四边形是矩形，，
，，，
平分，
，
由勾股定理得：，，
，
由勾股定理得：，
在中，，
即，
解得：，
所以的坐标为
故答案为

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质，得到为直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
由菱形的性质可知为中点，所以为直角三角形斜边上的中线，由此可得，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出的度数．
【解答】
解：四边形是菱形，
，
于，
为直角三角形斜边上的中线，
，
，
，
，
，
，
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】】此题主要考查的是正方形、等腰三角形的性质及三角形内角和定理根据正方形的性质，易知；等腰中，根据三角形内角和定理可求得的度数，进而可由得出的度数．
【解答】
解：四边形是正方形，
；
中，，则：
 ；
．
答案为．  

18.【答案】证明：，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证≌，得出，由，证出四边形是平行四边形，进而得出结论；
由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，即可得出答案．
 

19.【答案】证明：由折叠性质可知，，
由矩形性质可得，
，
．
，
故为等腰三角形．
解：由折叠可得，设，
则，
，
在中，有，
即，解得：．
由结论可得，
故FD．
 

【解析】由折叠性质可知，由可得，所以，由等角对等边即可得证；
由折叠性质并结合中结论可设，则，在中，根据勾股定理建立方程，即，解得，则．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等腰三角形的证明，平行线的性质，勾股定理，根据勾股定理建立方程求解线段长是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】先证四边形是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可得，可得结论．
本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质等知识，证明是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
平移得到，
，
，
，
，
即为等腰三角形；
解：当为的中点时，四边形是矩形，

理由是：，为的中点，
，，
平移得到，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
 

【解析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、平移的性质、等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
根据等腰三角形的性质得出，根据平移得出，求出，再求出即可；
证出四边形是平行四边形，再证出四边形是矩形即可．
 

22.【答案】证明：交的平分线于点，交的外角平分线于点，
，，
，
，，
，，
，，
；
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形．理由如下：
连接、，如图所示：
当为的中点时，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
 

【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，证出，，由勾股定理求出，即可得出答案；
根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出是解题关键．
 

23.【答案】证明：四边形是矩形，是的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：当四边形是菱形时，，
设，则 ，，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
根据平行四边形的性质，判定≌，得出四边形的对角线互相平分，进而得出结论；
在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，由勾股定理求出，得出，再由勾股定理求出，即可得出的长．
 

24.【答案】解：四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
≌，
，
矩形是正方形．
 

【解析】先判断出，，进而求出，进而判断出≌，即可得出结论．
此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出是解本题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
又平分，
，
，
，
同理：，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，，
，，
，
设，，
根据勾股定理得
，
解得，
．
 

【解析】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行线的性质和角平分线定义得出，证出，同理：，得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论；
由菱形的性质得出，，再根据含的直角三角形的性质和勾股定理即可得出的长．