2021年福建省龙岩市永定区中考数学质检试卷

这是一份2021年福建省龙岩市永定区中考数学质检试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）﹣2是2的（ ）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2．（4分）如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5B．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．a•a2＝a3
4．（4分）2021年5月11日上午10时国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，与2010年第六次全国人口普查相比，31个省份中，有25个省份人口增加．人口增长较多的5个省份依次为：广东、河南、浙江、江苏、山东，分别增加2170万人、534万人、573万人、1014万人，608万人，这五个数据中，中位数是（ ）
A．534万B．573万C．1014万D．608万
5．（4分）平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等B．互相平分
C．互相垂直D．互相垂直且相等
6．（4分）据世界卫生组织统计，截止2021年5月15日14时21分，全球累计确诊新冠肺炎病例数为161901969人，将数据161901969精确到百万位后用科学记数法表示为（ ）
A．161×106B．1.61×108C．1.62×108D．162×106
7．（4分）随着世界新冠疫情日趋严峻，呼吸机紧缺，某工厂号召全体员工积极投身到防疫斗争中，现在平均每天比原计划多生产50台呼吸机，现在生产600台呼吸机所需时间与原计划生产450台呼吸机所需时间相同，设原计划平均每天生产x台呼吸机，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是﹣a，点B表示的数是a2﹣a，如果A，B两点关于原点对称，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．0或2
9．（4分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6B．7C．8D．10
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接写在答题卡相应位置上
11．（4分）计算：（﹣2）0+|﹣2|＝ ．
12．（4分）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为 ．
13．（4分）刚刚结束的体育中考中，某一组考生在参加足球测试时获得的成绩如下：3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，4，x，5，5，5，5，5，5，5，5这组数据的众数是5，则这组数据的平均数是 ．
14．（4分）若m2+2m﹣1＝0，则代数式2m2+4m﹣3的值为 ．
15．（4分）如图，边长为3的等边△OAB的两个顶点A、B恰好在同一条双曲线y＝上，O为原点，则k＝ ．
16．（4分）直线与x轴、y轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与x轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ．
三、解答题：本大题共9题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在数轴上表示出来．
18．（8分）先化简，再求值：（）÷，其中a＝2﹣．
19．（8分）解方程组：．
20．（8分）如图，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点．求证：BM＝CM．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图，在BC上作一点E，使得∠DAE＝∠D．
（2）在（1）的条件下，若点E恰好是BC的中点，连接AC恰好AC⊥AB，求∠B的度数．
22．（10分）今年是中国共产党百年华诞，中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启．红五月期间某校响应区团委以“红心向党，争做先锋”为主题的手抄报比赛，积极开展此项活动，学校将收到的手抄报幅数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．
据图中提供的信息完成以下问题．
（1）计算扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是 °，并补全条形统计图．
（2）经过评审，全校有4幅手抄报荣获特等奖，其中只有一幅来自七年级，学校准备从特等奖手抄报中任选两幅参加区级的手抄报比赛，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率．
23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客入住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．
（1）扣除各种费用后的总收入为10640元，且入住率超过60%时，有几间房空闲？
（2）定价为多少时，宾馆可获最大利润？
24．（12分）如图，已知点C是半圆的中点，O是圆心，AB是直径，点P是过点A且垂直于AB的直线上一点，射线PC恰好经过的中点D，点P与点E关于弦AC对称．
（1）求证：AC＝AP；
（2）求证：∠AEC＝∠DEB．
（3）连接BD，若△BDE、△CDE、△ACE的面积分别为S1，S2，S3，求证：．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+c（a＜0，c＞0）与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，O为坐标原点．
（1）若点C的坐标为（4，0），且抛物线经过点D（1，3）．①求此抛物线的解析式；②若抛物线上有一点E，刚好满足∠EDO＝∠DOC，求点E的坐标．
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点M，作直线MA，MC分别交y轴于点F、点G．探索线段OF，OG，OB的数量关系，并说明理由．
2021年福建省龙岩市永定区中考数学质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求
1．（4分）﹣2是2的（ ）
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：﹣2是2的相反数，
故选：B．
2．（4分）如图所示的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据几何体的主视图就是从正面看所得到的图形，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得第一层有4个正方形，第二层左二有一个正方形．
故选：A．
3．（4分）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5B．（a2）3＝a5C．a6÷a2＝a3D．a•a2＝a3
【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加，对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与2a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故本选项错误；
D、a•a2＝a1+2＝a3，故本选项正确．
故选：D．
4．（4分）2021年5月11日上午10时国新办举行新闻发布会，介绍第七次全国人口普查主要数据结果，与2010年第六次全国人口普查相比，31个省份中，有25个省份人口增加．人口增长较多的5个省份依次为：广东、河南、浙江、江苏、山东，分别增加2170万人、534万人、573万人、1014万人，608万人，这五个数据中，中位数是（ ）
A．534万B．573万C．1014万D．608万
【分析】将这组数据重新排列，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：将这组数据重新排列为534万、573万、608万、1014万、2170万，
所以这组数据的中位数为608万，
故选：D．
5．（4分）平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A．相等B．互相平分
C．互相垂直D．互相垂直且相等
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
6．（4分）据世界卫生组织统计，截止2021年5月15日14时21分，全球累计确诊新冠肺炎病例数为161901969人，将数据161901969精确到百万位后用科学记数法表示为（ ）
A．161×106B．1.61×108C．1.62×108D．162×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：161901969≈162000000＝1.62×108．
故选：C．
7．（4分）随着世界新冠疫情日趋严峻，呼吸机紧缺，某工厂号召全体员工积极投身到防疫斗争中，现在平均每天比原计划多生产50台呼吸机，现在生产600台呼吸机所需时间与原计划生产450台呼吸机所需时间相同，设原计划平均每天生产x台呼吸机，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设原计划平均每天生产x台呼吸机，则实际平均每天生产（x+50）台呼吸机，根据题意可得，现在生产600台所需时间与原计划生产450台呼吸机所需时间相同，据此列方程即可．
【解答】解：设原计划平均每天生产x台呼吸机，则实际平均每天生产（x+50）台呼吸机，
由题意得，＝．
故选：A．
8．（4分）在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是﹣a，点B表示的数是a2﹣a，如果A，B两点关于原点对称，那么a的值是（ ）
A．﹣2B．0C．2D．0或2
【分析】利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程检验即可．
【解答】解：∵A，B两点关于原点对称，
∴﹣a+a2﹣a＝0，
解得a＝0或a＝2，
∵A、B是不同的两点，
当a＝0时，﹣a＝a2﹣a＝0，不符合题意，舍去；
∴a的值是2；
故选：C．
9．（4分）如图，平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A′B′C′，则点P的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）
【分析】连接AA′，CC′，线段AA′，CC′的垂直平分线的交点即为所求的点P．
【解答】解：如图，点P即为所求，P（1，2）．
故选：B．
10．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，则x1+x2的值为（ ）
A．6B．7C．8D．10
【分析】先把a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝﹣+2，再根据对称轴公式求出∴﹣＝6，代入即可．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一次方程a（x﹣1）2+c＝m2+b﹣bx的两根，
∴ax2+（b﹣2a）x+a+c﹣m2﹣b＝0，
∴x1+x2＝﹣＝﹣+2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∴﹣＝＝3，
∴﹣＝6，
∴x1+x2＝6+2＝8．
故选：C．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题4分，共24分.请把答案直接写在答题卡相应位置上
11．（4分）计算：（﹣2）0+|﹣2|＝ 3 ．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1+2
＝3．
故答案为：3．
12．（4分）正多边形的一个内角为135°，则该正多边形的边数为 8 ．
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数n＝＝8，
∴该正多边形为正八边形，
故答案为8．
13．（4分）刚刚结束的体育中考中，某一组考生在参加足球测试时获得的成绩如下：3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，4，x，5，5，5，5，5，5，5，5这组数据的众数是5，则这组数据的平均数是 4.3 ．
【分析】根据众数的意义可求出x的值，再根据平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：由于这组数据中“3”由3个，“4”有8个，“5”有8个，而这组数据的众数是5，
所以x＝5，
所以平均数为＝4.3，
故答案为：4.3．
14．（4分）若m2+2m﹣1＝0，则代数式2m2+4m﹣3的值为 ﹣1 ．
【分析】根据m2+2m﹣1＝0，可以得到m2+2m＝1，然后代入所求的式子，然后计算即可．
【解答】解：∵m2+2m﹣1＝0，
m2+2m＝1，
∴2m2+4m﹣3
＝2（m2+2m）﹣3
＝2×1﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（4分）如图，边长为3的等边△OAB的两个顶点A、B恰好在同一条双曲线y＝上，O为原点，则k＝ ．
【分析】作AC⊥y轴，作BD⊥x轴，设点A（m，），B（n，），由两个点都在函数图象上得到m2+（）2＝n2+（）2＝9，得到k＝mn，从而得到点A（m，n），B（n，m），再根据AB2＝（xB﹣xA）2+（yB﹣yA）2＝（n﹣m）2+（m﹣n）2＝9，与OA2＝m2+n2＝9，得出答案．
【解答】解：作AC⊥y轴，作BD⊥x轴，
∵点A和点B都在反比例函数的图象上，
设点A（m，），B（n，），则
∵等边△OAB的边长为3，
∴OA2＝OB2＝AB2＝9，
∴m2+（）2＝n2+（）2＝（n﹣m）2+（﹣）2＝9，
∴k2＝（mn）2，m2+n2＝9，
∵函数图象在第一象限，
∴k＞0，
∴k＝mn，
∴A（m，n），B（n，m），
∵AB2＝9，
∴（n﹣m）2+（m﹣n）2＝2m2﹣4mn+2n2＝9，
∴18﹣4k＝9，
∴k＝，
故答案为：．
16．（4分）直线与x轴、y轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与x轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ﹣2 ．
【分析】过点C作CE⊥AB交AB于点E，与圆C交于点P，根据直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A和B点，可得B点坐标是（0，﹣2），A点坐标是（﹣4，0），则有OA＝4，OB＝2，AB＝＝2，再根据圆心为（0，2）的圆C与x轴相切，可得OC＝2，BC＝4，根据S△ABC＝AB×CE＝BC×OA，可求得CE＝，利用PE＝CE﹣OC，可求得结果．
【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AB交AB于点E，与圆C交于点P，PE即为所求，
直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于A和B点，
∴当x＝0时，y＝﹣2，
∴B点坐标是（0，﹣2），
∵当y＝0时，x＝﹣4，
∴A点坐标是（﹣4，0），
∴OA＝4，OB＝2，
∴AB＝＝2，
又∵圆心为（0，2）的圆C与x轴相切，
∴OC＝2，BC＝OB+OC＝2+2＝4，
∴S△ABC＝AB×CE＝BC×OA，
∴CE＝＝＝，
∴PE＝CE﹣OC＝﹣2，
故答案为：﹣2．
三、解答题：本大题共9题，共86分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（8分）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】移项，合并同类项，系数化为1即可求出不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．
【解答】解：移项得，7x﹣5x≤2，
合并同类项得，2x≤2，
系数化为1得，x≤1．
在数轴上表示为：
．
18．（8分）先化简，再求值：（）÷，其中a＝2﹣．
【分析】将括号内的部分通分，相加后再将除法转化为乘法，然后约分．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝•
＝，
当a＝2﹣时，原式＝＝﹣．
19．（8分）解方程组：．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可．
【解答】解：，
①﹣②，得3y＝6，
解得y＝2，
将y＝2代入①，得x＝，
∴方程组的解为．
20．（8分）如图，已知，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点．求证：BM＝CM．
【分析】用AAS证明△BCE≌△CBD即可解决问题；
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠EBC＝∠DCB，
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在△BEC和△CDB中，
，
∴△BEC≌△CDB，
∴∠2＝∠1，
∴BM＝CM．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图，在BC上作一点E，使得∠DAE＝∠D．
（2）在（1）的条件下，若点E恰好是BC的中点，连接AC恰好AC⊥AB，求∠B的度数．
【分析】（1）以A为圆心AB为半径画弧交BC于点E，点E即为所求．
（2）证明△ABE是等边三角形可得结论．
【解答】（1）解：如图，∠DAE即为所求．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC，
以A为圆心AB为半径画弧交BC于点E，
∴四边形AECD是等腰梯形，
∴AE＝CD，
∴∠DAE＝∠ADC．
（2）证明：∵点E恰好是BC的中点，AC⊥AB，
∴AE＝BE．
由（1）知：AE＝AB，
∴AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
22．（10分）今年是中国共产党百年华诞，中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启．红五月期间某校响应区团委以“红心向党，争做先锋”为主题的手抄报比赛，积极开展此项活动，学校将收到的手抄报幅数按年级进行统计，绘制了以下两幅统计图（不完整）．
据图中提供的信息完成以下问题．
（1）计算扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是 144 °，并补全条形统计图．
（2）经过评审，全校有4幅手抄报荣获特等奖，其中只有一幅来自七年级，学校准备从特等奖手抄报中任选两幅参加区级的手抄报比赛，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率．
【分析】（1）根据七年级的篇数和所占的百分比求出总篇数，用总篇数减去其他篇数求出八年级的篇数，再用360°乘以八年级篇数所占的百分比即可得出“八年级”对应的圆心角度数，最后补全统计图即可；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总篇数：25÷25%＝100（篇），
八年级的篇数有：100﹣25﹣35＝40（篇），
扇形统计图中“八年级”对应的圆心角是360°×＝144°；
补全条形统计图如图所示：
故答案为：144；
（2）七年级一片用A表示，其他年级的篇数用B、C、D表示，根据题意列表如下：
由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的有6种结果，
则七年级特等奖手抄报被选送参加区级比赛的概率是＝．
23．（10分）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客入住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．
（1）扣除各种费用后的总收入为10640元，且入住率超过60%时，有几间房空闲？
（2）定价为多少时，宾馆可获最大利润？
【分析】（1）设每个房间的定价为a元，根据已知列出方程求解，再检验入住率是否超过60%即可；
（2）根据已知列出函数解析式，再由函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：（a﹣20）（50﹣）＝10640，
解得：a＝300或a＝400，
当a＝300时，50﹣＝38，入住率超过60%，符合题意，此时有12间房间空闲，
当a＝400时，50﹣＝28，入住率没有超过60%，不符合题意，
答：若宾馆某一天获利10640元，则房价定为300元，此时入住率超过60%，有12间房空闲；
（2）设房价增加x元时，利润为w，
则w＝（180﹣20+x）（50﹣）
＝﹣x2+34x+8000
＝﹣（x﹣170）2+10890，
∴当x＝170时，即房价是350元时，利润最大．
24．（12分）如图，已知点C是半圆的中点，O是圆心，AB是直径，点P是过点A且垂直于AB的直线上一点，射线PC恰好经过的中点D，点P与点E关于弦AC对称．
（1）求证：AC＝AP；
（2）求证：∠AEC＝∠DEB．
（3）连接BD，若△BDE、△CDE、△ACE的面积分别为S1，S2，S3，求证：．
【分析】（1）连接OC、OD，标角如图，点C是半圆的中点，可得∠1＝90°，由等腰三角形的性质可得，∠2＝∠3＝45°，由D是的中点，可得∠4＝45°，可求出∠5＝67.5°，再求得∠OCD＝∠P＝67.5°，即可证明AC＝AP；
（2）标角如图，由D是的中点，可得∠4＝∠6＝45°，由折叠可得∠P＝∠AEC＝67.5°，∠ACE＝∠ACP＝67.5°，∠7＝45°，可证C、O、E、D四点共圆，可得∠4＝∠8＝45°，可求得∠BED＝67.5°，即可证明结论；
（3）如图，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，设⊙O的半径为a，用a表示出AE、OC、CD、DE、BE和DF的长度，再用a表示出S1，S2，S3的值，进而代入计算即可证明结论．
【解答】（1）证明：连接OC、OD，标角如图，
∵点C是半圆的中点，
∴∠1＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3＝45°，
∵D是的中点，
∴∠4＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝＝67.5°，
∴∠5＝180°﹣∠OCD﹣∠3＝67.5°，
∵PA⊥AB，
∴∠1+∠PAB＝180°，
∴PA∥OC，
∴∠P＝∠OCD＝67.5°，
∴∠P＝∠5，
∴AC＝AP；
（2）证明：标角如图，
由（1）可得∠5＝∠P＝67.5°，
∵D是的中点，
∴∠4＝∠6＝45°，
由折叠可得∠P＝∠AEC＝67.5°，∠ACE＝∠5＝67.5°，
∴∠7＝45°，
∴DE所对的∠7＝∠6，
∴C、O、E、D四点共圆，
∴∠4＝∠8＝45°，
∴∠BED＝180°﹣∠AEC﹣∠8＝67.5°，
∴∠AEC＝∠BED；
（3）证明：如图，连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，
设⊙O的半径为a，则AE＝AC＝a，DF＝OF＝a，
∴BD＝＝＝a，BE＝AB﹣AE＝2a﹣a＝（2﹣）a，
∵D是的中点，
∴CD＝BD＝a，
∵∠7＝∠8＝45°，
∴∠CDE＝90°，
∴△CDE为等腰直角三角形，
∴S3＝•AE•OC＝•a•a＝a2，
S2＝•CD•DE＝•a•a＝a2，
S1＝•BE•DF＝•（2﹣）a•a＝a2，
∴＝＝．
25．（14分）已知抛物线y＝ax2+c（a＜0，c＞0）与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，O为坐标原点．
（1）若点C的坐标为（4，0），且抛物线经过点D（1，3）．①求此抛物线的解析式；②若抛物线上有一点E，刚好满足∠EDO＝∠DOC，求点E的坐标．
（2）在x轴上方的抛物线上有一动点M，作直线MA，MC分别交y轴于点F、点G．探索线段OF，OG，OB的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①把C点和D点坐标代入函数解析式；
②分为两种情况，根据对称性求一点，另一点先求出DE与x轴交点，求出DE函数解析式，然后求一次函数和抛物线交点；
（2）利用平行线分线段成比例定理求出OF和OG，然后运算OF+OG．
【解答】解：（1）①由题意得，
，
∴﹣，
∴y＝﹣x2+，
②如图1，
当DE∥OC时（图中E′），
∠EDO＝∠DOC，
∴E（2，3），
当∠ODE＝∠DOC时，
DF＝OF，
设F（x，0），
（x﹣1）2+32＝x2，
∴x＝5，
设直线DE的解析式损失：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+，
由﹣x+＝﹣x2+得，
x1＝1，x2＝，
当x＝时，y＝，
∴E（，），
综上所述：当E（2，3）或（，），时，∠EDO＝∠DOC；
（2）如图2，
设M（x，ax2+c），（不妨设M在第一象限），
∴ON＝x，MN＝ax2+c，
由ax2+c＝0得，
x1＝，x2＝﹣，
∴OC＝OA＝，
∵OF∥MN，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
∴OF＝•（ax2+c）
OG＝，•（a2x+c），
∴OF+OG＝•（ax2+c）+，•（a2x+c）
＝•（ax2+c）•（+）
＝•（ax2+c）•
＝（ax2+c）•
＝2c
∴OF+OG＝2OB．
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
AB
BC
BD
C
AC
BC
CD
D
AD
BD
CD