新高考数学一轮复习教师用书：第九章　7 第7讲　抛物线学案

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第7讲　抛物线

1．抛物线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：
(1)在平面内；
(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；
(3)定点不在定直线上．
2．抛物线的标准方程和几何性质
标准方程
y2＝2px (p＞0)
y2＝－2px (p＞0)
x2＝2py (p＞0)
x2＝－2py (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)
(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)
(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　)
(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[教材衍化]
1．(选修2­1P72练习T1改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)
A．y2＝－x或x2＝y
B．y2＝x或x2＝y
C．y2＝x或x2＝－y
D．y2＝－x或x2＝－y
解析：选A.设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选A.
2．(选修2­1P73A组T3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)
A．0个　　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．4个
解析：选C.设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点P有两个．故选C.
[易错纠偏]
(1)忽视抛物线的标准形式；
(2)忽视p的几何意义；
(3)易忽视焦点的位置出现错误．
1．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为(　　)
A．(0，－2) B．(0，2)
C. D.
解析：选C.由8x2＋y＝0，得x2＝－y.
2p＝，p＝，所以焦点为，故选C.
2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)
A．y2＝±2x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4x
解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
3．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．
解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
答案：y2＝16x或x2＝－8y


　　　　　　抛物线的定义、标准方程与应用(高频考点)
抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．主要命题角度有：
(1)求抛物线的标准方程；
(2)求抛物线上的点与焦点的距离；
(3)求距离和的最值．
角度一　求抛物线的标准方程
已知动圆过定点F，且与直线x＝－相切，其中p>0，则动圆圆心的轨迹E的方程为________．
【解析】　依题意得，圆心到定点F的距离与到直线x＝－的距离相等，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y2＝2px.
【答案】　y2＝2px
角度二　求抛物线上的点与焦点的距离
已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝____________．
【解析】　法一：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝±2，所以N(0，±4)，|FN|＝＝6.
法二：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2，0)，准线x＝－2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|＝1－(－2)＝3，|FN|＝2|MF|＝6.
【答案】　6
角度三　求距离和的最值
已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
【解析】　如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
【答案】　4

(变条件)若本例中的B点坐标改为(3，4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．
解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，
所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝＝2.即|PB|＋|PF|的最小值为2.

抛物线定义的应用
(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　

1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C．3 D．2
解析：选C.因为＝4，
所以||＝4||，所以＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，
则|AF|＝4，
所以＝＝，
所以|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QF|＝|QQ′|＝3.
2.如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.由题图可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，如图所示，则l的方程为x＝－1.因为点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1.在△CAN中，BM∥AN，所以 ＝＝.

　　　　　　抛物线的性质及应用
(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
(2)(2020·宁波模拟)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为(　　)
A．2 B.
C. D.
【解析】　(1)由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B.
(2)由题意知x2＝y，则F，设P(x0，2x)，则|PF|＝＝＝2x＋，所以当x＝0时，|PF|min＝.
【答案】　(1)B　(2)D

抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．　

1．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选A.由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.
2．(2020·浙江省名校协作体高三联考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝
解析：选B.设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
3．(2020·杭州中学高三月考)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则F到l的距离为________，|FB|＝________．
解析：依题意可知F点坐标为，
所以B点坐标为，代入抛物线方程解得p＝，
所以F到l的距离为，|FB|＝＋＝.
答案：　

　　　　　　抛物线与圆的交汇
(1)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)
A．相离 B．相切
C．相交但不经过圆心 D．相交且经过圆心
(2)(2020·杭州市高三模拟)已知点A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为其焦点，以F为圆心，以|FA|为半径的圆交准线于B，C两点，△FBC为正三角形，且△ABC的面积是，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝12x B．y2＝14x
C．y2＝16x D．y2＝18x
【解析】　(1)设圆心为M，过点A，B，M作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，
所以|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
(2)由题意，如图可得＝cos 30°及|DF|＝p，
可得|BF|＝，
从而|AF|＝，
由抛物线的定义知点A到准线的距离也为，
又因为△ABC的面积为，所以××＝，
解得p＝8，故抛物线的方程为y2＝16x.
【答案】　(1)B　(2)C

解抛物线与圆的交汇问题的方法
(1)利用圆的几何特征与抛物线的几何特征相结合，转化为两者的元素关系列出相应关系式．
(2)利用圆的定义与抛物线的定义相结合建立相关的代数关系是求解圆与抛物线综合问题的有效方法．　
　设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上的一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　)
A．(0，2) B．[0，2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.设圆的半径为r，因为F(0，2)是圆心，抛物线C的准线方程为y＝－2，由圆与准线相交知r>4，因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上的一点，所以r＝|FM|＝y0＋2＞4，所以y0＞2.
[基础题组练]
1．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．－1
C．－ D．－
解析：选C.由已知得准线方程为x＝－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率k＝＝－.
2．已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x2＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是(　　)
A．x2＝2y B．x2＝y
C．x2＝y D．x2＝y
解析：选A.由题意得，F，不妨设A，B(－p，－)，所以S△FAB＝·2p·p＝1，则p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y，故选A.
3．(2020·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置(　　)
A．在C开口内 B．在C上
C．在C开口外 D．与p值有关
解析：选B.设B，由已知有AB中点的横坐标为，则A，△ABF是边长|AB|＝2p的等边三角形，即|AF|＝ ＝2p，所以p2＋m2＝4p2，所以m＝±p，所以A，代入y2＝2px中，得点A在抛物线C上，故选B.
4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有(　　)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．|FP1|＋|FP3|＝2|FP2|
D．|FP1|·|FP3|＝|FP2|2
解析：选C.根据抛物线的定义知|FP1|＝x1＋，|FP2|＝x2＋，|FP3|＝x3＋，
所以|FP1|＋|FP3|＝＋＝(x1＋x3)＋p＝2x2＋p＝2＝2|FP2|.
5．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)
A．4 B．3
C．4 D．8
解析：选C.F(1，0)，直线AF：y＝(x－1)，代入y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，
解得x＝3或x＝.
由于点A在x轴上方且直线的斜率为，所以其坐标为(3，2)．
因为|AF|＝|AK|＝3＋1＝4，AF的斜率为，即倾斜角为60°，所以∠KAF＝60°，
所以△AKF为等边三角形，
所以△AKF的面积为×42＝4.
6．(2020·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线Г交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若＝m，则cos α的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－.
如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足分别为M，N.
在△ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，
由＝m，|AF|＝m|BF|，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(m＋1)|BF|，
根据抛物线的定义得，|AM|＝|AF|＝m|BF|，|BN|＝|BF|，
所以|AC|＝|AM|－|MC|＝m|BF|－|BF|＝(m－1)|BF|，
在Rt△ABC中，cos α＝cos ∠BAC＝＝＝，故选A.
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为________．
解析：设M(xM，yM)，由抛物线定义可得|MF|＝xM＋＝2p，解得xM＝，代入抛物线方程可得yM＝±p，则直线MF的斜率为＝＝±.
答案：±
8．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，○·M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与○·M相切，那么p的值为________．
解析：将○·M的方程化为标准方程(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4，0)，半径r＝2，又因为抛物线的准线方程为x＝－，所以＝2，p＝12或4.
答案：12或4
9．若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．
解析：由题意得抛物线与圆不相交，
且圆的圆心为A(3，0)，
则|PQ|≥|PA|－|AQ|＝|PA|－1，
当且仅当P，Q，A三点共线时取等号，
所以当|PA|取得最小值时，|PQ|最小．
设P(x0，y0)，则y＝x0，|PA|＝＝＝ ，当且仅当x0＝时，|PA|取得最小值，此时|PQ|取得最小值－1.
答案：－1
10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，焦点为F.
(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程；
(2)P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
解：(1)抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点(4，4)，设抛物线解析式为y2＝2px，把(4，4)代入，得16＝2×4p，所以p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，焦点坐标为F(1，0)．
(2)设M(x，y)，P(x0，y0)，F(1，0)，M是PF的中点，则x0＋1＝2x，0＋y0＝2y，
所以x0＝2x－1，y0＝2y，
因为P是抛物线上一动点，所以y＝4x0，
所以(2y)2＝4(2x－1)，化简得y2＝2x－1.
所以M的轨迹方程为y2＝2x－1.
11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，
于是4＋＝5，所以p＝2.
所以抛物线方程为y2＝4x.
(2)因为点A的坐标是(4，4)，
由题意得B(0，4)，M(0，2)．
又因为F(1，0)，所以kFA＝，
因为MN⊥FA，所以kMN＝－.
又FA的方程为y＝(x－1)，①
MN的方程为y－2＝－x，②
联立①②，解得x＝，y＝，
所以点N的坐标为.
[综合题组练]
1．(2020·台州书生中学月考)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　　)
A. B．1
C. D．2
解析：选A.过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，连接AF，BF，由抛物线的定义知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos 120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|.

所以＝·
＝
＝≤×＝，
当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，所以的最大值为.
2．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析：选B.设A(x1，)，B(x2，－)，
则S△AFO＝×＝.
由·＝2得x1x2－＝2，
即x1x2－－2＝0，解得x1x2＝4，
所以(||·||)2＝(x＋x1)(x＋x2)
＝xx＋x1x2·(x1＋x2)＋x1x2＝20＋4(x1＋x2)，
因为cos∠AOB＝，
所以sin∠AOB＝
＝
所以S△AOB＝||||sin∠AOB
＝||||
＝
＝＝
＝＝＋，
所以S△ABO＋S△AFO＝＋≥2＝3，当＝，即x1＝时等号成立．
3．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝________．

解析：依题知C，F，因为点C，F在抛物线上，所以两式相除得－2－1＝0，解得＝1＋或＝1－(舍)．
答案：1＋
4．(2020·台州市高考模拟)如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若＝4，则||＝________．

解析：分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，则|DF|＝p＝2，由抛物线的定义可知|FB|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，
因为＝4，所以＝＝，
所以|FB|＝|BB1|＝.
所以|FC|＝4|FB|＝6，
所以cos ∠DFC＝＝，
所以cos ∠A1AC＝＝＝，解得|AF|＝3，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝3＋＝.
答案：
5．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点．
(1)当|PF|＝2时，求点P的坐标；
(2)求点P到直线y＝x－10的距离的最小值．
解：(1)由抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，
故设P(a＞0)，
因为|PF|＝2，结合抛物线的定义得＋1＝2，
所以a＝2，所以点P的坐标为(2，1)．
(2)设点P的坐标为P(a＞0)，则点P到直线y＝x－10的距离为＝.
因为－a＋10＝(a－2)2＋9，
所以当a＝2时，－a＋10取得最小值9，
故点P到直线y＝x－10的距离的最小值为.
6．(2020·杭州宁波二市三校联考)已知A，B，C是抛物线y2＝2px(p＞0)上三个不同的点，且AB⊥AC.

(1)若A(1，2)，B(4，－4)，求点C的坐标；
(2)若抛物线上存在点D，使得线段AD总被直线BC平分，求点A的坐标．
解：(1)因为A(1，2)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.
设C，则由kAB·kAC＝－1，即·＝－1，解得t＝6，即C(9，6)．
(2)设A(x0，y0)，B，C，则y＝2px0，
直线BC的方程为＝，即(y1＋y2)y＝2px＋y1y2，由kAB·kAC＝·＝－1，
得y0(y1＋y2)＋y1y2＋y＝－4p2，
与直线BC的方程联立，化简，得(y1＋y2)(y＋y0)＝2p(x－2p－x0)，故直线BC恒过点E(x0＋2p，－y0)．
因此直线AE的方程为y＝－(x－x0)＋y0，
代入抛物线的方程y2＝2px(p＞0)，
得点D的坐标为.
因为线段AD总被直线BC平分，
所以
解得x0＝，y0＝±p，
即点A的坐标为.