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2021-2022学年度浙教版八年级数学第一学期期末考试模拟试卷B含解析
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这是一份2021-2022学年度浙教版八年级数学第一学期期末考试模拟试卷B含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣7）B．（﹣5，1）C．（1，1）D．（1，﹣7）
2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
3．画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．75°B．85°C．95°D．105°
6．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
7．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
8．若不等式组的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（ ）
A．m≥nB．m≤nC．m＞nD．m＜n
9．在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（ ）
①当BF＝BC时，EF＝2﹣2；
②当BF＝BC时，△DEF为直角三角形；
③当△DEF为直角三角形，EF＝2﹣2；
④当DE平行△ABC的边时，∠BCE＝30°．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题： ．
12．不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 ．
13．若点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，则点A的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中、点D是BC上的中点，点E是AD上的中点，连结BE，若S△BDE＝3，则△ABC的面积为 ．
15．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B＝10°，∠C＝40°，则∠E＝ ．
16．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示．当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1）．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
18．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
19．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝11，EC＝5，求BE的长．
20．为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的210升水，水箱内剩余的水，（升）和放水时间x（分钟）部分图象如图，若8：00打开放水龙头，请解答下列问题：
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）估计8：30～8：45（包括8：30和8：45）水箱内剩多少升水．
（3）当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过多少分钟？
21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
22．一次函数y1＝（k﹣1）x+2k，y2＝（1﹣k）x+k+1，其中k≠1．
（1）判断点A（﹣2，2）是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（2）若函数y1与y2的图象交于点B，求点B的横坐标；
（3）点C（a，m），D（a，n），分别在函数y1与y2的图象上，当k＞1时，若CD＜k﹣1，求a的取值范围．
23．已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两边上（不与点A重合），连接BC，作线段BC的垂直平分线；点D在∠A内部，且在△ABC外，线段BC的垂直平分线上，∠BDC＝120°．
（1）求证：BC＝BD；
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）若BC＝4，
①当线段AB最大时，求四边形ABCD的面积；
②在点B的移动过程中，直接写出AD的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣7）B．（﹣5，1）C．（1，1）D．（1，﹣7）
【分析】让点A的横坐标减3，纵坐标加4即可得到平移后点B的坐标．
解：将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（﹣2﹣3，﹣3+4），即（﹣5，1），
故选：B．
2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴2x＞2y，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
∴﹣2x+3＜﹣2y+3，故本选项符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
解：在△ABC中，画出边BC上的高，即是过点A作BC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
4．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限；
B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．
解：A：∵一次函数y＝3x﹣1，
k＝3＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b＝﹣1，
∴一次函数交y轴的负半轴，
∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限，
故A错误；
B：令y＝0，x＝，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0），
故B错误；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x，
故C错误；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，
∴图象经过（1，2），
故D正确．
故选：D．
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．75°B．85°C．95°D．105°
【分析】由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，利用三角形的外角性质可得∠BFE＝75°，从而可求∠BFD的度数．
解：由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，
∵∠BFE是△CEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．
故选：D．
6．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴1＜a．
∴a的值可能是2，
故选：A．
8．若不等式组的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（ ）
A．m≥nB．m≤nC．m＞nD．m＜n
【分析】根据口诀：同小取小可得﹣m≤﹣n，再由不等式的基本性质即可得出答案．
解：∵不等式组的解集为x≤﹣m，
∴﹣m≤﹣n，
则m≥n，
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形分别求解．
解：如图，满足条件的点P1的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2），
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（ ）
①当BF＝BC时，EF＝2﹣2；
②当BF＝BC时，△DEF为直角三角形；
③当△DEF为直角三角形，EF＝2﹣2；
④当DE平行△ABC的边时，∠BCE＝30°．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝2，∠B＝60°，利用折叠的性质和含30度角的直角三角形的性质依次计算可求解．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，AC＝2，∠B＝60°，
①当BF＝BC＝2时，△BCF是等边三角形，
∴CF＝BC＝BF＝2，
由折叠可知：CE＝AC＝2，
∴EF＝CE﹣CF＝2﹣2，故①正确；
②由折叠可知：∠E＝∠A＝30°，
当BF＝BC时，△BCF是等边三角形，
∴∠EFD＝∠BFC＝60°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF为直角三角形，故②正确；
③当△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，EF＝2﹣2；
当∠EFD＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴CF＝，
∴EF＝CE﹣CF＝2﹣＝，
综上所述：EF＝2﹣2或，故③错误；
④当DE平行△ABC的边时，
∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠B＝60°，
∵∠DEC＝30°，
∴∠BCE＝∠DEC＝30°．故④正确．
∴正确的结论是①②④共3个，
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题： 三组对应边相等的两个三角形全等 ．
【分析】交换原命题的题设与结论得到原命题的逆命题．
解：命题“全等三角形对应边相等”的逆命题为“三组对应边相等的两个三角形全等”．
故答案为三组对应边相等的两个三角形全等．
12．不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 1、2、3 ．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．
解：﹣3x﹣1≥﹣10，
﹣3x≥﹣10+1，
﹣3x≥﹣9，
x≤3，
所以不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为是1、2、3，
故答案为：1、2、3．
13．若点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，则点A的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列式求出a，再求点A的坐标即可．
解：∵点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，
∴2a﹣1＝0，
解得：a＝，
∴2a﹣1＝0，1﹣4a＝﹣1，
∴点A的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
14．如图，在△ABC中、点D是BC上的中点，点E是AD上的中点，连结BE，若S△BDE＝3，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】由E是AD的中点，则有S△ABD＝2S△BDE＝6，再由D是BC的中点，则有S△ABC＝2S△ABD，从而得解．
解：∵点E是AD上的中点，S△BDE＝3，
∴S△ABD＝2S△BDE＝6，
∵点D是BC上的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝12．
故答案为：12．
15．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B＝10°，∠C＝40°，则∠E＝ 15° ．
【分析】延长CD交AB于点F，由角平分线可得∠CAE＝∠BAC，∠CDE＝BDC，再由外角性质得∠BFC＝∠BAC+∠C，∠BDC＝∠B+∠BFC，从而有∠CDE＝∠BAC+25°，再利用三角形的内角和定理得∠AGC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝140°﹣∠BAC，从而可求解．
解：延长CD交AB于点F，如图所示：
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠CAE＝∠BAC，∠CDE＝BDC，
∵∠BFC是△ACF的一个外角，∠BDC是△BDF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BAC+∠C，∠BDC＝∠B+∠BFC，
∴∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C＝∠BAC+50°，
∴∠CDE＝∠BAC+25°，
∵∠AGC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝140°﹣∠BAC，
∴∠DGE＝∠AGC＝140°﹣∠BAC，
∵∠E＝180°﹣∠CDE﹣∠DGE，
∴∠E＝180°﹣∠BAC﹣25°﹣140°+∠BAC
＝15°．
故答案为：15°．
16．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示．当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 250千米 ．
【分析】首先求该旅游专列与高铁的速度分别为200千米/小时和40千米/小时，确定第二次相遇时的位置，因为7.5＞6.5，说明第二次相遇时，旅游专列还没走完全程；根据路程相等列方程可得结论．
解：由图形可知：高铁小时，由杭州到黄山，
速度为：300÷＝200（千米/小时），
设旅游专列的速度为a千米/小时，
则a+200×（﹣1）＝300×2，
∴a＝40，
∴300÷40＝7.5（小时），
高铁：第一次去黄山：小时，休息1小时；
第一次返回：+＝4（小时），休息1小时；
第二次去成都：5+＝6.5＜7.5，
设当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了b千米，
则200×（﹣5）＝b，
b＝250，
则当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了250千米；
故答案为：250千米．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1）．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）利用点A、B、C的坐标描点即可；
（2）先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状．
解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）△ABC是直角三角形．
理由如下：∵A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1），
∴AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
18．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去括号，得：5x+3＜6+3x，
移项，得：5x﹣3x＜6﹣3，
合并同类项，得：2x＜3，
系数化为1，得：x＜1.5，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式2x+1＜3x+3，得：x＞﹣2，
解不等式≤+1，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝11，EC＝5，求BE的长．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠B＝∠DEF，根据AAS可证明△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得出BE＝CF，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
即BE＝CF．
∵BF＝11，EC＝5，
∴BE+CF＝BF﹣CE＝11﹣5＝6，
∴BE＝3．
20．为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的210升水，水箱内剩余的水，（升）和放水时间x（分钟）部分图象如图，若8：00打开放水龙头，请解答下列问题：
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）估计8：30～8：45（包括8：30和8：45）水箱内剩多少升水．
（3）当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过多少分钟？
【分析】（1）根据（50，60）（0，210）点的坐标求出一次函数解析式；
（2）根据题意把x＝30、x＝45代入y＝﹣3x+210，求出相应的水量；
（3）根据题意，把y＝30代入y＝﹣3x+210，及可求出放水时间．
解：（1）设直线：y＝kx+b，
把（50，60）（0，210）横纵坐标分别代入y＝kx+b，
得，
解得k＝﹣3，
∴y关于x的函数表达式：y＝﹣3x+210，（0≤x≤70），
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+210＝120（升），
当x＝45时，y＝﹣3×45+210＝75（升），
∴水箱内剩余的水在75升到120升之间．
（3）当y＝30时，30＝﹣3x+210，
解得x＝60，
∴当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过60分钟．
21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由全等三角形的性质得到BD＝AE，△ADE是直角三角形；由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°．
在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，
在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC2＝2DC2，
∴AD＝＝＝．
22．一次函数y1＝（k﹣1）x+2k，y2＝（1﹣k）x+k+1，其中k≠1．
（1）判断点A（﹣2，2）是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（2）若函数y1与y2的图象交于点B，求点B的横坐标；
（3）点C（a，m），D（a，n），分别在函数y1与y2的图象上，当k＞1时，若CD＜k﹣1，求a的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣2代入y1＝（k﹣1）x+2k，，求y的值即可判断；
（2）函数y1与y2的图象相交，得y1＝y2，解出x的值；
（3）CD＝|m﹣n|，再根据CD＜k﹣1，求出a的取值范围．
解：（1）A（﹣2，2）是在函数y1的图象上，
把x＝﹣2代入y1＝（k﹣1）x+2k，
得，y1＝2，
∴A（﹣2，2）是在函数y1的图象上；
（2）∵函数y1与y2的图象交于点B，
∴（k﹣1）x+2k＝（1﹣k）x+k+1，
解得x＝﹣，
（3）∵|m﹣n|＝|（1﹣k）a+2k﹣（1﹣k）a+k+1|
＝|2（k﹣1）+k﹣1|，
∵k＞1，
∴|m﹣n|＝（k﹣1）|2a+1|，
∵CD＜k﹣1，
∴|（k﹣1）|2a+1|＜k﹣1，
∵k＞1，
∴k﹣1＞0，
∴|2a+1|＜1，
∴a的取值范围﹣1＜a＜0．
23．已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两边上（不与点A重合），连接BC，作线段BC的垂直平分线；点D在∠A内部，且在△ABC外，线段BC的垂直平分线上，∠BDC＝120°．
（1）求证：BC＝BD；
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）若BC＝4，
①当线段AB最大时，求四边形ABCD的面积；
②在点B的移动过程中，直接写出AD的取值范围．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E．利用等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，作⊥DF⊥AB于F．证明△DEC≌△DFB（AAS）推出DE＝DF，可得结论．
（3）①当BC⊥AC时，AB的值最大，求出AB的最大值，此时四边形ABDC的面积最大．
②当AB最大时，AD的值最大，再求出当点C与A重合或点B与A重合时，AD＝CD＝4，可得结论．
【解答】（1）证明：过点D作DE⊥BC于E．
∵DC＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，∠CDE＝∠BDE＝∠CDB＝60°，
∴EC＝BE＝BD•sin60°＝BD，
∴BC＝2EC＝BD．
（2）证明：如图2中，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，作⊥DF⊥AB于F．
∵∠EAF＝60°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝∠CDB＝120°，
∴∠CDE＝∠FDB，
在△DEC和△DFB中，
，
∴△DEC≌△DFB（AAS）
∴DE＝DF，
∵DE⊥AE，DF⊥AB，
∴AD平分∠CAB．
（3）解：①当BC⊥AC时，AB的值最大，最大值AB＝＝＝8，
此时AC＝AB＝4，四边形ABDC的面积＝×4×4+×4×2＝12．
②当AB最大时，AD的值最大，最大值为4，
当点C与A重合或点B与A重合时，AD＝CD＝4，
∴4＜AD≤4．
1．将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣7）B．（﹣5，1）C．（1，1）D．（1，﹣7）
2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
3．画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．75°B．85°C．95°D．105°
6．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
7．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
8．若不等式组的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（ ）
A．m≥nB．m≤nC．m＞nD．m＜n
9．在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（ ）
①当BF＝BC时，EF＝2﹣2；
②当BF＝BC时，△DEF为直角三角形；
③当△DEF为直角三角形，EF＝2﹣2；
④当DE平行△ABC的边时，∠BCE＝30°．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题： ．
12．不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 ．
13．若点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，则点A的坐标为 ．
14．如图，在△ABC中、点D是BC上的中点，点E是AD上的中点，连结BE，若S△BDE＝3，则△ABC的面积为 ．
15．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B＝10°，∠C＝40°，则∠E＝ ．
16．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示．当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1）．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
18．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
19．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝11，EC＝5，求BE的长．
20．为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的210升水，水箱内剩余的水，（升）和放水时间x（分钟）部分图象如图，若8：00打开放水龙头，请解答下列问题：
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）估计8：30～8：45（包括8：30和8：45）水箱内剩多少升水．
（3）当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过多少分钟？
21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
22．一次函数y1＝（k﹣1）x+2k，y2＝（1﹣k）x+k+1，其中k≠1．
（1）判断点A（﹣2，2）是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（2）若函数y1与y2的图象交于点B，求点B的横坐标；
（3）点C（a，m），D（a，n），分别在函数y1与y2的图象上，当k＞1时，若CD＜k﹣1，求a的取值范围．
23．已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两边上（不与点A重合），连接BC，作线段BC的垂直平分线；点D在∠A内部，且在△ABC外，线段BC的垂直平分线上，∠BDC＝120°．
（1）求证：BC＝BD；
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）若BC＝4，
①当线段AB最大时，求四边形ABCD的面积；
②在点B的移动过程中，直接写出AD的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣7）B．（﹣5，1）C．（1，1）D．（1，﹣7）
【分析】让点A的横坐标减3，纵坐标加4即可得到平移后点B的坐标．
解：将点A（﹣2，﹣3）向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点B，则点B的坐标是（﹣2﹣3，﹣3+4），即（﹣5，1），
故选：B．
2．已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x﹣2＞y﹣2B．2x＞2y
C．﹣2x+3＞﹣2y+3D．﹣2x＜﹣2y
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
解：A．∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵x＞y，
∴2x＞2y，故本选项不符合题意；
C．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，
∴﹣2x+3＜﹣2y+3，故本选项符合题意；
D．∵x＞y，
∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．画△ABC的边BC上的高，下列画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
解：在△ABC中，画出边BC上的高，即是过点A作BC边的垂线段，正确的是C．
故选：C．
4．关于一次函数y＝3x﹣1的描述，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、二、三象限
B．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，﹣1）
C．向下平移 1个单位，可得到y＝3x
D．图象经过点（1，2）
【分析】A：根据k＞0，b＜0，判断一次函数经过的象限；
B：令y＝0，x＝，判断与x轴的交点；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2．
解：A：∵一次函数y＝3x﹣1，
k＝3＞0，
∴一次函数经过一、三象限，
∵b＝﹣1，
∴一次函数交y轴的负半轴，
∴一次函数y＝3x﹣1经过一、三、四象限，
故A错误；
B：令y＝0，x＝，
∴函数的图象与x轴的交点坐标是（，0），
故B错误；
C：一次函数y＝3x﹣1向下平移1个单位，可得到y＝3x，
故C错误；
D：把x＝1代入y＝3x﹣1得y＝2，
∴图象经过（1，2），
故D正确．
故选：D．
5．将一副三角板按如图所示的方式放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．75°B．85°C．95°D．105°
【分析】由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，利用三角形的外角性质可得∠BFE＝75°，从而可求∠BFD的度数．
解：由题意可得∠ACB＝30°，∠CED＝45°，
∵∠BFE是△CEF的一个外角，
∴∠BFE＝∠ACB+∠CED＝75°，
∴∠BFD＝180°﹣∠BFE＝105°．
故选：D．
6．如图，已知∠ACB＝∠DBC，若要使△ABC≌△DCB，则添加的一个条件不能是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ABC＝∠DCBC．AB＝DCD．AC＝DB
【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
解：A．∠A＝∠D，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
B．∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，∠ABC＝∠DCB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
C．AB＝DC，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DCB，故本选项符合题意；
D．AC＝DB，∠ACB＝∠DBC，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．已知点A（1，y1）和点B（a，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且y1＞y2，则a的值可能是（ ）
A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【分析】根据一次函数的性质说明函数的递增情况，确定a的取值范围，再从选项中确定正确的结果．
解：∵k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵y1＞y2，
∴1＜a．
∴a的值可能是2，
故选：A．
8．若不等式组的解集为x≤﹣m，则下列各式正确的是（ ）
A．m≥nB．m≤nC．m＞nD．m＜n
【分析】根据口诀：同小取小可得﹣m≤﹣n，再由不等式的基本性质即可得出答案．
解：∵不等式组的解集为x≤﹣m，
∴﹣m≤﹣n，
则m≥n，
故选：A．
9．在平面直角坐标系中，把点P（2，3）绕原点旋转90°得到点P1，则点P1的坐标是（ ）
A．（﹣3，2）B．（﹣2，3）
C．（﹣2，3）或（2，﹣3）D．（﹣3，2）或（3，﹣2）
【分析】分顺时针旋转，逆时针旋转两种情形分别求解．
解：如图，满足条件的点P1的坐标为（﹣3，2）或（3，﹣2），
故选：D．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点D在AB上，连结CD，将△ADC沿CD折叠，点A的对称点为E，CE交AB于点F，下列结论正确的个数是（ ）
①当BF＝BC时，EF＝2﹣2；
②当BF＝BC时，△DEF为直角三角形；
③当△DEF为直角三角形，EF＝2﹣2；
④当DE平行△ABC的边时，∠BCE＝30°．
A．1B．2C．3D．4
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝2，∠B＝60°，利用折叠的性质和含30度角的直角三角形的性质依次计算可求解．
解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，AC＝2，∠B＝60°，
①当BF＝BC＝2时，△BCF是等边三角形，
∴CF＝BC＝BF＝2，
由折叠可知：CE＝AC＝2，
∴EF＝CE﹣CF＝2﹣2，故①正确；
②由折叠可知：∠E＝∠A＝30°，
当BF＝BC时，△BCF是等边三角形，
∴∠EFD＝∠BFC＝60°，
∴∠EDF＝90°，
∴△DEF为直角三角形，故②正确；
③当△DEF为直角三角形，分两种情况讨论：
当∠EDF＝90°时，EF＝2﹣2；
当∠EFD＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∴CF＝，
∴EF＝CE﹣CF＝2﹣＝，
综上所述：EF＝2﹣2或，故③错误；
④当DE平行△ABC的边时，
∵DE∥BC，
∴∠EDF＝∠B＝60°，
∵∠DEC＝30°，
∴∠BCE＝∠DEC＝30°．故④正确．
∴正确的结论是①②④共3个，
故选：C．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．写出命题“全等三角形对应边相等”的逆命题： 三组对应边相等的两个三角形全等 ．
【分析】交换原命题的题设与结论得到原命题的逆命题．
解：命题“全等三角形对应边相等”的逆命题为“三组对应边相等的两个三角形全等”．
故答案为三组对应边相等的两个三角形全等．
12．不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为 1、2、3 ．
【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．
解：﹣3x﹣1≥﹣10，
﹣3x≥﹣10+1，
﹣3x≥﹣9，
x≤3，
所以不等式﹣3x﹣1≥﹣10的正整数解为是1、2、3，
故答案为：1、2、3．
13．若点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，则点A的坐标为 （0，﹣1） ．
【分析】根据y轴上的点的横坐标为0列式求出a，再求点A的坐标即可．
解：∵点A（2a﹣1，1﹣4a）在y轴上，
∴2a﹣1＝0，
解得：a＝，
∴2a﹣1＝0，1﹣4a＝﹣1，
∴点A的坐标为（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
14．如图，在△ABC中、点D是BC上的中点，点E是AD上的中点，连结BE，若S△BDE＝3，则△ABC的面积为 12 ．
【分析】由E是AD的中点，则有S△ABD＝2S△BDE＝6，再由D是BC的中点，则有S△ABC＝2S△ABD，从而得解．
解：∵点E是AD上的中点，S△BDE＝3，
∴S△ABD＝2S△BDE＝6，
∵点D是BC上的中点，
∴S△ABC＝2S△ABD＝12．
故答案为：12．
15．如图，AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，已知∠B＝10°，∠C＝40°，则∠E＝ 15° ．
【分析】延长CD交AB于点F，由角平分线可得∠CAE＝∠BAC，∠CDE＝BDC，再由外角性质得∠BFC＝∠BAC+∠C，∠BDC＝∠B+∠BFC，从而有∠CDE＝∠BAC+25°，再利用三角形的内角和定理得∠AGC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝140°﹣∠BAC，从而可求解．
解：延长CD交AB于点F，如图所示：
∵AE平分∠BAC，DE平分∠BDC，
∴∠CAE＝∠BAC，∠CDE＝BDC，
∵∠BFC是△ACF的一个外角，∠BDC是△BDF的一个外角，
∴∠BFC＝∠BAC+∠C，∠BDC＝∠B+∠BFC，
∴∠BDC＝∠B+∠BAC+∠C＝∠BAC+50°，
∴∠CDE＝∠BAC+25°，
∵∠AGC＝180°﹣∠C﹣∠CAE＝140°﹣∠BAC，
∴∠DGE＝∠AGC＝140°﹣∠BAC，
∵∠E＝180°﹣∠CDE﹣∠DGE，
∴∠E＝180°﹣∠BAC﹣25°﹣140°+∠BAC
＝15°．
故答案为：15°．
16．2018年杭黄高铁开通运营，已知杭州到黄山距离300千米，现有直达高铁往返两城市之间，该高铁每次到达杭州或黄山后，均需停留一小时再重新出发．暑假期间，铁路局计划在同线路上加开一列慢车直达旅游专列，在试运行期间，该旅游专列与高铁同时从杭州出发，在整个运行过程中，两列车均保持匀速行驶，经过小时两车第一次相遇．两车之间的距离y千米与行驶时间x小时之间的部分函数关系如图所示．当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了 250千米 ．
【分析】首先求该旅游专列与高铁的速度分别为200千米/小时和40千米/小时，确定第二次相遇时的位置，因为7.5＞6.5，说明第二次相遇时，旅游专列还没走完全程；根据路程相等列方程可得结论．
解：由图形可知：高铁小时，由杭州到黄山，
速度为：300÷＝200（千米/小时），
设旅游专列的速度为a千米/小时，
则a+200×（﹣1）＝300×2，
∴a＝40，
∴300÷40＝7.5（小时），
高铁：第一次去黄山：小时，休息1小时；
第一次返回：+＝4（小时），休息1小时；
第二次去成都：5+＝6.5＜7.5，
设当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了b千米，
则200×（﹣5）＝b，
b＝250，
则当两车第二次相遇时，该旅游专列共行驶了250千米；
故答案为：250千米．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1）．
（1）在所给的平面直角坐标系中作出△ABC；
（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）利用点A、B、C的坐标描点即可；
（2）先根据两点间的距离公式计算出AB、BC、AC，然后利用勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状．
解：（1）如图，△ABC为所作；
（2）△ABC是直角三角形．
理由如下：∵A（3，5），B（﹣1，2），C（1，1），
∴AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝20，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形．
18．（1）解不等式：5x+3＜3（2+x），并把解集表示在数轴上．
（2）解不等式组：．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：（1）去括号，得：5x+3＜6+3x，
移项，得：5x﹣3x＜6﹣3，
合并同类项，得：2x＜3，
系数化为1，得：x＜1.5，
将解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式2x+1＜3x+3，得：x＞﹣2，
解不等式≤+1，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若BF＝11，EC＝5，求BE的长．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠B＝∠DEF，根据AAS可证明△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的性质得出BE＝CF，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣EC＝EF﹣EC，
即BE＝CF．
∵BF＝11，EC＝5，
∴BE+CF＝BF﹣CE＝11﹣5＝6，
∴BE＝3．
20．为了清洗水箱，需放掉水箱内原有的210升水，水箱内剩余的水，（升）和放水时间x（分钟）部分图象如图，若8：00打开放水龙头，请解答下列问题：
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）估计8：30～8：45（包括8：30和8：45）水箱内剩多少升水．
（3）当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过多少分钟？
【分析】（1）根据（50，60）（0，210）点的坐标求出一次函数解析式；
（2）根据题意把x＝30、x＝45代入y＝﹣3x+210，求出相应的水量；
（3）根据题意，把y＝30代入y＝﹣3x+210，及可求出放水时间．
解：（1）设直线：y＝kx+b，
把（50，60）（0，210）横纵坐标分别代入y＝kx+b，
得，
解得k＝﹣3，
∴y关于x的函数表达式：y＝﹣3x+210，（0≤x≤70），
（2）当x＝30时，y＝﹣3×30+210＝120（升），
当x＝45时，y＝﹣3×45+210＝75（升），
∴水箱内剩余的水在75升到120升之间．
（3）当y＝30时，30＝﹣3x+210，
解得x＝60，
∴当水箱中存水少于30升时，放水时间已经超过60分钟．
21．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由全等三角形的性质得到BD＝AE，△ADE是直角三角形；由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°．
在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，
在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC2＝2DC2，
∴AD＝＝＝．
22．一次函数y1＝（k﹣1）x+2k，y2＝（1﹣k）x+k+1，其中k≠1．
（1）判断点A（﹣2，2）是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（2）若函数y1与y2的图象交于点B，求点B的横坐标；
（3）点C（a，m），D（a，n），分别在函数y1与y2的图象上，当k＞1时，若CD＜k﹣1，求a的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣2代入y1＝（k﹣1）x+2k，，求y的值即可判断；
（2）函数y1与y2的图象相交，得y1＝y2，解出x的值；
（3）CD＝|m﹣n|，再根据CD＜k﹣1，求出a的取值范围．
解：（1）A（﹣2，2）是在函数y1的图象上，
把x＝﹣2代入y1＝（k﹣1）x+2k，
得，y1＝2，
∴A（﹣2，2）是在函数y1的图象上；
（2）∵函数y1与y2的图象交于点B，
∴（k﹣1）x+2k＝（1﹣k）x+k+1，
解得x＝﹣，
（3）∵|m﹣n|＝|（1﹣k）a+2k﹣（1﹣k）a+k+1|
＝|2（k﹣1）+k﹣1|，
∵k＞1，
∴|m﹣n|＝（k﹣1）|2a+1|，
∵CD＜k﹣1，
∴|（k﹣1）|2a+1|＜k﹣1，
∵k＞1，
∴k﹣1＞0，
∴|2a+1|＜1，
∴a的取值范围﹣1＜a＜0．
23．已知∠A＝60°，点B、C分别在∠A的两边上（不与点A重合），连接BC，作线段BC的垂直平分线；点D在∠A内部，且在△ABC外，线段BC的垂直平分线上，∠BDC＝120°．
（1）求证：BC＝BD；
（2）求证：AD平分∠BAC；
（3）若BC＝4，
①当线段AB最大时，求四边形ABCD的面积；
②在点B的移动过程中，直接写出AD的取值范围．
【分析】（1）过点D作DE⊥BC于E．利用等腰三角形的性质求解即可．
（2）如图2中，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，作⊥DF⊥AB于F．证明△DEC≌△DFB（AAS）推出DE＝DF，可得结论．
（3）①当BC⊥AC时，AB的值最大，求出AB的最大值，此时四边形ABDC的面积最大．
②当AB最大时，AD的值最大，再求出当点C与A重合或点B与A重合时，AD＝CD＝4，可得结论．
【解答】（1）证明：过点D作DE⊥BC于E．
∵DC＝DB，DE⊥CB，
∴CE＝EB，∠CDE＝∠BDE＝∠CDB＝60°，
∴EC＝BE＝BD•sin60°＝BD，
∴BC＝2EC＝BD．
（2）证明：如图2中，连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，作⊥DF⊥AB于F．
∵∠EAF＝60°，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴∠EDF＝∠CDB＝120°，
∴∠CDE＝∠FDB，
在△DEC和△DFB中，
，
∴△DEC≌△DFB（AAS）
∴DE＝DF，
∵DE⊥AE，DF⊥AB，
∴AD平分∠CAB．
（3）解：①当BC⊥AC时，AB的值最大，最大值AB＝＝＝8，
此时AC＝AB＝4，四边形ABDC的面积＝×4×4+×4×2＝12．
②当AB最大时，AD的值最大，最大值为4，
当点C与A重合或点B与A重合时，AD＝CD＝4，
∴4＜AD≤4．
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