全国通用理科数学【一轮复习】19《空间向量在立体几何中的应用》 A卷

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）

第10单元 空间向量在立体几何中的应用

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成的角是（    ）

A．90° B．30° C．45° D．60°

2．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（    ）

A． B． C． D．

3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（    ）

A． B． C． D．与相交

4．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A． B． C． D．

6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，

则，，是四点共面的（    ）

A．必要不充分条件  B．充分不必要条件

C．充要条件  D．既不充分又不必要条件

8．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（    ）

A． B． C．或 D．

9．已知在平行六面体中，，，，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

10．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则（    ）

A．1 B． C． D．

11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，则该四面体外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_______．

14．在直三棱柱中，，则异面直线与

所成角的余弦值为__________．

15．如图，在正方体中，、分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为__________．

16．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，

那么下面说法正确的是_________．

（1）平面平面；（2）四面体的体积是；

（3）二面角的正切值是；（4）与平面所成角的正弦值是，

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点，．

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

18．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，．

（1）求证：平面平面；

（2）若的长度为，求二面角的正弦值．

19．（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，．

（1）求证：平面；

（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值．

20．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，，底面，是上的任意一点．

（1）求证：平面平面；

（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由．

21．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，

AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．

（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；

（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．

22．（12分）如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接．

（1）求证：平面平面；

（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．

单元训练金卷▪高三▪数学卷（A）

第10单元 空间向量在立体几何中的应用 答 案

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【答案】D

【解析】∵，

又由题意知，∴．答案D．

2．【答案】D

【解析】设平面的法向量为，

对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；

对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，，

故D选项符合题意．所以本题选D．

3．【答案】C

【解析】∵直线l的方向向量为，平面的法向量为，

∴，∴，∴，故选C．

4．【答案】A

【解析】根据向量的三角形法则得到

．故选A．

5．【答案】A

【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

设异面直线与所成角为，

则，，

，异面直线与所成角正切值为，故选A．

6．【答案】A

【解析】如图，以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，

设棱长2，则，，，，

所以，，

因为在正方体中，，平面，所以，

又，所以平面，

因此向量为平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角为，

则．故选A．

7．【答案】B

【解析】空间任意一点和不共线的三点，，，且，

则四点共面等价于，

若，，，则，所以四点共面，

若四点共面，则，不能得到，，，

所以，，是四点共面的充分不必要条件，故选B．

8．【答案】C

【解析】∵，，

设与之间的夹角为，，

，，二面角的大小可能为和．

9．【答案】D

【解析】在平行六面体中，，，，

，，

，

，

则，故选D．

10．【答案】C

【解析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝2a，BC＝2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），

（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），

∵FM与BD所成角为θ，且，

∴，

整理得，∴，

解得，或（舍），∴，故选C．

11．【答案】B

【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点，

可得面，

因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径，

所以外接球的表面积为，故选B项．

12．【答案】C

【解析】取BD中点O，连结AO，CO，

∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，

∴∠AOC是二面角的平面角，

以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），

设二面角的平面角为θ，则，

连AO、BO，则∠AOC＝θ，，

∴，，

设AB、CD的夹角为α，则，

∵，∴，∴．

∴cos的最大值为．故选C．

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．【答案】

【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为，点关于xOz平面的对称点A2的坐标为，点关于z轴的对称点A3的坐标为，∴线段AA3的中点M的坐标为．

14．【答案】

【解析】因为，所以角为直角，

又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，

以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

设异面直线与所成角为，

则．故答案为．

15．【答案】

【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2，

则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，

，，

设平面EFC1B的法向量，则，

取，得，

平面BCC1的法向量，

设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为，则，

所以，故填．

16．【答案】（3）（4）

【解析】画出图像如下图所示，

由图可知（1）的判断显然错误；

由于，故是二面角的平面角且平面，故．

过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高．

在原图中，，，，，，

所以，故（2）错误；

以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系．

，，，，，

设平面的法向量为，则，

令，则，即．

平面的法向量是．

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，

则其正切值为．故（3）判断正确；

平面的法向量为，，

设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确．

综上所述，正确的有（3），（4）．

三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在正四棱柱中，，底面，

，

又，平面，则，

，，，

，则，

，平面．

又平面，∴平面平面．

（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

则，．

设是平面的法向量，，即，

令，得，

由（1）知，平面ABE的一个法向量为，

，

故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．

18．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，，平面，

平面，，

是直角，，平面，

平面，平面平面．

（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系．

的长度为，，则，，，，，，，，

设平面的一个法向量为，

则，令，解得，，，

平面的一个法向量，

，，

二面角的正弦值为．

19．【答案】（1）见证明；（2）．

【解析】（1）证明：取的中点，连结、、，

因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为、分别为、的中点，所以且．

又，，所以，所以四边形为平行四边形，

所以，所以平面．

（2）因为菱形，所以．

所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，所以，

所以，，

设平面的法向量为，由，得，

取，可得，

平面的一个法向量为，

设二面角的平面角为，则，

因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

20．【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴．

∵四边形是菱形，∴．

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，

以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），

则，，，，．

设，则，

设，∴，∴，

∴，，

设平面的法向量，∵，∴．

求得为平面的一个法向量．

同理可得平面的一个法向量为，

∵平面与平面所成的锐二面角的大小为，

∴，解得．∴为的中点．

21．【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE，

即在△PAE中，OP⊥AE，

∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE．

（2）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．

∴直线PB与平面ABCE夹角为，

又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，

即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意得，各点坐标为，，，

∴，，

设平面PCE的一个法向量为，则，即，

设，则，，∴，

由题意得平面PAE的一个法向量，

设二面角为α，．

即二面角为α的余弦值为．

22．【答案】（1）见证明；（2）2．

【解析】（1）连接，

∵菱形中，，∴为等边三角形，

又为中点，∴．

又，则，

又，∴平面，

又，∴平面，

又平面，∴平面平面．

（2）∵平面平面，且交线为，，平面，

∴，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

设，则，

则，，

设平面的一个法向量为，

则，即，可取，

又平面的法向量可取，

由题意得，解得，即，

又菱形的面积，

∴四棱锥的体积为．