初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程4 用因式分解法求解一元二次方程精品同步训练题

2.4用因式分解法求解一元二次方程同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为

A.  B. 4 C.  D. 5

2. 若，则的值为

A. 4 B.  C.  D. 4或

3. 方程的根是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 方程的根是

A.  B.  C.  D.

5. 已知，则一元二次方程的根是   

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 若多项式是关于x的一次多项式，则a的值为     

A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 不能确定

7. 若一个三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程xx的一根，则这个三角形的周长为                                                                                                             

A. 7 B. 3或7 C. 15 D. 11或15

8. 方程的根是

A. 2 B. 3 C. 3或0 D. 没有实数根

9. 一元二次方程的解是 

A.  B.  C.  D.

10. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程xx的一个根，则菱形ABCD的周长为

A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24

11. 已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是

A. 11 B. 12 C. 11或12 D. 15

12. 方程的解是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 方程的根是______．
14. 如图平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A点，与y轴交于B点，是这条直线上一点，且a、是方程的两根．Q是x轴上一动点，N是坐标平面内一点，以点P、B、Q、N四点为顶点的四边形恰好使矩形，则点N的坐标为______或______．

15. 对于实数a，b，定义运算“”：，例如，因为，所以若，是一元二次方程的两个根，则______．
16. 方程的解是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 用适当方法解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 分解因式：；
    解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 阅读下面例题：请参照例题解方程．
    例：解方程．
    解：当，原方程化为；
    解得：，不合题意，舍去
    当时，原方程化为；
    解得：不合题意，舍去，；
    原方程的根是，．
    
    
    
    
    
    
     
21. 解下列方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
22. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 先化简，再求值：，其中a是方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
24. 解方程
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
25. 【阅读材料】解方程：．
    解：设，则原方程变为，
    解得，，．
    当时，，解得．
    当，，解得．
    所以，原方程的解为
    【问题解决】
    利用上述方法，解方程：；
    利用上述方法，解方程：．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：解方程得：和2，

即，，
四边形ABCD是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
故选：A．
先求出方程的解，即可得出，，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可．
本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．
 

2.【答案】A
 

【解析】解：设，则由原方程得到．
整理，得．
解得或舍去．
即的值为4．
故选：A．
设，用十字相乘法因式分解，解关于y的一元二次方程，求出它的值，对小于0的值要舍去．
本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：方程，
可得或，
解得：，．
故选：B．
方程利用两数之积等于0，两数至少有一个为0求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：将方程两边平方得：
．
解这个一元二次方程得：
，．
检验：把，分别代入原方程，
是原方程的根，是原方程的增根．
原方程的根为：．
故选：D．
将方程两边分别平方，去掉根号，化成一元二次方程，解一元二次方程，检验，舍去增根，得出原方程的根．
本题主要考查了无理方程的解法，将方程两边平方，化无理方程为一元二次方程是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】由题意知方程可化为，
则或，解得，．
故选B．
 

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了多项式及解一元二次方程，关键是熟练掌握多项式的概念．
利用多项式的相关概念可得方程，解方程即可．
【解答】
解：由题意，得且，
所以．
故选A．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查了运用因式分解法解一元二次方程，以及三角形的三边关系，难度一般．
求出一元二次方程的根，利用三角形的边角关系进行讨论即可得出结论．
【解答】
解：方程可化为：，
解得：，，
三角形的第三边是的根，
三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
当第三边为7时，三角形的周长为，
则这个三角形的周长为15．
故选C．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：，
，
则，
所以或，
，，
故选：C．  

9.【答案】D
 

【解析】解：
，
解得：，．
故选：D．
直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：，
或，
所以，，
菱形ABCD的一条对角线长为6，
边AB的长是4，
菱形ABCD的周长为16．
故选：A．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据菱形的性质可确定边AB的长是4，然后计算菱形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了菱形的性质．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，，
，，
根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，
当第三边是2时，三角形的周长为；
当第三边是3时，三角形的周长为；
故选C．
求出方程的解，根据三角形的三边关系定理看看是否符合，再求出三角形的周长即可．
本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程的应用，关键是正确求出第三边的值，注意：三角形的任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：，
，
则或，
解得，，
故选：D．
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

13.【答案】，
 

【解析】

【分析】
先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
【解答】
解：，
，
或，
所以，．
故答案为，．  

14.【答案】 
 

【解析】解：方程的两根是或，
，
是直线上，
，
解得，
直线的解析式为，
，，
当BP是矩形的边时，有两种情形，
如图1，四边形BQNP是矩形时，

由∽可得，
，
，
，
．
根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，
，即
如图2，四边形PDNQ是矩形时，

作轴于M，作轴，交PM于C，
，，
，
，，，
由∽可得，
，
，
根据矩形的性质可知，将点B向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
当BP是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的点N坐标为或．
分两种情形分别求解即可：当DP是矩形的边时，有两种情形；当DP是对角线时．
本题考查了一次函数的应用、平行线的性质．相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
 

15.【答案】3或
 

【解析】解：，
或，
所以，或，，
所以，或．
故答案为3或．
先利用因式分解法得到，或，，然后根据新定义进行计算．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解法熟练掌握因式分解法是解题的关键．
【解答】
解：


．
故答案为．  

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，．
 

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式
；
，
，
则或，
解得，．
 

【解析】先提取公因式m，再利用公式法分解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解分式方程和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
或，
，；
，
，
或，
，．
 

【解析】利用因式分解法解出方程；
利用十字相乘法把方程左边变形，进而解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
 

20.【答案】解方程，
解：当即时，原方程化为
解得：，不合题意，舍去
当即时，原方程化为
解得：不合题意，舍去，
故原方程的根是，．
 

【解析】解方程方程中的值有两种情况，所以要按两种情况来解方程．
本题易出错的地方是要分情况而解，所以学生容易出现漏解的现象．
 

21.【答案】解：，
，
，；

开方得：或，
解得：，．
 

【解析】先把要求的式子进行因式分解，再求解即可；
利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
，即，
，
，；
，
，
，
或，
，．
 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

23.【答案】解：

，
由，得，，
，
，1，，
，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据可以得到a的值，再将使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

24.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，，
，
，
或，
，．
 

【解析】利用因式分解法求解即可；
移项，利用因式分解法求解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

25.【答案】解：设，则原方程变为
解得，，．
当时，，解得．
当，，解得．
所以，原方程的解为，，，．
设，则原方程变为
解得，，．
当时，，解得或．
当，，解得．
所以，原方程的解为，，，．
 

【解析】结合材料，利用，再换元，求出m的值，再代入求出x即可．
结合材料，利用，再换元，求出m的值，再代入求出x即可．
本题考查了解一元二次方程和解高次方程，能够正确换元是解此题的关键．