高中数学模块综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册全册综合习题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
(满分：150分　时间：120分钟)
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x－y－2 021＝0的倾斜角等于(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．不存在
B　[直线x－y－2 021＝0化为y＝x－2 021，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角等于.故选B．]
2．已知向量a＝(0,1,1)，b＝(1，－2,1)．若向量a＋b与向量c＝(－2，m，－4)平行，则实数m的值是(　　)
A．2 B．－2
C．10 D．－10
A　[a＋b＝(1，－1,2)，
由(a＋b)∥c得＝＝，解得m＝2，故选A．]
3．直线l：3x－y－6＝0被圆C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的长是(　　)
A．10 B．5
C． D．
C　[将圆的方程x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝5.圆心坐标(1,2)，半径r＝，
∴圆心到直线的距离d＝＝，
弦AB的长|AB|＝2＝.故选C项．]
4．已知点A(2，－1,2)在平面α内，n＝(3,1,2)是平面α的一个法向量，则下列各点在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B．
C． D．
B　[设平面α内的一点为P(x，y，z)(不与点A重合)，则＝(x－2，y＋1，z－2)，∵n是平面α的一个法向量，∴⊥n，∴3(x－2)＋(y＋1)＋2(z－2)＝0，即3x＋y＋2z＝9.将选项代入检验知B正确，故选B．]
5．已知直线l过定点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为直线l的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为(　　)
A． B．
C． D．
A　[＝(－2,0，－1)，||＝，·＝－，则点P到直线l的距离为＝＝.]
6．以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线与双曲线x2－y2＝2相交于M，N两点，若△MNF为正三角形，则抛物线C的标准方程为(　　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．x2＝4y D．x2＝2y
C　[由题意，以F(p＞0)为焦点的抛物线C的准线y＝－，代入双曲线x2－y2＝2，可得x＝±，
∵△MNF为正三角形，∴p＝×2，
∵p＞0，∴p＝2，∴抛物线C的方程为x2＝4y.]
7.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)

A． B．
C． D．
D　[以D点为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,1)，
∴＝(－2,0,1)，＝(－2,2,0)，且为平面BB1D1D的一个法向量．
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.]
8．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
B　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.
∵|AB|＝|BF1|，
|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝|BF1|＝|AF2|，
∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.
又∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝|AF2|＝a，
∴点A是椭圆的短轴端点，如图．不妨设A(0，－b)，
由F2(1,0)，＝2，
得B.
由点B在椭圆上，得＋＝1，
得a2＝3，b2＝a2－c2＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
故选B．]
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)
9．下列说法中，正确的有(　　)
A．直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点(3,2)
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距为2
C．直线x－y＋1＝0的倾斜角为30°
D．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离为7
ACD　[对于A，化简得直线y＝a(x－3)＋2，故直线必过定点(3,2)，故A正确；
对于B，直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，故B错误；
对于C，直线x－y＋1＝0的斜率为，故倾斜角θ满足tan θ＝，0°≤θ<180°，则θ＝30°，故C正确；
对于D，因为直线x＝－2垂直于x轴，故点(5，－3)到直线x＝－2的距离为5－(－2)＝7，故D正确．故选ACD．]
10．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．A1C1∥平面CEF
B．B1D⊥平面CEF
C．＝＋－
D．点D与点B1到平面CEF的距离相等
AC　[建立空间直角坐标系，如图所示，设AB＝2，平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)．

∵E，F分别是A1D1，C1D1的中点，∴EF∥A1C1，
又EF⊂平面CEF，A1C1⊄平面CEF，∴A1C1∥平面CEF，故选项A正确；
C(0,2,0)，E(1,0,2)，F(0,1,2)，B1(2,2,2)，D(0,0,0)．
＝(2,2,2)，＝(－1,1,0)，＝(0，－1,2)，
∴即
令x＝2，则∴n＝(2,2,1)，
∵＝(2,2,2)，∴DB1与n不平行，
∴B 1D不垂直平面CEF，故选项B错误；
＝＋＋＝＋＋
＝＋－，故选项C正确；
＝(0,2,0)，设点D到平面CEF的距离为d1，
则d1＝＝＝，
＝(－2,0，－2)，设B1到平面CEF的距离为d2，
则d2＝＝＝2≠，故选项D错误．故选AC．]
11．已知P是椭圆E：＋＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)
A．点P的纵坐标为3
B．∠F1PF2>
C．△F1PF2的周长为4(＋1)
D．△F1PF2的内切圆半径为(－1)
CD　[由＋＝1得，a2＝8，b2＝4，∴c2＝4.
设P(x，y)，则S△F1PF2＝|F1F2|·|y|＝×4×|y|＝3，解得|y|＝，选项A错误；设椭圆的上顶点为B，
∵b＝c＝2，∴∠F1PF2≤∠F1BF2＝，选项B错误；
△F1PF2的周长为2a＋2c＝4＋4，选项C正确；
设△F1PF2的内切圆半径为r，
则S△F1PF2＝|F1P|·r＋|F2P|·r＋·|F1F2|·r＝(|F1P|＋|F2P|＋|F1F2|)·r＝×4(＋1)×r＝3，解得r＝(－1)，选项D正确．故选CD．]
12．已知双曲线C的标准方程为x2－＝1，则(　　)
A．双曲线C的离心率等于半焦距
B．双曲线y2－＝1与双曲线C有相同的渐近线
C．双曲线C的一条渐近线被圆(x－1)2＋y2＝1截得的弦长为
D．直线y＝kx＋b与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
AD　[由双曲线C方程可知，a＝1，b＝2，c＝，
所以离心率e＝＝c.A符合题意；
双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x，而双曲线y2－＝1的焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，
二者渐近线方程不同，所以B不符合题意；
圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到双曲线C的渐近线y＝2x的距离为＝.渐近线y＝2x被圆(x－1)2＋y2＝1截得弦长为2＝.C不符合题意；
由直线与双曲线的位置关系可知直线y＝kx＋b与双曲线的公共点个数只可能为0,1,2，D符合题意．]
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．与a＝(2，－1,2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________.
(－2,1，－2)　[依题意设b＝λa＝(2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，所以a·b＝4λ＋λ＋4λ＝－9，解得λ＝－1.故b＝(－2,1，－2)．]
14．已知点P是椭圆＋＝1上的一点，点Q，则|PQ|的最小值为________．
　[设P(x，y)，则|PQ|2＝＋y2＝＋3＝(x－1)2＋.
所以当x＝1时，|PQ|的最小值为＝.]
15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________，|AB|＝________.(本题第一空2分，第二空3分)
2　2　[如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.|AB|＝2＝2.]
16．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
　[如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1.
A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
易知平面ABC的一个法向量为n1＝(0,0,1)．
设平面AEF的一个法向量为n2＝(x，y，z)，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，
则sin α＝，
所以tan α＝.]
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程.
[解]　线段AB的中点为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
18.(本小题满分12分)如图所示，点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝3，N为PD的中点．

(1)求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝2，求MN的长．
[解]　(1)取PC的中点E，连接NE(图略)，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.
(2)因为PA＝AB＝1，AD＝2，且PA⊥AB，AB⊥AD，PA⊥AD，
而||2＝＝＋＋＝＋＋＝，所以||＝.
故MN的长为.
19．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若＝2，求直线l的方程．
[解]　(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
因为焦距为2，所以c＝1，e＝＝，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2.
又所以
消去x2，得＝，解得k2＝，k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋1，
即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
20．(本小题满分12分)如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝.

(1)求证：EF∥平面ADD1A1；
(2)求平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值；
(3)在线段A1D1上是否存在点M，使得BM⊥平面EFD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解]　(1)证明：连接AD1，A1D，交于点O，所以点O是A1D的中点，连接FO.
因为F是A1C的中点，
所以OF∥CD，OF＝CD．
因为AE∥CD，AE＝CD，
所以OF∥AE，OF＝AE.
所以四边形AEFO是平行四边形．
所以EF∥AO.
因为EF⊄平面ADD1A1，AO⊂平面ADD1A1，
所以EF∥平面ADD1A1.
(2)以点A为坐标原点，直线AB，AD，AA1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

因为点E，F分别是AB，A1C的中点，AD＝AA1＝2，AB＝，
所以B(，0,0)，D(0,2,0)，E，
F.
所以＝，＝(0,1,1)．
设平面EFD的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，则z＝－1，x＝2.
所以n＝(2，1，－1)．
由题知，平面DEC的一个法向量为m＝(0,0,1)，
所以cos〈n，m〉＝＝－.
所以平面EFD与平面DEC的夹角的余弦值是.
(3)假设在线段A1D1上存在一点M，使得BM⊥平面EFD．
设点M的坐标为(0，t,2)(0≤t≤2)，则＝(－，t,2)．
因为平面EFD的一个法向量为n＝(2，1，－1)，而与n不平行，
所以在线段A1D1上不存在点M，使得BM⊥平面EFD．
21.(本小题满分12分)如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE­BCF和一个正四棱锥P­ABCD组合而成的，AD⊥AF，AE＝AD＝2.

(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P­ABCD的高h，使得二面角C­AF­P的余弦值是.
[解]　(1)证明：在直三棱柱ADE­BCF中，AB⊥平面ADE，
AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD．
又AD⊥AF，AB∩AF＝A，AB⊂平面ABFE，AF⊂平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE.
因为AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)由(1)知AD⊥平面ABFE，以A为原点，AB，AE，AD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(2,0,2)，P(1，－h,1)，＝(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(1，－h,1)．
设平面AFC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则取x1＝1，则y1＝z1＝－1，
所以m＝(1，－1，－1)．
设平面AFP的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
取x2＝1，则y2＝－1，z2＝－1－h，
所以n＝(1，－1，－1－h)．
因为二面角C­AF­P的余弦值为，
所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，
解得h＝1或h＝－(舍)，
所以正四棱锥P­ABCD的高h＝1.
22．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，离心率e＝，O为坐标原点，圆O：x2＋y2＝与直线AB相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1·k2是不是定值？证明你的结论．
[解]　(1)直线AB的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0，
由圆O与直线AB相切，得＝，
即＝， ①
设椭圆的半焦距为c，则e＝＝，
∴＝1－e2＝， ②
由①②得a2＝4，b2＝1.
故椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)k1·k2＝，为定值，证明过程如下：
由(1)得直线AB的方程为y＝－x＋1，
故可设直线DC的方程为y＝－x＋m，显然m≠±1.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)．
联立消去y，得
x2－2mx＋2m2－2＝0，
则Δ＝8－4m2>0，解得－ ∴x1＋x2＝2m，x1x2＝2m2－2.
由k1＝，k2＝，
得k1k2＝·＝·
＝
＝
＝＝.