高中9.1.2 余弦定理课后复习题

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这是一份高中9.1.2 余弦定理课后复习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若a＝eq \r(13)，b＝3，∠A＝60°，则c＝( )
A．1 B．2
C．4D．6
2．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则csB等于( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(3,4)
C.eq \f(\r(2),4)D.eq \f(\r(2),3)
3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，如果A＝60°，b＝3，△ABC的面积S＝eq \f(3,2)eq \r(3)，那么a等于( )
A.eq \r(7)B．7
C.eq \r(17)D．17
4．△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形B．锐角三角形
C．直角三角形D．都有可能
二、填空题
5．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝eq \r(3)ac，则∠B的值为________．
6．在△ABC中，若2csBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是________．
7．在△ABC中，若b＝2，c＝2eq \r(3)，∠C＝eq \f(2π,3)，则a＝________.
三、解答题
8．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝5，csB＝eq \f(3,5).
(1)求b的值；
(2)求sinC的值．
9．已知△ABC中，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2csAsinB＝sinC，试判断△ABC的形状．
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10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，BC边上的中线AM的长为eq \r(7).
(1)求角A和角B的大小；
(2)求△ABC的周长．
课时作业(二) 余弦定理
1．解析：a2＝c2＋b2－2cbcsA⇒13＝c2＋9－2c×3×cs60°，即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去)，故选C.
答案：C
2．解析：∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝eq \r(2)a，
∴csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋4a2－2a2,2a·2a)＝eq \f(3,4).
答案：B
3．解析：先根据面积公式计算出c的值，然后利用A＝60°以及余弦定理求解a的值．
因为S＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(3\r(3)c,4)＝eq \f(3\r(3),2)，所以c＝2；
又因为csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，所以eq \f(1,2)＝eq \f(9＋4－a2,12)，所以a＝eq \r(7)，故选A.
答案：A
4．解析：由正弦定理得a2＋b2∴∠C为钝角，△ABC为钝角三角形．
答案：A
5．解析：根据余弦定理，csB＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(\r(3)ac,2ac)＝eq \f(\r(3),2)，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝eq \f(π,6).
答案：eq \f(π,6)
6．解析：∵2csBsinA＝sinC，
∴2×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)×a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
7．解析：∵c2＝a2＋b2－2abcsC，
∴(2eq \r(3))2＝a2＋22－2a×2×cseq \f(2π,3)，
∴a2＋2a－8＝0，即(a＋4)(a－2)＝0，
∴a＝2或a＝－4(舍去)．∴a＝2.
答案：2
8．解：(1)因为b2＝a2＋c2－2accsB＝4＋25－2×2×5×eq \f(3,5)＝17，所以b＝eq \r(17).
(2)因为csB＝eq \f(3,5)，所以sinB＝eq \f(4,5).
由正弦定理eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)，得eq \f(\r(17),\f(4,5))＝eq \f(5,sinC)，
所以sinC＝eq \f(4\r(17),17).
9．解：方法一：(利用边的关系判断)
由正弦定理，得eq \f(sinC,sinB)＝eq \f(c,b).
∵2csAsinB＝sinC，∴csA＝eq \f(sinC,2sinB)＝eq \f(c,2b).
∵csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，∴eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(c,2b)，
∴c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
∴(a＋b)2－c2＝3ab.∵a＝b，∴4b2－c2＝3b2，
∴b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC为等边三角形．
方法二：(利用角的关系判断)
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．
∵2csAsinB＝sinC，
∴2csAsinB＝sin(A＋B)＝sinAcsB＋csAsinB，
∴sinAcsB－csAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.
∵0°<∠A<180°，0°<∠B<180°，
∴－180°<∠A－∠B<180°，
∴∠A－∠B＝0°，即∠A＝∠B.
∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab，
∴a2＋b2－c2＝ab，∵c2＝a2＋b2－2abcsC，
∴csC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(1,2)，∴∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
10．解：(1)由a2－(b－c)2＝(2－eq \r(3))bc，得a2－b2－c2＝－eq \r(3)bc，
所以csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2).
又0由sinAsinB＝cs2eq \f(C,2)，得eq \f(1,2)sinB＝eq \f(1＋csC,2)，
即sinB＝1＋csC，则csC<0，即C为钝角．所以B为锐角，且B＋C＝eq \f(5π,6)，
则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－C))＝1＋csC，化简得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,3)))＝－1，解得C＝eq \f(2π,3)，所以B＝eq \f(π,6).
(2)由(1)知a＝b，由余弦定理得AM2＝b2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)))2－2b·eq \f(a,2)·csC＝b2＋eq \f(b2,4)＋eq \f(b2,2)＝(eq \r(7))2，解得b＝2.
由eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)，可得c＝eq \f(asinC,sinA)，即c＝2eq \r(3).
所以△ABC的周长为4＋2eq \r(3).

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