高考数学一轮复习第九章第四节随机事件的概率课时作业理含解析北师大版

第四节 随机事件的概率

授课提示：对应学生用书第381页

[A组　基础保分练]

1．在下列六个事件中，随机事件的个数为（　　）

①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．

A．2　　　　　　　　　 B．3

C．4  D．5

解析：①⑥是必然事件，③⑤是不可能事件；②④是随机事件．

答案：A

2．从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是（　　）

A．事件A发生的概率等于

B．事件A发生的概率等于

C．事件A是不可能事件

D．事件A是必然事件

解析：从正五边形的五个顶点中随机选择三个顶点连成的三角形都是等腰三角形，所以事件A是必然事件．

答案：D

3．（2021·河北衡水中学模拟）从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0．2，该同学的身高在[160，175]（单位：cm）内的概率为0．5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为（　　）

A．0．2  B．0．3

C．0．7  D．0．8

解析：该同学的身高超过175 cm的概率为1－0．2－0．5＝0．3．

答案：B

4．（2021·银川模拟）已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为（　　）

A．，  B．，

C．，  D．，

解析：“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以甲胜的概率为1－－＝．设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P（A）＝＋＝

答案：C

5．（2021·黄石联考）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨，投三次骰子代表三天，产生的三个随机数作为一组，得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率和三天中有两天下雨的概率的近似值分别为（　　）

A．，  B．，

C．，  D．，

解析：由题意可得，每天下雨的概率P（A）＝＝；由10组数据可得三天中有两天下雨的概率P（B）＝＝．

答案：C

6．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），∴选出的火炬手的编号相连的概率为P＝．

答案：A

7．（2021·吉林模拟）从分别写有0，1，2，3，4的五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是_________．

解析：从0，1，2，3，4五张卡片中取出两张卡片的结果有25种，数字之和恰好等于4的结果有（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0），所以数字之和恰好等于4的概率是P＝．

答案：

8．一根绳子长为6米，绳子上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为_________．

解析：随机选一个节点将绳子剪断共有5种情况，分别为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）．满足两段绳长均不小于2米的为（2，4），（3，3），（4，2），共3种情况．所以所求概率为．

答案：

9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：

求：（1）至多2人排队等候的概率；

（2）至少3人排队等候的概率．

解析：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．

（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，

所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）

＝0．1＋0．16＋0．3＝0．56．

（2）法一：记“至少3人排队等候”为事件H，

则H＝D＋E＋F，

所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0．3＋0．1＋0．04＝0．44．

法二：记“至少3人排队等候”为事件H，

则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0．44．

10．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧奋战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：

该射击队员射击一次，求：

（1）射中9环或10环的概率；

（2）至少命中8环的概率；

（3）命中不足8环的概率．

解析：记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N＋，k≤10），则事件Ak彼此互斥．

（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0．28＋0．32＝0．60．

（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生．由互斥事件概率的加法公式得P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）＝0．18＋0．28＋0．32＝0．78．

（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足8环”．

∴P（）＝1－P（B）＝1－0．78＝0．22．

[B组　能力提升练]

1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是（　　）

A．互斥但非对立事件  B．对立事件

C．相互独立事件  D．以上都不对

解析：由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件．

答案：A

2．（2021·西安五校模拟）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任选2张，如果事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（　　）

A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡

解析：因为事件“2张全是移动卡”的概率是，1－＝，所以概率是的事件是事件“2张全是移动卡”的对立事件，也就是“2张不全是移动卡”，即“至多有一张移动卡”．

答案：A

3．（2021·长沙模拟）同时掷3枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是将1枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满足条件的事件的对立事件是3枚硬币都是背面向上，有1种结果，所以至少一枚正面向上的概率是1－＝．

答案：A

4．（2021·合肥模拟）某城市有连接8个小区A，B，C，D，E，F，G，H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P（M）＝＝，即他经过市中心O的概率为．

答案：B

5．口袋内装有一些大小、形状均相同的红球、白球和黑球，如果从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是_________．

解析：事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事件，设“摸出红球或白球”为事件M，则表示“摸出黑球”，由对立事件的概率公式得P（）＝1－P（M）＝1－（0．42＋0．28）＝0．3．

答案：0．3

6．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是_________．

解析：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与取2粒黑子的概率的和，即为＋＝．

答案：

7．（2021·徐州模拟）为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：

若用表中数据所得频率代替概率．

（1）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？

（2）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？

解析：（1）设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，则P（A）＝＝．

∴当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低．

（2）由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民各抽出2人，设从A类市民抽出的两人分别为A1，A2，设从B类市民抽出的两人分别为B1，B2．设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有（A1，A2，B1，B2），（A1，A2，B2，B1），（A1，B1，A2，B2），（A1，B1，B2，A2），（A1，B2，A2，B1），（A1，B2，B1，A2）．共6种．

同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种．

故事件M共有4×6＝24种．

设“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N，

则事件N有（B1，B2，A1，A2），（B1，B2，A2，A1），（B2，B1，A1，A2），（B2，B1，A2，A1），共4种．

∴P（N）＝＝．

∴抽取4人中前两位均为B类市民的概率是．

[C组　创新应用练]

1．若p：“事件A与事件B是对立事件”，q：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若事件A与事件B是对立事件，则A＋B为必然事件，再由概率的加法公式得P（A）＋P（B）＝1．设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“3次出现正面”，则P（A）＝，P（B）＝，满足P（A）＋P（B）＝1，但A，B不是对立事件，所以p是q的充分不必要条件．

答案：A

2．（2019·高考全国卷Ⅱ）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0．97，有20个车次的正点率为0．98，有10个车次的正点率为0．99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_________．

解析：＝＝0．98．则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0．98．

答案：0．98