北师大版2.3函数建模案例第2课时课时训练

这是一份北师大版2.3函数建模案例第2课时课时训练，共18页。试卷主要包含了函数f=x+2x-1，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

第二章　函　数
§3　函数的单调性
第2课时　函数的最大(小)值
基础过关练
题组一　函数最大(小)值的求法
1.(2021湖南娄底一中高一上期中)函数f(x)=x2+x在区间[-1,1]上的最小值是 (　　)
A.2 B.0 C.14 D.-14
2.函数f(x)=2x+6,x∈[1,2],x+7,x∈[-1,1),则f(x)的最大值与最小值分别为 (　　)
A.10,6 B.10,8
C.8,6 D.以上都不对
3.若函数y=f(x),x∈[-2,2]的图像如图所示,则该函数的最大值、最小值分别为 (　　)

A.f32, f-32 B.f(0), f32
C.f(0), f-32 D.f(0), f(2)
4.函数f(x)=x+2x-1 (　　)
A.有最小值12,无最大值
B.有最大值12,无最小值
C.有最小值12,有最大值2
D.无最大值,也无最小值
5.(2021河北邢台高一上期中联考)已知函数f(x)=3x-11-x,其定义域是[-4,-2],则 (　　)
A.f(x)有最大值-73,最小值-135
B.f(x)有最大值-73,无最小值
C.f(x)有最大值-135,最小值-73
D.f(x)有最小值-135,无最大值
题组二　函数最大(小)值的综合运用
6.下列说法正确的是 (　　)
A.若函数f(x)的值域为[a,b],则f(x)min=a, f(x)max=b
B.若f(x)min=a, f(x)max=b,则函数f(x)的值域为[a,b]
C.若f(x)min=a,则直线y=a不一定与f(x)的图像有交点
D.若f(x)min=a,则直线y=a一定与f(x)的图像有且仅有一个交点
7.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 (　　)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
8.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为　　　　　m. 

9.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a 10.(2019湖北沙市中学高一上第一次段考)已知定义在[-1,2]上的一次函数f(x)为单调增函数,且值域为[-3,3].
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f[f(x)]的解析式,并确定其定义域.








11.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数R(x)=400x-12x2(0≤x≤400),80000(x>400),其中x是仪器的月产量(单位:台).
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)

























题组三　函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用
12.若不等式-x+a+1≥0对一切x∈0,12成立,则a的最小值为 (　　)
A.0 B.-2
C.-52 D.-12
13.(2021河北定州二中高一上11月月考)当1≤x≤3时,关于x的不等式ax2+x-1<0恒成立,则实数a的取值范围是 (　　)
A.(-∞,0) B.-∞,-14
C.-14,+∞ D.-12,+∞
14.已知函数f(x)=11-x(1-x),若方程f(x)=a无解,则a的取值范围是　　　　　　　　. 
15.(2021河南高一上期中联考)锂电池的容量通常以A·h(安培小时)为单位,在一定条件下,当以恒定电流充电时,把电池充满所需要的充电时间t(单位:h)等于电池的容量与充电电流x(单位:A)之比.电池充电时会产生额外的能量损失(不影响电池充入的电量).已知某种锂电池的容量为20 A·h,且充电时每小时的能量损失P(能量单位)与充电电流x的关系式为P=x2600+x300+12.设这种锂电池的电量从0到充满电的能量损失总量为Q,则充电电流为多大时,Q的值最小?最小值为多少?
参考结论:函数y=ax+bx(a,b>0)在区间0,ba上单调递减,在区间ba,+∞上单调递增.








16.已知函数f(x)=x-1x+2,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(2)若不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若不等式f(x)>a在[3,5]上有解,求实数a的取值范围.







能力提升练
一、选择题
1.(2019湖北华中师范大学第一附属中学高一上月考,)函数y=1-x-3+x的最大值为M,最小值为N,则MN的值为　 (　　)
A.2 B.1 C.-1 D.2
2.(2021湖北鄂西北五校高一上期中联考,)已知函数f(x)=(a-1)x+2a,x<0,x2-2x,x≥0有最小值,则a的取值范围是 (　　)
A.-12,1 B.-12,1
C.-12,1 D.-12,1
3.()若函数y=f(x)的值域是12,3,则函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是 (　　)
A.12,3 B.2,103
C.52,103 D.3,103
4.(2019湖南长沙南雅中学高一上第一次检测,)已知f(x)=min{x2-2x,6-x,x},则f(x)的值域是 (　　)
A.(-∞,3) B.(-∞,3] C.[0,3] D.[3,+∞)
5.()定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a A.-1 B.1 C.6 D.12
6.(2019广东潮阳实验学校高一上第一次段考,)若关于x的不等式|x-4|+|x+3| A.(7,+∞) B.[7,+∞) C.(1,+∞) D.(1,7)
7.()设函数f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2x+1-a,x>0.若f(0)是f(x)的最大值,则a的取值范围为 (　　)
A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2]
二、填空题
8.(2021福建厦门一中高一上期中,)函数f(x)=x+21-x的最大值为　　　　. 
9.()若函数f(x)=x2-2x+3-c的最小值为2 017,则f(x+2 017)的最小值是　　　　　. 
10.(2019河北辛集中学高一上第一次月考,)已知函数f(x)=x2-4|x|+1,若f(x)在区间[a,2a+1]上的最大值为1,则a的取值范围为　　　　　. 
三、解答题
11.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f(x)=x2+1,g(x)=4x+1的定义域都是集合A,函数f(x)和g(x)的值域分别为S和T.
(1)若A=[1,2],求S∩T;
(2)若A=[0,m],且S=T,求实数m的值;
(3)若对于A中的每一个x的值,都有f(x)=g(x),求集合A.


12.(2020广东实验中学高一上期中,)已知函数f(x)=x+1x,x∈[-2,-1),-2,x∈-1,12,x-1x,x∈12,2.
(1)求f(x)的值域;
(2)设函数g(x)=ax-2,x∈[-2,2],若对于任意x1∈[-2,2],总存在x0∈[-2,2],使得g(x0)=f(x1)成立,求实数a的取值范围.




















答案全解全析
第二章　函　数
§3　函数的单调性
第2课时　函数的最大(小)值
基础过关练
1.D
2.A
3.C
4.A
5.A
6.A
7.C
12.D
13.B

1.D　因为f(x)=x2+x的图像开口向上,对称轴为直线x=-12∈[-1,1],所以f(x)min=f-12=14-12=-14.故选D.
2.A　作出f(x)的图像如图所示:

由图像知,当x=-1时, f(x)min=f(-1)=6;
当x=2时, f(x)max=f(2)=10,
即f(x)的最大值为10,最小值为6,故选A.
3.C　由题图可得,函数最大值对应图像中的最高点的纵坐标f(0),同理,最小值对应f-32.
4.A　∵f(x)=x+2x-1在定义域12,+∞上是增函数,∴f(x)≥f12=12,即函数的最小值为12,无最大值,故选A.
5.A　函数f(x)=3x-11-x=-3+21-x,
因为x∈[-4,-2],所以-x∈[2,4],
所以1-x∈[3,5],所以21-x∈25,23,
所以-3+21-x∈-135,-73,
所以f(x)∈-135,-73,
所以f(x)有最小值-135,最大值-73.
故选A.
6.A　函数f(x)的值域为[a,b],则f(x)min=a,f(x)max=b,A对;f(x)min=a, f(x)max=b,区间[a,b]上的某些元素可能不是函数值,所以[a,b]不一定是值域,B错;若f(x)min=a,由定义知一定存在x0使f(x0)=a,即f(x)的图像与直线y=a一定有交点,但不一定唯一,C,D都错.
7.C　由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.
综上可知,a=±2.
8.答案　20
解析　设矩形花园边长为x的边的邻边长为y m,则x40=40-y40,即y=40-x,由此可知,矩形花园的面积S=x·(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,所以当x=20时,面积最大.
9.答案　-2;0
解析　已知y=-x2+6x+9,整理,得y=-(x-3)2+18,函数图像开口向下,对称轴为直线x=3.
∵a ∴函数y=-x2+6x+9在区间[a,b]上单调递增,
∴当x=b时,ymax=-b2+6b+9=9,解得b=0(b=6不符合题意,舍去);
当x=a时,ymin=-a2+6a+9=-7,
解得a=-2(a=8不符合题意,舍去).
10.解析　(1)设f(x)=ax+b(a>0),由已知得f(-1)=-3,f(2)=3,即-a+b=-3,2a+b=3,
解得a=2,b=-1,
所以f(x)的解析式为f(x)=2x-1(-1≤x≤2).
(2)由(1)得, f[f(x)]=f(2x-1)=2(2x-1)-1=4x-3.
由f(x)的定义域为[-1,2],得-1≤2x-1≤2,即0≤x≤32,
所以f[f(x)]的定义域为0,32.
11.解析　(1)月产量为x台,则总成本为(20 000+100x)元,从而f(x)=R(x)-(20 000+100x)
=-12x2+300x-20000(0≤x≤400),60000-100x(x>400).
(2)由(1)可知,当0≤x≤400时, f(x)=-12·(x-300)2+25 000,
∴当x=300时, f(x)max=25 000;
当x>400时, f(x)=60 000-100x,是减函数,f(x)<60 000-100×400<25 000,
∴当x=300时, f(x)max=25 000,
故当月产量为300时,公司所获利润最大,最大利润为25 000元.
12.D　设f(x)=-x+a+1,由不等式-x+a+1≥0对一切x∈0,12成立可得,只需满足f(x)min≥0即可.因为f(x)在0,12上是减函数,所以当x∈0,12时, f(x)min=a+12,所以a+12≥0,即a≥-12,所以amin=-12,故选D.
13.B　当1≤x≤3时,由ax2+x-1<0恒成立可得,a<1x2-1x恒成立,
令f(x)=1x2-1x=1x-122-14,则当x=2时,f(x)min=-14,
所以a<-14,故选B.
14.答案　(-∞,0]∪43,+∞
解析　因为1-x(1-x)=x2-x+1=x-122+34≥34,所以0<11-x(1-x)≤43,故f(x)的值域为0,43.
又方程f(x)=a无解,所以a不在函数f(x)的值域内,故a的取值范围是(-∞,0]∪43,+∞.
15.信息提取　①P=x2600+x300+12(0≤x≤20);②Q=Pt.
数学建模　本题以锂电池充电为背景,构建函数模型,利用函数的单调性求相应函数的最值,从而解决生活中的最优化问题.
解析　由题意知,充电时间t=20x,
∴Q=Pt=x2600+x300+12·20x=x30+10x+115,
根据参考结论可知:
当x∈(0,103)时,Q单调递减;
当x∈(103,20)时,Q单调递增.
∴当x=103时,Q取得最小值,最小值为233+115.
16.解析　(1)f(x)在[3,5]上为增函数.
证明:任取x1,x2∈[3,5]且x1 ∵3≤x1 ∴x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1) ∴f(x)在[3,5]上为增函数.
(2)由不等式f(x)>a在[3,5]上恒成立知,f(x)min>a,由(1)知, f(x)在[3,5]上为增函数,所以f(x)min=f(3)=25,
所以25>a,故实数a的取值范围是-∞,25.
(3)由不等式f(x)>a在[3,5]上有解知,
f(x)max>a,由(1)知, f(x)在[3,5]上为增函数,所以f(x)max=f(5)=47,
所以47>a,
故实数a的取值范围是-∞,47.
能力提升练
1.C
2.C
3.B
4.B
5.C
6.A
7.B




一、选择题
1.C　由y=1-x-3+x有意义,得1-x≥0,3+x≥0,解得-3≤x≤1,因此y=1-x-3+x的定义域为[-3,1],
又∵函数y=1-x-3+x在[-3,1]上单调递减,
∴M=ymax=4-0=2,
N=ymin=0-4=-2,
因此,MN=2-2=-1,故选C.
2.C　如图所示:

根据题意,得a-1<0,2a≥-1或a-1=0,解得-12≤a<1或a=1,故a∈-12,1,
故选C.
3.B　令t=f(x),则t∈12,3,易知y=t+1t在12,1上单调递减,在[1,3]上单调递增,
所以当t=1,即f(x)=1时,F(x)有最小值2,
又当f(x)=12时,F(x)=52;当f(x)=3时,F(x)=103,且52<103,所以F(x)的最大值为103,
所以函数F(x)=f(x)+1f(x)的值域是2,103.故选B.
4.B　在同一平面直角坐标系中,作出函数y=x2-2x,y=6-x,y=x的图像,由f(x)=min{x2-2x,6-x,x}知,对任意x∈R, f(x)取三个函数值中最小的,因此f(x)的图像如图所示(实线部分),所以可得f(x)的值域为(-∞,3].

5.C　由题意知,当-2≤x≤1时, f(x)=x-2;当1 6.A　设f(x)=|x-4|+|x+3|,
则f(x)=-2x+1,x<-3,7,-3≤x≤4,2x-1,x>4,
作出f(x)的图像如图所示.

由图像知, f(x)min=7,
又f(x) 即7 7.B　f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2x+1-a,x>0.
当x≤0时, f(x)=-(x-a)2+a2的图像开口向下,对称轴为直线x=a, f(0)=0;当x>0时,f(x)=-x2+2x+1-a的图像开口向下,对称轴为直线x=1,此时f(x)max=f(1)=2-a.
若使得f(0)是f(x)的最大值,则满足a≥0,2-a≤0,解得a≥2,故选B.

二、填空题
8.答案　2
解析　设t=1-x(t≥0),则x=1-t2,所以原函数可化为y=-t2+2t+1=-(t-1)2+2(t≥0),
由二次函数的性质,得当t=1时,函数取最大值2.
9.答案　2 017
解析　函数f(x+2 017)的图像可由函数f(x)的图像向左平移2 017个单位长度得到,因此两函数的最小值相同,均为2 017,故f(x+2 017)的最小值是2 017.
10.答案　-12,0∪32
解析　∵f(x)=x2-4|x|+1=x2-4x+1,x≥0,x2+4x+1,x<0,
∴f(x)的图像如图所示.

已知f(x)在[a,2a+1]上的最大值为1,由2a+1>a,得a>-1,结合图像知,
当-1 解得-12≤a≤0;
当a>0时,2a+1=4,解得a=32.
综上可得,a的取值范围是-12,0∪32.

三、解答题
11.解析　(1)若A=[1,2],则函数f(x)=x2+1的值域S=[2,5],g(x)=4x+1的值域T=[5,9],∴S∩T={5}.
(2)若A=[0,m],则S=[1,m2+1],T=[1,4m+1],
由S=T,得m2+1=4m+1,
解得m=4或m=0(舍去).
(3)若对于A中的每一个x的值,都有f(x)=g(x),即x2+1=4x+1,
∴x2=4x,解得x=4或x=0,
∴满足题意的集合A是{0}或{4}或{0,4}.
12.解析　(1)任取x1,x2∈[-2,-1),且x1 因为-2≤x1 所以x1-x2<0,1-1x1x2>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x)在[-2,-1)上递增.
同理,可证f(x)在12,2上递增.
所以当x∈[-2,-1)时, f(x)∈-52,-2;
当x∈12,2时, f(x)∈-32,32.故f(x)的值域为-52,-2∪-32,32.
(2)设g(x)的值域为B,当a>0时,g(x)在[-2,2]上递增,
此时,值域B为[-2a-2,2a-2],
依题意得-2a-2≤-52,2a-2≥32,解得a≥74;
当a<0时,g(x)在[-2,2]上递减,
此时,值域B为[2a-2,-2a-2],
依题意得2a-2≤-52,-2a-2≥32,解得a≤-74;
当a=0时,不符合题意.
综上,a的取值范围是-∞,-74∪74,+∞.