12. 包含与排除

——较复杂的容斥原理

学习目标:

1. 理解并掌握容斥原理，掌握韦恩图的画法。
2. 利用方法解决不同类型的容斥问题。
3. 培养学习兴趣，提升能力。

教学重点:

理解并掌握容斥原理，掌握韦恩图的画法。                                                                                                                                                                        

教学难点：

有三类事物时，对韦恩图的理解。能够独立分析这类问题。

教学过程：

一、情境体验

    公主迎来自己20岁的生日，国王想在生日晚会上为公主选一位驸马，但是来自各国求婚的王子很多，他们都各有本领，于是国王听宰相的建议向王子们提出了几点要求，可是满足要求的有多少人呢？这就是我们今天要学习的问题——较复杂的容斥原理（板书课题）

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1

例1： 一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

点生读题

师：至少有一门得满分是什么意思？

生：只有语文得满分，只有数学得满分，以及语文和数学都得满分的人全部加起来。

师：说的很好，因为涉及的量有3个，我们可以画图来表示（展示ppt中例1方法一）。

师：老师只画了两个圆，两门都得满分的人应该怎样表示呢？

生：数学得满分的人包括只有数学得满分和两门都得满分的，语文也是一样。

师：所以可以如图中所示，现在这样表示你会做了吗？

生：只有数学得满分的有15－4＝11（人），同理只有语文得满分的有8人，最后把3个量的人数加起来为23人。

师：除了这个方法，你还能想出别的方法吗？

（点生回答，介绍方法二、方法三）

师：今天我们重点学习方法三，既然有两门都得满分的，我们让两个圆相交，这样画可不可以？（如下图，引导学生说出三个部分各表示什么意思）

师：这个方法叫做韦恩图，题目让我们求的是图中哪部分？

生：整个图形。

师：怎么算你知道了吗？

生：两个圆各自的人数加起来，因为4多加了一次，所以最后减4。

师：大家掌握的都很快。

小结： 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

展示例2

例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组。已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。问这个班一共有多少学生参加了学习小组？

师：题目比较长，同学们先仔细读题，想一想能用刚才学习的方法吗？

生：应该可以，不过刚才有两类事物，现在有三类，不知道该怎么画图。

（展示ppt，引导学生理解图如何画，每个部分表示什么意思，并点生回答进行巩固）

师；现在来看题目问的是什么问题？

生：一共有多少学生参加了学习小组。

师：注意是求参加学习小组的学生有多少人，是图中的哪部分呀？

生：整个图形。

师：我们一起来看应该如何计算。如果把三个圆的人数都加起来对吗？

生：不对，有重复加的部分，还需要减去两两相交的部分。

师：这样做完了吗？想一下三个都相交的部分该如何处理？

生：还要加上三个都相交的部分。

小结：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

三、思维拓展（知识模型的运用）

展示例3

例3： 六（1）班有学生44人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人。三项都参加的有多少人？

师：看完题目你会做吗？跟例2一样吗？

生：题目条件类似，但问题不同。

师：你能画图来表示吗？（点生演板，确定画图正确，点生回答各部分的意思）

师：根据例2所学的方法，你能做出这道题吗？

（做几分钟，出示公式）

师：A或B或C是不是44人，为什么？

生：是44人，因为每人暑假里都参加了体育训练队。

师：非常好，这里审题时一定要注意，否则容易出错。（列式计算）

展示例4

例4： 某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：

这个班的学生共有多少人？

师：试着画一下韦恩图。（检查学生画图情况）

师：整个图形表示的人数是什么？是不是全班总人数？

生：不是，表示的是至少有一项达到优秀的人数。

师：所以一定要认真审题，图形可以变一下（如下图，点生回答）

师：达到优秀的学生有多少？

生：35人。

师：全班人数怎么求？

生：35+4=39（人）。

小结：容斥原理一定要认真审题，画出正确的韦恩图。

四、融会贯通（知识模型的拓展）

展示例5

例5： 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，它们盖住的面积是多少平方厘米？

师：看完题目有什么样的感觉？

生；很繁琐，跟前面的例题相同又好像有区别。

师：既然今天学习容斥原理，那么肯定和刚才的

方法有关。

师：我们来类比一下，这里有几个正方形？

生：三个。

师：它们是怎样放在桌面上的？

生：有不重叠的部分，有两两重叠的部分，还有三个都重叠的部分。

师：说的非常好，那么和前面有相同吗？

生：噢，我知道了，是一样的，把三个正方形的面积加起来，减去两两重叠的面积，再加上三个都重叠的面积。

师：非常聪明，我们一起来看一下，是不是每个部分的面积都求的出。为了方便，最大的正方形记作A，中等的记作B，最小的记作C。（点生回答）

五、总结

1. 如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类或B类元素个数= A类元素个数+ B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

2. 如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类或B类或C类元素个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。