中考数学二轮复习压轴专题：二次函数（含解析）学案

这是一份中考数学二轮复习压轴专题：二次函数（含解析）学案，共35页。

《二次函数》

1．如图，平面直角坐标系中，点A、点B在x轴上（点A在点B的左侧），点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC，抛物线y＝ax2﹣8ax+12a（a＜0）经过A、B、C三点．
（1）求线段OB、OC的长．
（2）求点C的坐标及该抛物线的函数关系式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标：若不存在，请说明理由．

解：（1）y＝ax2﹣8ax+12a＝a（x﹣6）（x﹣2），
故OA＝2，OB＝6，
△OCA∽△OBC，则，即：OC2＝OA•OB，
解得：CO＝2；

（2）过点C作CD⊥x轴于点D，

△OCA∽△OBC，则，
设AC＝2x，则BC＝2x，而AB＝4，
故16＝（2x）2+（2x）2，解得：x＝1，
故AC＝2，BC＝2，
S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，解得：CD＝，
故OD＝3，
故点C（3，）；
将点C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x﹣4；

（3）设点P（m，0），而点B、C的坐标分别为：（6，0）、（3，）；
则BC2＝12，PB2＝（m﹣6）2，PC2＝（m﹣3）2+3，
当BC＝PB时，12＝（m﹣6）2，解得：m＝6；
当BC＝PC时，同理可得：m＝6（舍去）或0；
当PB＝PC时，同理可得：m＝4，
综上点P的坐标为：（6，0）或（0，0）或（4，0）．

2．直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是直线AB上方抛物线上一点；
①当△PBA的面积最大时，求点P的坐标；
②在①的条件下，点P关于抛物线对称轴的对称点为Q，在直线AB上是否存在点M，使得直线QM与直线BA的夹角是∠QAB的两倍？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为：（4，0）、（0，2），
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）①过点P作y轴的平行线交BC于点N，设P（m，﹣m2+m+2），点N（m，﹣m+2），

则：△PBA的面积S＝PN×OA＝×4×（﹣m2+m+2+m﹣2）＝﹣m2+4m，
当m＝2时，S最大，此时，点P（2，5）；
②点P（2，5），则点Q（，5），设点M（a，﹣a+2）；

（Ⅰ）若：∠QM1B＝2∠QAM1，则QM1＝AM1，
则（a﹣）2+（a﹣3）2＝（a﹣4）2+（﹣a+2）2，
解得：a＝，
故点M1（，）；
（Ⅱ）若∠QM2B＝2∠QAM1，
则∠QM2B＝∠QM1B，QM1＝QM2，
作QH⊥AB于H，BQ的延长线交x轴于点N，
则tan∠BAO＝＝，则tan∠QNA＝2，
故直线QH表达式中的k为2，
设直线QH的表达式为：y＝2x+b，将点Q的坐标代入上式并解得：b＝2，
故直线QH的表达式为：y＝2x+2，故H（0，2）与B重合，
M2、M1关于B对称，
∴M2（﹣，）；
综上，点M的坐标为：（，）或（﹣，）．

3．如图已知直线y＝x+与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点C（0，﹣），交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求△PAB的面积及点P的坐标；
（3）若点Q为x轴上一动点，点N在抛物线上且位于其对称轴右侧，当△QMN与△MAD相似时，求N点的坐标．

解：（1）将点B（4，m）代入y＝x+，
∴m＝，
将点A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，
解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，
∴函数解析式为y＝x2﹣x﹣；
（2）设P（n， n2﹣n﹣），
则经过点P且与直线y＝x+垂直的直线解析式为y＝﹣2x+n2+n﹣，
直线y＝x+与其垂线的交点G（n2+n﹣， n2+n+），
∴GP＝（﹣n2+3n+4），
当n＝时，GP最大，此时△PAB的面积最大，
∴P（，），
∵AB＝，PG＝，
∴△PAB的面积＝××＝；
（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），
∴AM＝2，AB＝4，MD＝2，
∴△MAD是等腰直角三角形，
∵△QMN与△MAD相似，
∴△QMN是等腰直角三角形，
设N（t， t2﹣t﹣）
①如图1，当MQ⊥QN时，N（3，0）；
②如图2，当QN⊥MN时，过点N作NR⊥x轴，过点M作MS⊥RN交于点S，
∵QN＝MN，∠QNM＝90°，
∴△MNS≌△NMS（AAS）
∴t﹣1＝﹣t2+t+，
∴t＝±，
∴t＞1，
∴t＝，
∴N（，1﹣）；
③如图3，当QN⊥MQ时，过点Q作x轴的垂线，过点N作NS∥x轴，过点N作NR∥x轴，与过M点的垂线分别交于点S、R；
∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，
∴△MQR≌△QNS（AAS），
∴SQ＝QR＝2，
∴t+2＝1+t2﹣t﹣，
∴t＝5，
∴N（5，6）；
④如图4，当MN⊥NQ时，过点M作MR⊥x轴，过点Q作QS⊥x轴，
过点N作x轴的平行线，与两垂线交于点R、S；
∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，
∴△MNR≌△NQS（AAS），
∴SQ＝RN，
∴t2﹣t﹣＝t﹣1，
∴t＝2±，
∵t＞1，
∴t＝2+，
∴N（2+，1+）；
综上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．




4．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线的解析式为y＝ax2+bx．
（1）如图1，若抛物线经过A，D两点，直接写出A点的坐标　（4，8）　；抛物线的对称轴为直线　6　；
（2）如图2：①若抛物线经过A、C两点，求抛物线的表达式．
②若点P为线段AB上一动点，过点P作PE⊥AB交AC于点E，过点E作EF⊥AD于点F交抛物线于点G．当线段EG最长时，求点E的坐标；
（3）若a＝﹣1，且抛物线与矩形ABCD没有公共点，直接写出b的取值范围．

解：（1）点A的坐标为：（4，8）；函数的对称轴为：x＝（4+8）＝6；
故答案为：（4，8）；6；

（2）①将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，b＝4，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x；
②由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x+16；
设点E（x，﹣2x+16），则点G（x，﹣x2+4x），
EG＝﹣x2+4x﹣（﹣2x+16）＝﹣x2+6x﹣16，
当x＝6时，EG由最大值为：2，此时点E（2，4）；

（3）若a＝﹣1，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+bx，
当抛物线过点B和点D时，抛物线与矩形有一个交点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16+4b，解得：b＝4，
将点D的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝9，
故b的取值范围为：b＜4或b＞9．
5．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．
（1）求A，D两点的坐标；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD．
①当点P的横坐标为2时，求△PAD的面积；
②当∠PDA＝∠CAD时，直接写出点P的坐标．

解：（1）联立方程组，
解得，，，
∴A（1，0），D（4，3），

（2）①过P作PE⊥x轴，与AD相交于点E，

∵点P的横坐标为2，
∴P（2，3），E（2，1），
∴PE＝3﹣1＝2，
∴＝3；
②过点D作DP∥AC，与抛物线交于点P，则∠PDA＝∠CAD，

∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴C（3，4），
设AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵A（1，0），
∴，
∴，
∴AC的解析式为：y＝2x﹣2，
设DE的解析式为：y＝2x+n，
把D（4，3）代入，得3＝8+n，
∴n＝﹣5，
∴DE的解析式为：y＝2x﹣5，
联立方程组，
解得，，，
∴此时P（0，﹣5），
当P点在直线AD上方时，延长DP，与y轴交于点F，过F作FG∥AC，FG与AD交于点G，

则∠FGD＝∠CAD＝∠PDA，
∴FG＝FD，
设F（0，m），
∵AC的解析式为：y＝2x﹣2，
∴FG的解析式为：y＝2x+m，
联立方程组，
解得，，
∴G（﹣m﹣1，﹣m﹣2），
∴FG＝，FD＝，
∵FG＝FD，
∴＝，
∴m＝﹣5或1，
∵F在AD上方，
∴m＞﹣1，
∴m＝1，
∴F（0，1），
设DF的解析式为：y＝qx+1（q≠0），
把D（4，3）代入，得4q+1＝3，
∴q＝，
∴DF的解析式为：y＝x+1，
联立方程组
∴，，
∴此时P点的坐标为，
综上，P点的坐标为（0，﹣5）或．
6．综合与探究
如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、B、C，已知点C（0，4），△AOC∽△COB，且，点P为抛物线上一点（异于A，B）
（1）求抛物线和直线AC的表达式
（2）若点P是直线AC上方抛物线上的点，过点P作PF⊥AB，与AC交于点E，垂足为F．当PE＝EF时，求点P的坐标
（3）若点M为x轴上一动点，是否存在点P，使得由B，C，P，M四点组成的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

解：（1），则OA＝4OC＝8，故点A（﹣8，0）；
△AOC∽△COB，则△ABC为直角三角形，
则CO2＝OA•OB，解得：OB＝2，故点B（2，0）；
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+8），将点C的坐标代入上式并解得：
a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+4；

由点A、C的坐标可得直线AC的表达式为：y＝x+4；
（2）设点P（x，﹣x2﹣x+4），则点E（x， x+4），
PE＝EF，即﹣x2﹣x+4﹣x﹣4＝x+4；
解得：x＝﹣8（舍去）或﹣2，
故点P（﹣2，6）；

（3）设点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，点M（s，0），而点B、C的坐标分别为：（2，0）、（0，4）；
①当BC是边时，
点B向左平移2个单位向上平移4个单位得到C，
同样点P（M）向左平移2个单位向上平移4个单位得到M（P），
即m﹣2＝s，n+4＝0或m+2＝s，n﹣4＝0，
解得：m＝﹣6或﹣3，
故点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）；
②当BC是对角线时，
由中点公式得：2＝m+s，n＝4，
故点P（﹣6，4）；
综上，点P的坐标为：（﹣6，4）或（﹣3，﹣4）或（﹣﹣3，﹣4）．
7．如图1，抛物线y＝x2+mx+4m与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），与y轴交于点C，且x1，x2满足x12+x22＝20，若对称轴在y轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，若点P为线段AB上的一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为斜边，在直线AB的同侧作等腰直角三角形△APM和△BPN，试确定△MPN最大时P点的坐标．
（3）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上的两点，当a≤x1≤a+2，x2≥时，均有y1≤y2，求a的取值范围．

解：（1）x1+x2＝﹣2m，x1x2＝8m，
则x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝20，
即（﹣2m）2﹣16m＝20，
解得：m＝5（舍去）或﹣1；
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；

（2）令y＝0，则x＝﹣2或4，故点A、B的坐标分别为：（﹣2，0）、（4，0），则AB＝6；
设：AP＝a，则PN＝6﹣a，∠MPN＝180°﹣∠MPA﹣∠NPB＝90°；
S△MPN＝×PN×PM
＝a××（6﹣a）
＝a（6﹣a）
＝﹣（a﹣3）2+；
∴当a＝3时，S△MPN最大，此时OP＝1，故点P（1，0）；

（3）函数的对称轴为x＝1，如图，

x＝﹣2.5和x＝关于函数对称轴对称，纵坐标均为，
由图象看，a≥﹣且a+2≤，
解得：﹣≤a≤．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点B，C，D的坐标分别（1，0），（3，0），（3，4），以A为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D匀速运动，过点P作PE⊥x轴，交对角线AC于点N．设点P运动的时间为t（秒）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN分△ACD的面积为1：2的两部分，求t的值；
（3）若动点P从A出发的同时，点Q从C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D匀速运动，点H为线段PE上一点．若以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形，求t的值．

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，且B（1，0），C（3，0），D（3，4），
∴A（1，4），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，
将C（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，
得0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；

（2）∵PE⊥x轴，DC⊥x轴，
∴PE∥DC，
∴△APN∽△ADC，
∵PN分△ACD的面积为1：2的两部分，
∴＝或，
当＝时，＝＝，
∵AD＝2，
∴AP＝，
∴t的值为×2＝；
当＝时，＝＝，
∵AD＝2，
∴AP＝，
∴t的值为×2＝，
综上所述，t的值为或；

（3）如图2﹣1，当CN为菱形的对角线时，
点P，N的横坐标均为，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴直线AC的表达式为y＝﹣2x+6，
将点N的横坐标代入y＝﹣2x+6，
得，
即EN＝4﹣t，
由菱形CQNH可得，CQ＝NH＝t＝CH，
可得EH＝（4﹣t）﹣t＝4﹣2t，
∵，
∴，
在Rt△CHE中，
∵CE2+EH2＝CH2，
∴，
解得，t1＝，t2＝4（舍）；
如图2﹣2，当CN为菱形的边时，
由菱形CQHN可得，CQ＝CN＝t，
在Rt△CNE中，
∵NE2+CE2＝CN2，
∴（4﹣t）2+（2﹣t）2＝t2，
解得，t1＝20﹣8，t2＝20+8（舍）；
综上所述，t的值为或．



9．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD面积最大时点D的坐标；
（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）
∵顶点，
∴，
又∵图象过原点，
∴，
解出：，
∴，
即；

（2）令y＝0，即，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴A（4，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
将点A（4，0），代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
过点D作DF∥y轴交AC于点F，
设，则，
∴，
∴＝，
∴当m＝3时，S△ACD有最大值，
当m＝3时，，
∴；

（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，
∴，
∴OA＝OC＝AC＝4，
∴△AOC为等边三角形，
①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，
∴四边形ACA'O是菱形，
∴；
②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，
∴四边形OCAA'是菱形，
∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，
∴，
∵∠OBP2＝90°，OB＝2，
∴OP2＝2BP2，
∵∠OBP2＝90°，OB＝2，
∴OP2＝2BP2，
设BP2＝x，
∴OP2＝2x，
又∵，
∴（2x）2＝22+x2，
解得或，
∴；
综上所述，点P的坐标为或．




10．已知二次函数与x轴交于A、B（A在B的左侧）与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一点，当△PBC面积最大时，点M、N分别为x、y轴上的动点，连接PM、PN、MN，求△PMN的周长最小值；
（2）如图2，点C关于x轴的对称点为点E，将抛物线沿射线AE的方向平移得到新的拋物线y'，使得y'交x轴于点H、B（H在B的左侧）．将△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C'HB'．抛物线y'的对称轴上有一动点S，坐标系内是否存在一点K，使得以O、C'、K、S为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为，
过点P作y轴平行线，交线段BC于点Q，
设，
∴＝，
∵0＜m＜8，
∴P（4，6）．
作P点关于y轴的对称点P1，P点关于x轴的对称点P2，连接P1P2交x轴、y轴分别为M，N，
此时△PMN的周长最小，其周长等于线段P1P2的长；
∵P1（﹣4，6），P2（4，﹣6），
∴．
（2）如图2中，∵E（0，﹣4），平移后的抛物线经过E，B，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx﹣4，把B（8，0）代入得到b＝4，
∴平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x+4x﹣4＝﹣（x﹣2）（x﹣8），
令y＝0，得到x＝2或8，
∴H（2，0），
∵△CHB绕点H顺时针旋转90°至△C′HB′，
∴C′（6，2），
当OC′＝C′S时，可得菱形OC′S1K1，菱形OC′S2K2，
∵OC′＝C′S＝＝2，
∴可得S1（5，2﹣），S2（5，2+），
∵点C′向左平移一个单位，向下平移得到S1，
∴点O向左平移一个单位，向下平移个单位得到K1，
∴K1（﹣1，﹣），同法可得K2（﹣1，），
当OC′＝OS时，可得菱形OC′K3S3，菱形OC′K4S4，
同法可得K3（11，2﹣），K4（11，2+），
当OC′是菱形的对角线时，设S5（5，m），则有52+m2＝12+（2﹣m）2，
解得m＝﹣5，
∴S5（5，﹣5），
∵点O向右平移5个单位，向下平移5个单位得到S5，
∴C′向上平移5个单位，向左平移5个单位得到K5，
∴K5（1，7），
综上所述，满足条件的点K的坐标为（﹣1，﹣）或（﹣1，）或（11，2﹣）或（11，2+）或（1，7）．


11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；
（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2中，得：，解得：，
∴抛物线解析式为；

（2）过点D作y轴平行线交BC于点E，
把x＝0代入中，得：y＝2，
∴C点坐标是（0，2），又B（3，0）
∴直线BC的解析式为，
∵
∴

∴＝，
由S△BCD＝2S△AOC得：
∴，
整理得：m2﹣3m+2＝0
解得：m1＝1，m2＝2
∵0＜m＜3
∴m的值为1或2；

（3）存在，理由：
设：点M的坐标为：（m，n），n＝﹣x2+x+2，点N（1，s），点B（3，0）、C（0，2），
①当BC是平行四边形的边时，
当点C向右平移3个单位，向下平移2个单位得到B，
同样点M（N）向右平移3个单位，向下平移2个单位N（M），
故：m+3＝1，n﹣2＝s或m﹣3＝1，n+2＝s，
解得：m＝﹣2或4，
故点M坐标为：（﹣2，﹣）或（4，﹣）；
②当BC为对角线时，
由中点公式得：m+1＝3，n+3＝2，
解得：m＝2，故点M（2，2）；
综上，M的坐标为：（2，2）或（﹣2，）或（4，）．
12．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A、B（A左B右），且AB＝4，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，证明：对于任意给定的一点P（0，b）（b＞3），存在过点P的一条直线交抛物线于M、N两点，使得PM＝MN成立；
（3）将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n≤6，求t的取值范围．

解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+3的对称轴为x＝1，又AB＝4，由对称性得A（﹣1，0）、B（3，0）．

把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，得a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）如图，过M作GH⊥x轴，PG∥x轴，NH∥x轴，
由PM＝MN，则△PMG≌△NMH（AAS），
∴PG＝NH，MG＝MH．
设M（m，﹣m2+2m+3），则N（2m，﹣4m2+4m+3），
∵P（0，b），GM＝MH，
∴yG+yH＝2yM，
即b+（﹣4m2+4m+3）＝2（﹣m2+2m+3），∴2m2＝b﹣3，
∵b＞3，
∴关于m的方程总有两个不相等的实数根，
此即说明了点M、N存在，并使得PM＝MN．证毕；

（3）图象翻折前后如右图所示，其顶点分别为D（1，4）、D′（1，2t﹣4）．

①当D′在点H（4，﹣5）上方时，
2t﹣4≥﹣5，∴t≥﹣，
此时，m＝t，n＝﹣5，∵m﹣n≤6，∴t+5≤6，∴t≤1，
∴﹣≤t≤1；
②当点D′在点H（4，﹣5）下方时，
同理可得：t＜﹣，m＝t，n＝2t﹣4，
由m﹣n≤6，得t﹣（2t﹣4）≤6，
∴t≥﹣2，∴﹣2≤t＜﹣．
综上所述，t的取值范围为：﹣2≤t≤1．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD＝4PE时：
①求点D、P、E的坐标；
②求四边形POBE的面积．
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝1，A（﹣2，0）在抛物线上，∴x＝﹣＝1，解得：a＝，b＝﹣，
抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）令y＝x2﹣x﹣2＝0，（x﹣4）（x+2）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
当x＝0时，y＝﹣2，
由B（4，0），C（0，﹣2），得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2
设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m， m﹣2），P（m， m2﹣m﹣2），
∵OD＝4PE，
∴m＝4（m2﹣m﹣2﹣m+2），
∴m＝5，m＝0（舍去），
∴D（5，0），P（5，），E（5，），
∴四边形POBE的面积＝S△OPD﹣S△EBD＝×5×﹣×1×＝；

（3）存在，设M（n， n﹣2），
①以BD为对角线，如图1，

∵四边形BNDM是菱形，
∴MN垂直平分BD，
∴n＝4+，
∴M（，），
∵M，N关于x轴对称，
∴N（，﹣）；
②以BD为边，如图2，

∵四边形BDMN是菱形，
∴MN∥BD，MN＝BD＝MD＝1，
过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+DH2＝DM2，
即（n﹣2）2+（n﹣5）2＝12，
∴n1＝4（不合题意），n2＝5.6，
∴N（4.6，），
同理（n﹣2）2+（4﹣n）2＝1，
∴n1＝4+（不合题意，舍去），n2＝4﹣，
∴N（5﹣，﹣），
③以BD为边，如图3，

过M作MH⊥x轴于H，
∴MH2+BH2＝BM2，
即（n﹣2）2+（n﹣4）2＝12，
∴n1＝4+，n2＝4﹣（不合题意，舍去），
∴N（5+，），
综上所述，点N坐标为：（）或 （，）或（5﹣，）或 （5+，）．
14．如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）．
①当t为何值时，△DPQ的面积最小？
②是否存在某一时刻t，使△DPQ为直角三角形？
若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）点A（0，3），点C（4，0），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式，解得：b＝，c＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3；

（2）y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣4）（x+2），故点E（﹣2，0）；
抛物线的对称轴为：x＝1，则点D（2，3），
由题意得：点Q（t，3﹣t），点P（4，t），
①△DPQ的面积＝S△ABC﹣（S△ADQ+S△PQC+S△BPD）＝3×4﹣ [2×t+2（3﹣t）+（5﹣）×t×]＝t2﹣2t．
∵＞0，故△DPQ的面积有最小值，此时，t＝；
②点D（2，3），点Q（t，3﹣t），点P（4，t），
（Ⅰ）当PQ是斜边时，如图1，

过点Q作QM⊥AB于点M，则MQ＝t，MD＝2﹣t，BD＝4﹣2＝2，PB＝3﹣t，
则tan∠MQD＝tan∠BDP，即，解得：t＝（舍去）；
（Ⅱ）当PD为斜边时，
过点Q作y轴的平行线交AB于点N，交过点P于x轴的平行线于点M，
则ND＝2﹣t，QN＝t，MP＝4﹣t，QM＝3﹣t﹣t＝3﹣2t，

同理可得：，
解得：t＝或；
（Ⅲ）当QD为斜边时，
同理可得：故t＝；
综上，t＝或或或．
15．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，连接BD，点P是线段BD上的一个动点（不与B、D）重合．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）过点P作PE⊥y轴于点E，求△PBE面积的最大值及取得最大值时P点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．

解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）
∴所以二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴D的坐标为（1，4）；

（2）设BD的解析式为y＝kx+b
∵过点B（3，0），D（1，4）
∴解得
BD的解析式为y＝﹣2x+6
设P（m，﹣2m+6），
∵PE⊥y轴于点E，

∴PE＝m，
△BPE的PE边上的高h＝﹣2m+6，
∴S△BPE＝×PE×h＝m（﹣2m+6）
＝﹣m2+3m＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴当m＝时△BPE的面积取得最大值为，
当m＝时，y＝﹣2×+6＝3，
∴P的坐标是（，3）；

（3）设点M（s，0），点N（m，n），n＝﹣m2+2m+3，
①当BP是边时，
点P向右平移个单位向下平移3个单位得到B，
同理点M（N）向右平移个单位向下平移3个单位得到N（M），
即s＝m，0±3＝n，
解得：s＝﹣或或；
②当PB为对角线时，
m+s＝3+，n＝3，
解得：s＝或，
故：M点的坐标为：；；；；；　．