高三理科数学一轮单元卷：第二十四单元 统计概率综合 B卷

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷（B）

第二十四单元 统计概率综合

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．如下图是2017年第一季度五省GDP情况图，则下列陈述中不正确的是（    ）

A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省．

B．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP总量实现了增长．

C．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元．

D．2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个．

2．2018年1月31日晚上月全食的过程分为初亏、食既、食甚、生光、复圆五个阶段，月食的初亏发生在19时48分，20时51分食既，食甚时刻为21时31分，22时08分生光，直至23时12分复圆．全食伴随有蓝月亮和红月亮，全食阶段的“红月亮”将在食甚时刻开始，生光时刻结東，一市民准备在19:55至21：56之间的某个时刻欣赏月全食，则他等待“红月亮”的时间不超过30分钟的概率是（    ）

A． B． C． D．

3．把内的均匀随机数分别转化为和内的均匀随机数，，需实施的变换分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表：

若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过（    ）

附：

A． B． C． D．

5．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形，一块中三角形和两块全等的大三角形），一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若向正方形内随机抛掷2000颗米粒（大小忽略不计），则落在图中阴影部分内米粒数大约为（    ）

A．750 B．500 C．375 D．250

6．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为（    ）

A． B． C． D．

7．某商场举行有奖促销活动，抽奖规则如下：箱子中有编号为1，2，3，4，5的五个形状、大小完全相同的小球，从中任取两球，若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖；否则不中奖，则中奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

8．甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的，的比值（    ）

A． B． C．2 D．3

9．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻，有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说：“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”，有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况，

有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况，即为八卦，在一次卜卦中，恰好出现两个阳爻一个阴爻的概率是（    ）

A． B． C． D．

10．设不等式组，所表示的可行域为，现在区域中任意丢进一个粒子，则该粒子落在直线左上方的概率为（    ）

A． B． C． D．

11．若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（    ）

A．2 B． C． D．

12．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案数有（    ）

A．48种 B．72种 C．96种 D．216

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品事先拟订的价格进行试销，得到如下数据．

由表中数据求得线性回归方程，则元时预测销量为__________件．

14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．

15．如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为__________．

16．已知函数的图像与直线，以及轴所围成的图形的面积为，

则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试，成绩（单位：分）记录如下．

理科：79，81，81，79，94，92，85，89

文科：94，80，90，81，73，84，90，80

（1）画出理科、文科两组同学成绩的茎叶图；

（2）计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中发挥比较好；

（3）若在成绩不低于90分的同学中随机抽出3人进行培训，求抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学的概率．

（参考公式：样本数据，，…，的方差：其中为样本平均数）

18．（12分）某市一中毕业生有3000名，二中毕业生有2000名．为了研究语文高考成绩是否与学校有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取100名学生，先统计了他们的成绩（折合成百分制），然后按“一中”、“二中”分为两组，再将成绩分为5组，，，，，分别加以统计，得到如图频率分布直方图：

（1）从成绩在90分（含90分）以上的学生中随机抽取2人，问至少抽到一名学生是“一中”的概率；

（2）规定成绩在70分一下为“成绩不理想”，请根据已知条件构造列联表，并判断是否有的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”．

附：

19．（12分）近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：

根据以上数据，绘制了散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立关于的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：

已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受折优惠，有15名乘客享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入．

参考数据：

其中，，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:，．

20．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：

以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记表示1台机器三年内共需维修的次数，表示购买1台机器的同时购买的维修次数．

（1）求的分布列；

（2）若要求，确定的最小值；

（3）以在维修上所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？

21．（12分）从甲、乙两种棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：）组成一个样本，

且将纤维长度超过的棉花定为一级棉花．设计了如下茎叶图:

（1）根据以上茎叶图，对甲、乙两种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论（不必计算）；

（2）从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，求其中恰有3根一级棉花的概率；

（3）用样本估计总体，将样本频率视为概率，现从甲、乙两种棉花中各随机抽取1根，求其中一级棉花根数的分布列及数学期望．

22．（12分）2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破．根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要经过4个直道与弯道的交接口．已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为，摔倒的概率均为．假定运动员只有在摔倒或达到终点时才停止滑行，现在用表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通过的交接口数．

（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；

（2）求的分布列及数学期望．

一轮单元训练金卷▪高三▪数学卷答案（B）

第二十四单元 统计概率综合

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．【答案】D

【解析】由折线图可知A、B正确；，故C正确；2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个．所以D错误．

故选D．

2．【答案】C

【解析】如图，时间轴点所示，概率为，故选C．

3．【答案】C

【解析】由随机数的变换公式可得，．故选C．

4．【答案】B

【解析】根据表中数据得到，

所以，若推断“学生的性别与认为作业量大有关”，则这种推断犯错误的概率不超过，故选B．

5．【答案】C

【解析】因为，故阴影部分的面积与梯形的面积相等，

，所以落在阴影部分的概率，，故选C．

6．【答案】C

【解析】设圆的半径为，则，，，

则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为．故选C．

7．【答案】C

【解析】由题得试验的所有基本事件有：，，，，，，，，，共10个，摸出的两球号码的乘积为奇数的基本事件有，，共3个，

由古典概型的概率公式得．故选C．

8．【答案】A

【解析】由题意得，甲组数据为：24，29，，42；乙组数据为：25，，31，33，42．

∴甲、乙两组数据的中位数分别为，31，且甲、乙两组数的平均数分别为

，．

由题意得，解得，∴．故选A．

9．【答案】C

【解析】在一次所谓“算卦”中得到六爻，基本事件总数，这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件，∴这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是．故选C．

10．【答案】A

【解析】设粒子落在直线上方区域内的概率为，如图所示，不等式组围成的区域的面积为4，直线上方区域的面积为，

所以相应的概率为，故选A．

11．【答案】B

【解析】令，可得二项式中所有项的系数之和为，令，可得的所有项的系数的绝对值之和为，则，

故当时，取得最小值，故选B．

12．【答案】C

【解析】按照以下顺序涂色，，

所以由乘法分步原理得总的方案数为种．所以总的方案数为96，故选C．

二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）

13．【答案】66

【解析】由题得：，，

∴，∴，故答案为66．

14．【答案】

【解析】由题意可知了，比赛可能的方法有种，

其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，

田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，

结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为．

15．【答案】

【解析】设正方形的边长为2，则．∵为正三角形

∴，∴阴影部分面积为

∴向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为，

故答案为．

16．【答案】

【解析】由题意，

∴．

展开式的常数项由中含的项乘以再加上含的项乘以得到的．

∵展开式的通项．

令，得，因此的展开式中的系数为．

令，得，因此的展开式中的系数为．

则的展开式中的常数项为．故答案为．

三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【答案】（1）见解析；（2）理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好，见解析；（3）．

【解析】（1）理科、文科两组同学成绩的茎叶图如下：

（2）从平均数和方差的角度看，理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．理由如下：

理科同学成绩的平均数，

方差是；文科同学成绩的平均数．

方差是；由于，，所以理科组同学在此次模拟测试中发挥比较好．

（3）设理科组同学中成绩不低于90分的2人分别为A，B，文科组同学中成绩不低于90分的3人分别为，，，则从他们中随机抽出3人有以下10种可能：，，，，，，，，，．其中全是文科组同学的情况只有一种，没有全是理科组同学的情况，

记“抽出的3人中既有理科组同学又有文科组同学”为事件，则．

18．【答案】（1）；（2）没有的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”，见解析．

【解析】（1）由分层抽样抽取的100名学生中，一中有60名，二中有40名，所以成绩在90分以上的人中，一中有人；二中有人，至少抽到一名学生是“一中”的概率．

（2）列联表如下：

将列联表中的数据代入公式，可得：

所以没有的把握认为“成绩不理想与所在学校有关”．

19．【答案】（1）见解析；（2），3470；（3）199200元．

【解析】（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回归方程类型．

（2）∵，两边同时取常用对数得:；

设，∴

∵，，，∴，

把代入，得：，

∴，∴，∴；

把代入上式，∴；

∴活动推出第8天使用扫码支付的人次为，

∴关于的回归方程为:，

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；

（3）由题意可知:一个月中使用现金的乘客有1000人，共收入元；使用乘车卡的乘客有6000人，共收入元；

使用扫码支付的乘客有3000人，

其中：享受7折优惠的有500人，共收入元

享受8折优惠的有1000人，共收入元

享受9折优惠的有1500人，共收入元

所以，一辆车一个月的收入为：（元）

所以，一辆车一年的收入为：（元）．

20．【答案】（1）见解析；（2）11；（3）选择．

【解析】（1）由统计表并以频率代替概率可得，的分布列为

（2）因为，，所以的最小值为11．

（3）记当时，在维修上所需费用为元，则的分布列为

所以（元）

记当时，在维修上所需费用为元，则的分布列为

所以（元）

因为，所以应选择．

21．【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析．

【解析】（1）1．乙种棉花的纤维平均长度大于甲种棉花的纤维平均长度（或：乙种棉花的纤维长度普遍大于甲种棉花的纤维长度）．

2．甲种棉花的纤维长度较乙种棉花的纤维长度更分散．（或：乙种棉花的纤维长度较甲种棉花的纤维长度更集中（稳定），甲种棉花的纤维长度的分散程度比乙种棉花的纤维长度的分散程度更大．）

3．甲种棉花的纤维长度的中位数为．乙种棉花的纤维长度的中位数为．

4．乙种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）．甲种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀．

（2）记事件为“从样本中随机抽取甲、乙两种棉花各2根，其中恰有3根一级棉花”．

则．

（3）由题意知，的可能取值是0，1，2，其相应的概率为

，，，

所以的分布列为

．

22．【答案】（1）；（2），见解析．

【解析】（1）由题意可知：．

（2）的所有可能只为0，1，2，3，4．

则，且，，，相互独立．

故，，

，，

．

从而的分布列为

所以．