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新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.2.2 利用导数研究函数的极值、最值
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这是一份新教材2022届高考数学人教版一轮复习课件：4.2.2 利用导数研究函数的极值、最值，共48页。PPT课件主要包含了课前·基础巩固，课堂·题型讲解，高考·命题预测，极大值，极小值，极大值点，极小值点，答案C，答案A，答案1218等内容，欢迎下载使用。
【教材回扣】1．函数的极值与导数
2.函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____为函数的最大值，______为函数的最小值．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．( )2．函数的极大值一定比极小值大．( )3．若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．( )4．若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．( )
题组二 教材改编1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点
解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，故选C.
解析：∵f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即(2－c)2＋4(2－c)＝0，解得c＝2或c＝6.经检验c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6.故选A.
3．(一题两空)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为____________ m时容器的容积最大，最大容积是____________ m3.
题组三 易错自纠1．(多选题)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是( )A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
解析：根据导函数图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，在(－3，1)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；则－3是函数y＝f(x)的极小值点，A正确；∵在(－3，1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，B不正确；∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，D不正确．故选BD.
解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.∵0≤x≤3，∴x＝2，当00，∴函数f(x)在区间(2，3)上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝m－3，∵m>m－3，∴x＝0时，f(x)在[0，3]上取得最大值f(0)＝m.∴m＝4.
题型一 用导数解决函数的极值问题 高频考点角度1|由图象判断函数的极值[例1] (多选题)[2021·山东济宁模拟]已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C．x＝－2是函数的极小值点D．x＝2是函数的极小值点
解析：由题意，当02，f′(x)>0；当－20.即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值．故A错；B正确；C错，D正确．
类题通法根据函数的图象，先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
巩固训练1：已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则关于f(x)的结论正确的是( )A．在区间(－2，2)上为减函数B．在x＝－2处取得极小值C．在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上为增函数D．在x＝0处取得极大值
解析：由图象得：f(x)在(－∞，－2)上递减，在(－2，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，故f(x)在x＝－2取极小值，在x＝2取极大值，故选B.
角度2|求函数的极值[例2] 已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
类题通法求函数极值的一般步骤：①先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；④求出具体极值．
巩固训练2：若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1
解析：∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)<0得－2
巩固训练3：已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是________．
类题通法求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
类题通法利用导数解决生活中优化问题的方法求实数问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．
巩固训练5：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[预测2] 新题型——多选题已知函数f(x)＝x＋sin x－x cs x的定义域为[－2π，2π)，则( )A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点
【教材回扣】1．函数的极值与导数
2.函数的最值与导数(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则______为函数的最小值，______为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则____为函数的最大值，______为函数的最小值．
【题组练透】题组一 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．函数f(x)在区间(a，b)内一定存在最值．( )2．函数的极大值一定比极小值大．( )3．若函数f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内一定不单调．( )4．若函数在给定区间上有最值，则最大(小)值最多有一个；若有极值，则可有多个．( )
题组二 教材改编1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点
解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个，故选C.
解析：∵f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝0，即(2－c)2＋4(2－c)＝0，解得c＝2或c＝6.经检验c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c＝6.故选A.
3．(一题两空)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为____________ m时容器的容积最大，最大容积是____________ m3.
题组三 易错自纠1．(多选题)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，以下命题错误的是( )A．－3是函数y＝f(x)的极值点B．－1是函数y＝f(x)的最小值点C．y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
解析：根据导函数图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，在(－3，1)时，f′(x)≥0，∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，1)上单调递增，故C正确；则－3是函数y＝f(x)的极小值点，A正确；∵在(－3，1)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，B不正确；∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，D不正确．故选BD.
解析：∵f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.∵0≤x≤3，∴x＝2，当0
题型一 用导数解决函数的极值问题 高频考点角度1|由图象判断函数的极值[例1] (多选题)[2021·山东济宁模拟]已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是( )A．函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B．函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C．x＝－2是函数的极小值点D．x＝2是函数的极小值点
解析：由题意，当0
类题通法根据函数的图象，先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．
巩固训练1：已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则关于f(x)的结论正确的是( )A．在区间(－2，2)上为减函数B．在x＝－2处取得极小值C．在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上为增函数D．在x＝0处取得极大值
解析：由图象得：f(x)在(－∞，－2)上递减，在(－2，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，故f(x)在x＝－2取极小值，在x＝2取极大值，故选B.
角度2|求函数的极值[例2] 已知函数f(x)＝x2－1－2a ln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
类题通法求函数极值的一般步骤：①先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数f′(x)；②求f′(x)＝0的根；③判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；④求出具体极值．
巩固训练2：若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为( )A．－1 B．－2e－3C．5e－3 D．1
解析：∵f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，∴f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.又x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1.∴f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1，令f′(x)＝0得x＝－2或x＝1，令f′(x)<0得－2
巩固训练3：已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是________．
类题通法求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的思路(1)若所给的闭区间[a，b]不含参数，则只需对函数f(x)求导，并求f′(x)＝0在区间[a，b]内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．
类题通法利用导数解决生活中优化问题的方法求实数问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．
巩固训练5：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
[预测2] 新题型——多选题已知函数f(x)＝x＋sin x－x cs x的定义域为[－2π，2π)，则( )A．f(x)为奇函数B．f(x)在[0，π)上单调递增C．f(x)恰有4个极大值点D．f(x)有且仅有4个极值点
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