2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（二十九） 非线性回归直线方程的求解

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回归分析中，依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的，还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析．通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理．
[例] 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中wi＝eq \r(xi)，eq \(w,\s\up6(－))＝eq \f(1,8)eq \i\su(i＝1,8,w)i.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋deq \r(x)哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线eq \(v,\s\up6(^))＝eq \(α,\s\up6(^))＋eq \(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估计分别为eq \(β,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )ui－\(u,\s\up6(－))vi－\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )ui－\(u,\s\up6(－))2)，eq \(α,\s\up6(^))＝eq \(v,\s\up6(－))－eq \(β,\s\up6(^))eq \(u,\s\up6(－)).
解析：(1)由散点图可以判断，y＝c＋deq \r(x)适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
(2)令w＝eq \r(x)，先建立y关于w的线性回归方程，由于eq \(d,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,8, )wi－\(w,\s\up6(－))·yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,8, )wi－\(w,\s\up6(－))2)＝eq \f(108.8,1.6)＝68，
eq \(c,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(d,\s\up6(^))eq \(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，
因此y关于x的回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(x).
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值eq \(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq \r(49)＝576.6，
年利润z的预报值eq \(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
eq \(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq \r(x))－x＝－x＋13.6eq \r(x)＋20.12.
所以当eq \r(x)＝eq \f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24时，eq \(z,\s\up6(^))取得最大值．
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
名师点评 非线性回归方程的求法
(1)根据原始数据(x，y)作出散点图．
(2)根据散点图选择恰当的拟合函数．
(3)作恰当的变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程．
(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程．
[变式练] 二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：
下面是z关于x的折线图：
(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
(2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(eq \(b,\s\up6(^))、eq \(a,\s\up6(^))小数点后保留两位有效数字)．
参考公式：回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\(x,\s\up6(－))\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)；
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(y,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))，r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))yi－\(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2·\i\su(i＝1,n, )yi－\(y,\s\up6(－))2))
参考数据：eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝187.4，eq \i\su(i＝1,6,x)izi＝47.64，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \\al(2,i)＝139，eq \r(\i\su(i＝1,6, )xi－\(x,\s\up6(－))2)＝4.18，eq \r(\i\su(i＝1,6, )yi－\(y,\s\up6(－))2)＝13.96，eq \r(\i\su(i＝1,6, )zi－\(z,\s\up6(－))2)＝1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.
微专题(二十九)
变式练
解析：(1)由题意，计算
eq \(x,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，
eq \(z,\s\up6(－))＝eq \f(1,6)×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2.
且eq \i\su(i＝1,6,x)izi＝47.64, eq \r(\i\su(i＝1,6, )xi－\(x,\s\up6(－))2)＝4.18, eq \r(\i\su(i＝1,6, )zi－\(z,\s\up6(－))2)＝1.53，
∴r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))zi－\(z,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\(x,\s\up6(－))2\i\su(i＝1,n, )zi－\(z,\s\up6(－))2))
＝eq \f(47.64－6×4.5×2,4.18×1.53)＝－eq \f(6.36,6.395 4)≈－0.99.
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．
(2)利用最小二乘法估计公式计算
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)izi－n\(x,\s\up6(－)) \(z,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\\al(2,i)－n\(x,\s\up6(－))2)＝eq \f(47.64－6×4.5×2,139－6×4.52)＝－eq \f(6.36,17.5)≈－0.36.
∴eq \(a,\s\up6(^))＝eq \(z,\s\up6(－))－eq \(b,\s\up6(^))eq \(x,\s\up6(－))＝2＋0.36×4.5＝3.62.
∴z与x的线性回归方程是eq \(z,\s\up6(^))＝－0.36x＋3.62.
又z＝ln y，
∴y关于x的回归方程是eq \(y,\s\up6(^))＝e－0.36x＋3.62，
令x＝9，解得eq \(y,\s\up6(^))＝e－0.36×9＋3.62≈1.46，
即预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元．
eq \(x,\s\up6(－))
eq \(y,\s\up6(－))
eq \(w,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,8, )(wi－eq \(w,\s\up6(－)))2
eq \i\su(i＝1,8, )(xi－eq \(x,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
eq \i\su(i＝1,8, )(wi－eq \(w,\s\up6(－)))·(yi－eq \(y,\s\up6(－)))
46.6
563
6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
使用年数
2
3
4
5
6
7
售价y
20
12
8
6.4
4.4
3
z＝ln y
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10