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2022届高考物理一轮复习讲义学案（新高考人教版）第十五章 第1讲 机械振动
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这是一份2022届高考物理一轮复习讲义学案（新高考人教版）第十五章 第1讲 机械振动，共15页。
目标要求 1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件.
考点一 简谐运动的规律
基础回扣
简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力.
(2)方向：总是指向平衡位置.
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.
技巧点拨
简谐运动基本物理量的分析
例1 (多选)(2020·江西月考)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.位移减小时，加速度减小，速度增大
C.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D.物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
答案 BD
解析 简谐运动受到的回复力是变力，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故B正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故C错误，D正确.
简谐运动的周期性与对称性
例2 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图1所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
图1
A.7 s B.14 s
C.16 s D.eq \f(10,3) s
答案 C
解析 由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确.
1.(简谐运动的周期性)(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq \f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.
2.(简谐运动的回复力)如图2所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图2
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
答案 D
考点二 简谐运动图象的理解和应用
基础回扣
简谐运动的图象
1.物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线.
2.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为x＝Asin_ωt，图象如图3甲所示.
图3
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acs_ωt，图象如图乙所示.
技巧点拨
1.从图象可获取的信息
图4
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图4所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同.
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同.
例3 (多选)(2019·福建省调研)如图6甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象.下列说法中正确的是( )
图6
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
答案 BC
解析 在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－eq \f(kx,m)，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误.
3.(从简谐运动图象找位移、加速度关系)(多选)(2020·四川宜宾市叙州区第二中学校高三月考)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图7，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是( )
图7
A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零
B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq \f(A,2)
C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等
D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等
答案 AC
解析 质点通过位置c，即平衡位置时，此时速度最大，加速度为零，故A正确；x－t图象是正弦图象，故质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq \f(\r(2),2) A，故B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2 s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D错误.
4.(函数表达式描述图象)(多选)(2020·四川北师大广安实验学校月考)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，则( )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为eq \f(2π,3) s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
答案 ABD
解析 质点做简谐运动，位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2))cm，对照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅为3 cm，角速度为eq \f(2π,3)，根据公式ω＝eq \f(2π,T)，周期为3 s，故A、B正确，C错误；t＝0.75 s时刻，x＝3sin (eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2))cm＝0，即质点在平衡位置，故D正确.
考点三 单摆及其周期公式
基础回扣
1.定义：
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆.(如图8)
图8
2.视为简谐运动的条件：θ<5°.
3.回复力：F＝G2＝Gsin θ.
4.周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.
(2)g为当地重力加速度.
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子(小球)质量无关.
技巧点拨
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反.
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ.
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝0，FT＝mgcs θ.
②当摆球在最低点时，F向＝eq \f(mvmax2,l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(vmax2,l).
例4 (多选)如图9所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )
图9
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误.
5.(单摆的特点)(多选)(2020·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
答案 AC
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误.
考点四 受迫振动和共振
基础回扣
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动.
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关.
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象.
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率.
(3)共振的特征：共振时振幅最大.
(4)共振曲线(如图10所示).
图10
f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小.
技巧点拨
简谐运动、受迫振动和共振的比较
6.(共振的图象)(多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图11所示，则( )
图11
A.此单摆的固有周期为2 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
答案 ABD
解析 由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故选项A、B、D正确.
7.(受迫振动)(多选)(2020·浙江杭州市西湖区调研节选)如图12所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆.下列说法正确的是( )
图12
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同但加速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案 ABD
解析 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，故C错误，D正确.
课时精练
1.(多选)关于受迫振动和共振，下列说法正确的是( )
A.火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振
B.若驱动力的频率为5 Hz，则受迫振动稳定后的振动频率一定为5 Hz
C.当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大
D.受迫振动系统的机械能守恒
答案 BC
解析 火车过桥时限制速度是为了防止桥发生共振，选项A错误；对于一个受迫振动系统，若驱动力的频率为5 Hz，则振动系统稳定后的振动频率也一定为5 Hz，选项B正确；由共振的定义可知，选项C正确；受迫振动系统，驱动力做功，系统的机械能不守恒，选项D错误.
2.(多选)(2019·江苏卷·13B(1))一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误.
3.(多选)(2020·河北石家庄二中高三一模)关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A.弹簧振子做简谐运动的回复力表达式F＝－kx中，F为振动物体所受的合外力，k为弹簧的劲度系数
B.物体的速度再次相同时，所经历的时间一定是一个周期
C.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向也相反
D.水平弹簧振子在简谐运动中动能和势能的和是不变的
答案 AD
解析 简谐运动的回复力表达式为F＝－kx，对于弹簧振子而言，F为振动物体所受的合外力，k为弹簧的劲度系数，故A正确；一个周期内有两次速度大小和方向完全相同，故物体速度再次相同时，所经历的时间可能为一个周期，也可能小于一个周期，故B错误；位移方向总跟加速度方向相反，而质点经过同一位置，位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置，而速度方向有两种，可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反，故C错误；水平弹簧振子在做简谐运动时，只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则动能和势能的和不变，故D正确.
4.(多选)(2019·广西南宁市第三十四中学期中)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图象如图1所示，则( )
图1
A.弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为0.5 m
B.简谐运动的频率是0.125 Hz
C.弹簧振子在第4 s末的位移为零
D.在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
答案 BCD
解析 弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为5A，即2.5 m，选项A错误；简谐运动的周期T＝8 s，则频率是f＝eq \f(1,T)＝0.125 Hz，选项B正确；弹簧振子第4 s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；因x－t图象的斜率表示速度，可知在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确.
5.(多选)如图2所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是( )
图2
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq \f(T,2)
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
答案 AC
解析 如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－eq \f(kx,m)知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
6.(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
s B.1.4 s
C.1.6 s D.2 s
答案 AC
解析 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向点C运动，振子从O→C所需时间为eq \f(T,4).因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq \f(T,4)＝0.3 s＋eq \f(0.2,2) s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq \f(0.3 s－0.2 s,3)＝eq \f(1,30) s，故周期为T＝0.5 s＋eq \f(1,30) s≈0.53 s，故A、C正确.
7.(2020·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图3中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
图3
A.单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B.若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C.若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D.周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
答案 B
解析 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，选项A错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，则由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))可知，l＝eq \f(g,4π2f2)，则若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1；若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，选项B正确，C错误；在地面附近，秒摆的摆长为l＝eq \f(gT2,4π2)≈1 m，选项D错误.
8.(2019·全国卷Ⅱ·34(1))如图4，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉.将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时.当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正.下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
图4
答案 A
解析 由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在钉子右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项错误.
9．如图5甲所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向，如图乙是这个单摆的振动图象，该单摆振动的频率是________Hz，若振幅有所减小，则振动周期将________(选填“增大”“减小”或“不变”)．
图5
答案 1.25 不变
解析 由题图振动图象可得周期T＝0.8 s，则频率f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知周期与振幅无关，则振幅减小其周期不变．受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大.在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
目标要求 1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象.2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式.3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件.
考点一 简谐运动的规律
基础回扣
简谐运动
1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动.
2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置.
3.回复力
(1)定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力.
(2)方向：总是指向平衡位置.
(3)来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力.
技巧点拨
简谐运动基本物理量的分析
例1 (多选)(2020·江西月考)关于简谐运动的理解，下列说法中正确的是( )
A.简谐运动是匀变速运动
B.位移减小时，加速度减小，速度增大
C.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同
D.物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同
答案 BD
解析 简谐运动受到的回复力是变力，所以简谐运动不是匀变速运动，A错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度减小，物体向平衡位置运动，速度增大，故B正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度与位移方向可以相同，也可以相反；物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，故C错误，D正确.
简谐运动的周期性与对称性
例2 一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s质点第一次经过M点，如图1所示，再继续运动，又经过4 s第二次经过M点，则再经过多长时间第三次经过M点( )
图1
A.7 s B.14 s
C.16 s D.eq \f(10,3) s
答案 C
解析 由题意可知质点第一次经过M点的运动方向向右，简谐运动的周期T＝4×(3＋2) s＝20 s，则第三次经过M点的时间为t＝(20－4) s＝16 s，故C选项正确.
1.(简谐运动的周期性)(多选)一弹簧振子做简谐运动，则以下说法正确的是( )
A.振子的加速度方向始终指向平衡位置
B.已知振动周期为T，若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子运动的加速度一定相同
C.若t时刻和(t＋Δt)时刻弹簧的长度相等，则Δt一定为振动周期的整数倍
D.振子的动能相等时，弹簧的长度不一定相等
答案 ABD
解析 振子的加速度方向始终指向平衡位置，故A正确；若Δt＝T，则在t时刻和(t＋Δt)时刻振子的位移相同，加速度也相同，故B正确；从平衡位置再回到平衡位置，经历的时间最短为eq \f(T,2)，弹簧的长度相等，故C错误；关于平衡位置对称的两个位置，振子的动能相等，弹簧的长度不相等，故D正确.
2.(简谐运动的回复力)如图2所示，弹簧振子B上放一个物块A，在A与B一起做简谐运动的过程中，下列关于A受力的说法中正确的是( )
图2
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力
D.物块A受重力、支持力及B对它的非恒定的摩擦力
答案 D
考点二 简谐运动图象的理解和应用
基础回扣
简谐运动的图象
1.物理意义：表示振子的位移随时间变化的规律，为正弦(或余弦)曲线.
2.简谐运动的图象
(1)从平衡位置开始计时，把开始运动的方向规定为正方向，函数表达式为x＝Asin_ωt，图象如图3甲所示.
图3
(2)从正的最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acs_ωt，图象如图乙所示.
技巧点拨
1.从图象可获取的信息
图4
(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图4所示).
(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移.
(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定.
(4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同.
(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况.
2.简谐运动的对称性(如图5)
图5
(1)相隔Δt＝(n＋eq \f(1,2))T(n＝0,1,2…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向(或都为零)，速度等大反向(或都为零)，加速度等大反向(或都为零).
(2)相隔Δt＝nT(n＝1,2,3…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移、速度和加速度都相同.
例3 (多选)(2019·福建省调研)如图6甲所示，以O点为平衡位置，弹簧振子在A、B两点间做简谐运动，图乙为这个弹簧振子的振动图象.下列说法中正确的是( )
图6
A.在t＝0.2 s时，弹簧振子的加速度为正向最大
B.在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子在同一位置
C.从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动
D.在t＝0.6 s时，弹簧振子有最小的弹性势能
答案 BC
解析 在t＝0.2 s时，弹簧振子的位移为正向最大值，a＝－eq \f(kx,m)，知弹簧振子的加速度为负向最大，A错误；在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的位移相同，说明弹簧振子在同一位置，B正确；从t＝0到t＝0.2 s时间内，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，位移逐渐增大，加速度逐渐增大，加速度方向与速度方向相反，弹簧振子做加速度增大的减速运动，C正确；在t＝0.6 s时，弹簧振子的位移为负向最大值，即弹簧的形变量最大，弹簧振子的弹性势能最大，D错误.
3.(从简谐运动图象找位移、加速度关系)(多选)(2020·四川宜宾市叙州区第二中学校高三月考)一个质点以O为中心做简谐运动，位移随时间变化的图象如图7，a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置.下列说法正确的是( )
图7
A.质点通过位置c时速度最大，加速度为零
B.质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq \f(A,2)
C.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等
D.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等
答案 AC
解析 质点通过位置c，即平衡位置时，此时速度最大，加速度为零，故A正确；x－t图象是正弦图象，故质点通过位置b时，相对平衡位置的位移为eq \f(\r(2),2) A，故B错误；质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等，均为2 s，故C正确；质点从位置a到b和从b到c的过程中时间相同但位移大小不同，故平均速度不同，故D错误.
4.(函数表达式描述图象)(多选)(2020·四川北师大广安实验学校月考)某质点做简谐运动，其位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2)) cm，则( )
A.质点的振幅为3 cm
B.质点振动的周期为3 s
C.质点振动的周期为eq \f(2π,3) s
D.t＝0.75 s时刻，质点回到平衡位置
答案 ABD
解析 质点做简谐运动，位移与时间的关系式为x＝3sin (eq \f(2π,3)t＋eq \f(π,2))cm，对照公式x＝Asin(ωt＋φ0)，振幅为3 cm，角速度为eq \f(2π,3)，根据公式ω＝eq \f(2π,T)，周期为3 s，故A、B正确，C错误；t＝0.75 s时刻，x＝3sin (eq \f(2π,3)×eq \f(3,4)＋eq \f(π,2))cm＝0，即质点在平衡位置，故D正确.
考点三 单摆及其周期公式
基础回扣
1.定义：
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆.(如图8)
图8
2.视为简谐运动的条件：θ<5°.
3.回复力：F＝G2＝Gsin θ.
4.周期公式：T＝2πeq \r(\f(l,g)).
(1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离.
(2)g为当地重力加速度.
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子(小球)质量无关.
技巧点拨
单摆的受力特征
(1)回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝mgsin θ＝－eq \f(mg,l)x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反.
(2)向心力：摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcs θ.
(3)两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝0，FT＝mgcs θ.
②当摆球在最低点时，F向＝eq \f(mvmax2,l)，F向最大，FT＝mg＋meq \f(vmax2,l).
例4 (多选)如图9所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是( )
图9
A.甲、乙两摆的振幅之比为2∶1
B.t＝2 s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零
C.甲、乙两摆的摆长之比为4∶1
D.甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小一定相等
答案 AB
解析 由题图知甲、乙两摆的振幅分别为2 cm、1 cm，故A正确；t＝2 s时，甲摆在平衡位置处，重力势能最小，乙摆在正的最大位移处，动能为零，B正确；甲、乙两摆的周期之比为1∶2，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，得到甲、乙两摆的摆长之比为1∶4，C错误；由题目中的条件不能比较甲、乙两摆摆球在最低点时摆线的拉力大小，D错误.
5.(单摆的特点)(多选)(2020·河南九师联盟质检)关于单摆，下列说法正确的是( )
A.将单摆由沈阳移至广州，单摆周期变大
B.将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期变小
C.当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大
D.当单摆的摆球运动到平衡位置时，受到的合力为零
答案 AC
解析 将单摆由沈阳移至广州，因重力加速度减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，单摆周期变大，选项A正确；单摆的周期与摆角无关，将单摆的摆角从4°改为2°，单摆的周期不变，选项B错误；当单摆的摆球运动到平衡位置时，摆球的速度最大，有向心加速度，则受到的合力不为零，选项C正确，D错误.
考点四 受迫振动和共振
基础回扣
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动.
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关.
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅最大的现象.
(2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率.
(3)共振的特征：共振时振幅最大.
(4)共振曲线(如图10所示).
图10
f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小.
技巧点拨
简谐运动、受迫振动和共振的比较
6.(共振的图象)(多选)一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图11所示，则( )
图11
A.此单摆的固有周期为2 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动
答案 ABD
解析 由共振曲线知此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s；再由T＝2πeq \r(\f(l,g))，得此单摆的摆长约为1 m；若摆长增大，单摆的固有周期增大，固有频率减小，则共振曲线的峰将向左移动，故选项A、B、D正确.
7.(受迫振动)(多选)(2020·浙江杭州市西湖区调研节选)如图12所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆.下列说法正确的是( )
图12
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同但加速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于2πeq \r(\f(L,g))
C.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的振幅最大
答案 ABD
解析 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据F＝－kx可得，加速度a＝eq \f(F,m)＝－eq \f(k,m)x，故加速度一定相同，A正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T＝2πeq \r(\f(L,g))，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B正确；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，故C错误，D正确.
课时精练
1.(多选)关于受迫振动和共振，下列说法正确的是( )
A.火车过桥时限制速度是为了防止火车发生共振
B.若驱动力的频率为5 Hz，则受迫振动稳定后的振动频率一定为5 Hz
C.当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大
D.受迫振动系统的机械能守恒
答案 BC
解析 火车过桥时限制速度是为了防止桥发生共振，选项A错误；对于一个受迫振动系统，若驱动力的频率为5 Hz，则振动系统稳定后的振动频率也一定为5 Hz，选项B正确；由共振的定义可知，选项C正确；受迫振动系统，驱动力做功，系统的机械能不守恒，选项D错误.
2.(多选)(2019·江苏卷·13B(1))一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的( )
A.位移增大 B.速度增大
C.回复力增大 D.机械能增大
答案 AC
解析 摆球做简谐运动，在平衡位置处位移为零，在摆角增大的过程中，摆球的位移增大，速度减小，选项A正确，B错误；在摆角增大的过程中，摆球受到的回复力增大，选项C正确；单摆做简谐运动，机械能守恒，所以在摆角增大的过程中，摆球机械能保持不变，选项D错误.
3.(多选)(2020·河北石家庄二中高三一模)关于简谐运动，以下说法正确的是( )
A.弹簧振子做简谐运动的回复力表达式F＝－kx中，F为振动物体所受的合外力，k为弹簧的劲度系数
B.物体的速度再次相同时，所经历的时间一定是一个周期
C.位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向也相反
D.水平弹簧振子在简谐运动中动能和势能的和是不变的
答案 AD
解析 简谐运动的回复力表达式为F＝－kx，对于弹簧振子而言，F为振动物体所受的合外力，k为弹簧的劲度系数，故A正确；一个周期内有两次速度大小和方向完全相同，故物体速度再次相同时，所经历的时间可能为一个周期，也可能小于一个周期，故B错误；位移方向总跟加速度方向相反，而质点经过同一位置，位移方向总是由平衡位置指向质点所在位置，而速度方向有两种，可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反，故C错误；水平弹簧振子在做简谐运动时，只有弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则动能和势能的和不变，故D正确.
4.(多选)(2019·广西南宁市第三十四中学期中)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其振动图象如图1所示，则( )
图1
A.弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为0.5 m
B.简谐运动的频率是0.125 Hz
C.弹簧振子在第4 s末的位移为零
D.在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向相同
答案 BCD
解析 弹簧振子在t＝0到t＝10 s内路程为5A，即2.5 m，选项A错误；简谐运动的周期T＝8 s，则频率是f＝eq \f(1,T)＝0.125 Hz，选项B正确；弹簧振子第4 s末在平衡位置，位移为零，选项C正确；因x－t图象的斜率表示速度，可知在第3 s末与第5 s末弹簧振子的速度方向不变，选项D正确.
5.(多选)如图2所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为平衡位置，在C、D两点之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下，动能为Ek.下列说法正确的是( )
图2
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v，方向向下，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为eq \f(T,2)
C.当物块通过O点时，其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
答案 AC
解析 如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动，t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同，则t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项A正确；如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2时刻物块速度与t1时刻大小相等，方向可能相同，也可能相反，t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，选项B错误；题图中O点是平衡位置，物块通过O点时位移最小，根据a＝－eq \f(kx,m)知，其加速度最小，选项C正确；C、D两点关于平衡位置对称，加速度等大反向，选项D错误.
6.(多选)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过0.3 s，第一次到达点M，再经过0.2 s第二次到达点M，则弹簧振子的周期可能为( )
s B.1.4 s
C.1.6 s D.2 s
答案 AC
解析 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，若振子一开始从平衡位置向点C运动，振子从O→C所需时间为eq \f(T,4).因为简谐运动具有对称性，所以振子从M→C所用时间和从C→M所用时间相等，故eq \f(T,4)＝0.3 s＋eq \f(0.2,2) s＝0.4 s，解得T＝1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M′与点M关于点O对称，则振子从点M′经过点B到点M′所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即0.2 s.振子从点O到点M′、从点M′到点O及从点O到点M所需时间相等，为eq \f(0.3 s－0.2 s,3)＝eq \f(1,30) s，故周期为T＝0.5 s＋eq \f(1,30) s≈0.53 s，故A、C正确.
7.(2020·山东青岛市西海岸区模拟)两单摆在不同的驱动力作用下其振幅A随驱动力频率f变化的图象如图3中甲、乙所示，则下列说法正确的是( )
图3
A.单摆振动时的频率与固有频率有关，振幅与固有频率无关
B.若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1
C.若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为4∶1
D.周期为2 s的单摆叫作秒摆，在地面附近，秒摆的摆长约为2 m
答案 B
解析 做受迫振动的物体的频率等于驱动力的频率，单摆振动时的频率由驱动力的频率决定，与单摆的固有频率无关，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，单摆的振幅最大，发生共振，选项A错误；由题图可知，甲、乙两个单摆的固有频率之比为1∶2，则由T＝eq \f(1,f)＝2πeq \r(\f(l,g))可知，l＝eq \f(g,4π2f2)，则若两单摆放在同一地点，则甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1；若两单摆摆长相同放在不同的地点，则甲、乙两单摆所处两地的重力加速度之比为1∶4，选项B正确，C错误；在地面附近，秒摆的摆长为l＝eq \f(gT2,4π2)≈1 m，选项D错误.
8.(2019·全国卷Ⅱ·34(1))如图4，长为l的细绳下方悬挂一小球a，绳的另一端固定在天花板上O点处，在O点正下方eq \f(3,4)l的O′处有一固定细铁钉.将小球向右拉开，使细绳与竖直方向成一小角度(约为2°)后由静止释放，并从释放时开始计时.当小球a摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡.设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正.下列图象中，能描述小球在开始一个周期内的x－t关系的是( )
图4
答案 A
解析 由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，小球在钉子右侧时的振动周期为在钉子左侧时振动周期的2倍，故B、D项错误；由机械能守恒定律可知，小球在左、右最大位移处距离最低点的高度相同，但由于摆长不同，所以小球在左、右两侧摆动时相对平衡位置的最大水平位移不同，当小球在钉子右侧摆动时，最大水平位移较大，故A项正确，C项错误.
9．如图5甲所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向，如图乙是这个单摆的振动图象，该单摆振动的频率是________Hz，若振幅有所减小，则振动周期将________(选填“增大”“减小”或“不变”)．
图5
答案 1.25 不变
解析 由题图振动图象可得周期T＝0.8 s，则频率f＝eq \f(1,T)＝1.25 Hz；由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))可知周期与振幅无关，则振幅减小其周期不变．受力特征
回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动特征
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量特征
振幅越大，能量越大.在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性特征
质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为eq \f(T,2)
对称性特征
关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期或频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0
由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱
T驱＝T0或f驱＝f0
振动能量
振动系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ≤5°)
机械工作时底座发生的振动
共振筛、声音的共鸣等
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