高中数学北师大版必修51.1正弦定理同步测试题

课时分层作业(十一)

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝(　　)

A．　　　　　　 B．

C．或 D．或

C　[由正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，所以sin A(2sin B－)＝0.因为0<A<π，0<B<π，所以sin A≠0，sin B＝，所以B＝或.]

2．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于(　　)

A．3∶2∶1   B．∶2∶1

C．∶∶1 D．2∶∶1

D　[因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，

所以a∶b∶c＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30°＝1∶∶＝2∶∶1.]

3．符合下列条件的△ABC有且只有一个的是(　　)

A．a＝1，b＝，A＝30°

B．a＝1，b＝2，c＝3

C．b＝c＝1，B＝45°

D．a＝1，b＝2，A＝100°

C　[对于A，由正弦定理得＝，所以sin B＝.又a<b，所以B＝45°或135°，所以满足条件的三角形有两个．对于B，a＋b＝c，构不成三角形．对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以满足条件的三角形只有一个．对于D，a<b，所以A<B，而A＝100°，所以没有满足条件的三角形．]

4．已知△ABC中，·＜0，S△ABC＝，||＝3，||＝5，则∠BAC＝(　　)

A．30° B．120°

C．150° D．30°或150°

C　[由S△ABC＝，得×3×5sin ∠BAC＝，

∴sin∠BAC＝，

又由·<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]

5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且acos B＋acos C＝b＋c，则△ABC的形状是(　　)

A．等边三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．直角三角形

D　[∵acos B＋acos C＝b＋c，故由正弦定理得，

sin Acos B＋sin Acos C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，

化简得：cos A(sin B＋sin C)＝0，又sin B＋sin C＞0，

∴cos A＝0，即A＝，∴△ABC为直角三角形．]

二、填空题

6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsin A，则cos B＝________.

　[由a＝4bsin A得＝4b，故sin B＝，又△ABC是锐角三角形，故cos B＝.]

7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．

　[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]

8．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．

2　[由于S△ABC＝，BC＝2，C＝60°，

∴＝×2·AC·，

∴AC＝2，∴△ABC为正三角形，∴AB＝2.]

三、解答题

9．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．若a＝，sin B＝，C＝，求b.

[解]　在△ABC中，∵sin B＝，0＜B＜π，

∴B＝或B＝.

又∵B＋C＜π，C＝，∴B＝，∴A＝.

∵＝，∴b＝＝1.

10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.

[解]　∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得＝＝2R，∴c＝＝＝5，∴2R＝＝＝10，∴R＝5.

[能力提升练]

1．在△ABC中，AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC＝(　　)

A．3－　　　　　 B．

C．2 D．3＋

A　[∵AB＝，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：＝⇒

＝＝，∴BC＝3－.]

2．在△ABC中，若A＝60°，a＝2，则等于(　　)

A．1 B．2

C．4 D．4

C　[＝＝＝＝4，

所以a＝4 sin A，b＝4sin B，c＝4 sin C，

所以

＝＝4.故选C．]

3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是________．

(2,2)　[要使三角形有两解，则asin B<b<a，

即

所以2<x<2.]

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，C为钝角，则的取值范围是________．

(2,3)　[由题意知90°<C<180°，0°<A＋B<90°，因为A＝2B，所以0°<3B<90°，0°<B<30°，

C＝180°－(A＋B)＝180°－3B，

由正弦定理＝，

得＝＝

＝

＝

＝

＝2cos2B＋cos 2B

＝4cos2B－1，

因为<cos B<1，

所以2<4cos2B－1<3，

即2<<3.]

5．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝.

(1)求sin A的值；

(2)设AC＝，求△ABC的面积．

[解]　(1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，得2A＝－B,0＜A＜.

故cos 2A＝sin B，即1－2sin2A＝，sin A＝.

(2)由(1)得cos A＝.

又由正弦定理，得＝，BC＝AC

＝3，又C＝＋A，∴sin C＝cos A＝.

所以S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC·BC·cos A＝3.