2022届一轮复习专题练习8 第56练 简单几何体的表面积与体积（解析版）

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考点一 空间几何体的表面积
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π C．8eq \r(2)π D．10π
2．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．16 B．20 C．24 D．28
3．两直角边分别为1，eq \r(3)的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是( )
A.eq \f(3＋\r(3)π,2) B．3π
C.eq \f(9＋2\r(3)π,4) D．(3＋2eq \r(3))π
考点二 空间几何体的体积
4．若三个球的半径的比是1∶2∶3，则其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的( )
A.eq \f(9,5)倍 B．2倍 C.eq \f(5,2)倍 D．3倍
5.唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤揲成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略收，下承外撇高足．纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为eq \f(14,3)πR2.设酒杯上面部分(圆柱)的体积为V1，下面部分(半球)的体积为V2，则eq \f(V1,V2)的值是 ( )
A．1 B.eq \f(3,2) C．2 D．3
6.在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”，现有一个羡除如图所示，DA⊥平面ABFE，四边形ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝AD＝4，EF＝8，EF到平面ABCD的距离为6，则这个“羡除”的体积是( )
A．96 B．72 C．64 D．58
考点三 球与空间几何体的外接、内切问题
7．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2eq \r(5)，AB＝AC＝BC＝2eq \r(3)，则三棱锥P－ABC外接球的体积是( )
A．36π B．50π C.eq \f(32π,3) D.eq \f(125π,6)
8．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝eq \f(2π,3)，AA1＝4，AB＝AC＝2eq \r(3)，则三棱柱ABC－A1B1C1的外接球的表面积为( )
A．32π B．48π C．64π D．72π
9．在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B.eq \f(9,2)π C．6π D.eq \f(32,3)π
10．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积的最大值是________．

第10题图 第11题图
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形ABCD为矩形，棱EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，则该几何体的表面积为( )
A．8eq \r(3) B．8＋8eq \r(3)
C．6eq \r(2)＋2eq \r(3) D．8＋6eq \r(2)＋2eq \r(3)
12．(2020·安徽毛坦厂中学期末)已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为( )
A．1 B．2 C.eq \r(6) D.eq \f(\r(6),2)
13．(2021·合肥模拟)已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥P－ABC的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心O.若三棱锥P－ABC的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为( )
A．7∶4 B．2∶1 C．3∶1 D．5∶3
14．在四面体ABCD中，AB＝AC＝2eq \r(3)，BC＝6，DA⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为eq \r(3).若四面体ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是________.
答案精析
1．B [因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2eq \r(2)，底面圆的直径为2eq \r(2)，所以该圆柱的表面积为2×π×(eq \r(2))2＋2eq \r(2)π×2eq \r(2)＝12π.]
2．B [由三视图可得几何体的直观图如图所示，
其中AE＝BC＝1，AB＝eq \r(2)，EC＝2eq \r(2)，CD＝DE＝CH＝2，
则S▱CDGH＝S▱DEFG＝2×2＝4，
S△BCH＝S△EFA＝eq \f(1,2)×1×2＝1，
S△CDE＝S△FGH＝eq \f(1,2)×2×2＝2，
S梯形AECB＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(3,2)，
S梯形ABHF＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)＋2eq \r(2))×eq \f(3\r(2),2)＝eq \f(9,2)，
∴几何体的表面积S＝4×2＋1×2＋2×2＋eq \f(3,2)＋eq \f(9,2)＝20，故选B.]
3．A [由题得直角三角形的斜边为2，
则斜边上的高为eq \f(1×\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2).
由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中R＝eq \f(\r(3),2)，
∴S＝π×eq \f(\r(3),2)×1＋π×eq \f(\r(3),2)×eq \r(3)＝eq \f(3＋\r(3)π,2)，故选A.]
4．D [设最小球的半径为R，由三个球的半径的比是1∶2∶3，可得另外两个球的半径分别为2R,3R，∴最小球的体积V1＝eq \f(4,3)πR3，中球的体积V2＝eq \f(4,3)π(2R)3＝eq \f(32,3)πR3，最大球的体积V3＝eq \f(4,3)π(3R)3＝36πR3，∴V3＝3(V1＋V2)，即最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍．故选D.]
5．C [设酒杯上部分圆柱的高为h，
则酒杯内壁表面积S＝eq \f(1,2)×4πR2＋2πRh＝eq \f(14,3)πR2，
则h＝eq \f(4,3)R，
∴V1＝πR2h＝eq \f(4,3)πR3，V2＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πR3，
∴eq \f(V1,V2)＝2.]
6．C [作AM⊥EF交EF于点M，
作BN⊥EF交EF于点N
连接DM，CN，如图，
根据题意可知AB∥CD∥EF，
且DA⊥平面ABFE，所以AB⊥DA，
又AB⊥AM，AM，DA⊂平面DAM，AM∩DA＝A，
所以AB⊥平面DAM，
故三棱柱DAM－CBN为直三棱柱，
S△DAM＝eq \f(1,2)AM·AD＝eq \f(1,2)×6×4＝12，
且S△AME＝eq \f(1,2)EM·AM＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－4)),2)×6＝6，
所以VDAM－CBN＝S△DAM·AB＝48，
VD－AME＝eq \f(1,3)S△AME·AD＝8，
所以这个“羡除”的体积是VDAM－CBN＋2VD－AME＝64.]
7．D [如图，O′为△ABC外接圆的圆心，O为三棱锥P－ABC外接球的球心．
因为AB＝AC＝BC＝2eq \r(3)，
所以O′A＝2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)×eq \f(2,3)＝2.
因为PA＝PB＝PC＝2eq \r(5)，所以PO′＝4.
设三棱锥P－ABC外接球的半径为R，
则(4－R)2＋4＝R2，解得R＝eq \f(5,2)，
故三棱锥P－ABC外接球的体积是eq \f(4,3)πR3＝eq \f(125π,6).]
8．C [∵AB＝AC＝2eq \r(3)且∠BAC＝eq \f(2π,3)，
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcs eq \f(2π,3)＝36，
∴BC＝6，
由正弦定理可得△ABC外接圆半径
r＝eq \f(BC,2sin∠BAC)＝eq \f(6,2sin \f(2π,3))＝2eq \r(3)，
∴三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径
R＝eq \r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1))2)＝eq \r(12＋4)＝4，
∴外接球的表面积S＝4πR2＝64π，故选C.]
9．B [由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.
要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.
则eq \f(1,2)×6×8＝eq \f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.
2r＝4＞3，不符合题意．
当球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
由2R＝3，得R＝eq \f(3,2).
故球的最大体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9,2)π.]
10．32π
解析 设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝4cs α，圆柱的高为8sin α.所以圆柱的侧面积为32πsin 2α.当且仅当α＝eq \f(π,4)时，sin 2α＝1，圆柱的侧面积最大，所以圆柱的侧面积的最大值为32π.
11．B [如图所示，取BC的中点P，连接PF，则PF⊥BC，过F作FQ⊥AB，垂足为Q.因为△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形，且EF∥AB，所以四边形ABFE为等腰梯形，FP＝eq \r(3)，则BQ＝eq \f(1,2)(AB－EF)＝1，FQ＝eq \r(BF2－BQ2)＝eq \r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(3)＝3eq \r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝eq \r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以该几何体的表面积S＝3eq \r(3)×2＋eq \r(3)×2＋8＝8＋8eq \r(3).]
12．D [∵三棱柱内接于球，
∴棱柱各侧面均为平行四边形且内接于圆，
∴棱柱的侧棱都垂直于底面，所以该三棱柱为直三棱柱．
设底面三角形的两条直角边长为a，b，
∵三棱柱ABC－A1B1C1的高为2，体积是1，
∴eq \f(1,2)ab·2＝1，即ab＝1，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成一个长方体，
则直三棱柱ABC－A1B1C1与长方体有同一个外接球，
∴球O的半径为eq \f(\r(a2＋b2＋4),2)≥eq \f(\r(2ab＋4),2)＝eq \f(\r(6),2)(当且仅当a＝b＝1时，等号成立)．故选D.]
13．A [设正三棱锥P－ABC的底面边长为2a，高为h，如图所示，
则圆柱的高为eq \f(h,2)，底面圆半径为eq \f(a,2sin\f(π,3))＝eq \f(\r(3),3)a，
设圆柱的外接球半径为R，则R＝eq \r(\f(h2,16)＋\f(a2,3))，
∵h＝2R＝2eq \r(\f(h2,16)＋\f(a2,3))＝eq \r(\f(h2,4)＋\f(4a2,3))，解得h＝eq \f(4,3)a，此时，R＝eq \f(2,3)a，
设正三棱锥P－ABC的外接球的半径为r，则球心到底面距离为h－r，
OA＝eq \f(2a,2sin\f(π,3))＝eq \f(2\r(3),3)a，由勾股定理得r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(h－r))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))2，解得r＝eq \f(7,6)a，故eq \f(r,R)＝eq \f(7,4).]
14．49π
解析 因为AB＝AC＝2eq \r(3)，BC＝6，
所以cs∠BAC＝eq \f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝－eq \f(1,2)，
则sin∠BAC＝eq \r(1－cs2∠BAC)＝eq \f(\r(3),2)，
则S△ABC＝eq \f(1,2)·AB·AC·sin∠BAC＝eq \f(1,2)×2eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝3eq \r(3)，
因为AD⊥平面ABC，四面体ABCD的体积为eq \r(3)，
所以eq \r(3)＝eq \f(1,3)·S△ABC·AD＝eq \r(3)AD，则AD＝1.
设△ABC的外接圆半径为r，记△ABC外接圆圆心为O1，连接AO1，
由正弦定理可得，2r＝eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(6,\f(\r(3),2))＝4eq \r(3) ，
则AO1＝r＝2eq \r(3)，
设外接球的半径为R，连接OO1，
根据球的性质可得，OO1⊥平面ABC，
又AD⊥平面ABC，所以AD∥OO1，
延长O1O到E，使得O1E＝AD，连接DE，
则四边形AO1ED为矩形，所以AO1＝DE，
连接OA，OD，则OA＝OD＝R，
所以Rt△DEO≌Rt△AO1O，所以OO1＝OE＝eq \f(1,2)AD＝eq \f(1,2)，
所以R＝OA＝eq \r(AO\\al(2,1)＋OO\\al(2,1))＝eq \r(12＋\f(1,4))＝eq \r(\f(49,4))，
所以球O的表面积是S＝4πR2＝49π.